Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2000.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 156
Скачиваний: 0
Продолжение табл. 3 Расчёт числовых характеристик
0,22 |
14 |
3,08 |
0 |
0 |
0 |
0,26 |
7 |
1,82 |
0,04 |
0,0016 |
0,0112 |
0,30 |
6 |
1,80 |
0,08 |
0,0064 |
0,0384 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,12 |
0,0144 |
0,0432 |
∑ |
50 |
11,16 |
|
|
0,1440 |
Замечания к табл. 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, для
первого интервала x1 = |
|
0,12 + 0,16 |
= |
0,14 . |
|
2 |
|||||
|
|
|
|||
2. В третьем столбце |
результаты |
перемножения соответствующих |
|||
значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную
среднюю x = |
∑ xi mi |
= |
11,16 |
== 0,2238≈≈ 0,22 . |
|
50 |
|||
|
n |
|
||
3. В четвёртом столбце разности между значениями xi и выборочным средним x .
4.В пятом столбце записываются квадраты значений четвёртого столбца.
5.В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выборочную
дисперсию |
Db = |
∑ |
(xi − x)2 mi |
= |
0,1440 |
≈≈ 0,0029 |
и |
среднее |
||
|
n |
|
50 |
|
||||||
|
|
|
Db == |
0,0029≈≈ 0,053. |
|
|
||||
квадратическое отклонение σ x = |
|
|
|
|||||||
Пример 2. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным примера 1. Проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости α == 0,05 .
Решение. Для построения нормальной кривой рассчитываем теоретические частоты mi по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
mi = |
|
nh |
ϕ (ti ), |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ x |
||
где ti = |
xi − |
x |
|
ϕ (t) = |
1 |
e |
− |
t 2 |
|
n - объём выборки, h - шаг интервала. |
|||
, |
2 , |
||||||||||||
|
|||||||||||||
σ x |
|
2π |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составим расчётную таблицу
|
|
Расчёт теоретических частот |
|
|
Таблица 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi |
mi |
ti = |
xi − 0,22 |
|
ϕ (ti ) |
mi = |
50 |
0,04ϕ (ti ) |
||
|
|
|
0,053 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0,053 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,14 |
4 |
-1,51 |
|
|
0,1276 |
5 |
|
|
|
|
0,18 |
16 |
-0,75 |
|
|
0,3011 |
11 |
|
|
|
|
0,22 |
14 |
0 |
|
|
|
0.3989 |
15 |
|
|
|
0,26 |
7 |
0,75 |
|
|
0,3011 |
11 |
|
|
|
|
0,30 |
6 |
1,51 |
|
|
0,1276 |
5 |
|
|
|
|
0,34 |
3 |
2,26 |
|
|
0,0310 |
1 |
|
|
|
|
∑ |
50 |
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
Замечания к табл. 4
1. Значения ϕ (ti ) находят по прил. 1 [1, с. 461; 2, с. 324] «Таблица
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (x) = |
|
|
1 |
e− |
x 2 |
|
значений |
|
функции |
|
|
2 |
». При этом учитывают, что |
||||||||
|
( |
|
) |
( |
|
) |
|
|
|
( |
2π |
|
|
|
ϕ |
− |
x |
. Для x > |
3,99 |
ϕ |
) |
= 0 . |
|
|
|||||
|
x == ϕϕ |
|
|
|
x= |
|
|
|||||||
2. Теоретические частоты округляют до целых значений.
Построим полигоны эмпирических и теоретических частот производительности труда рабочих
m i mi
16
12
8
4
xi
0,14 |
|
0,18 |
|
0,22 |
|
0,26 |
|
0,3 |
|
0,34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пунктирной линией построен полигон теоретических частот, а сплошной линией - полигон эмпирических частот.
Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона
|
|
χ p2 |
= |
r (m |
|
− m |
)2 |
|
|
|
|
|
∑ |
i |
i |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
i = 1 |
|
mi |
|
|
|
|
|
|
Расчёт величины χ p2 |
Таблица 5 |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xi |
mi |
mi |
|
|
mi − mi |
|
(mi − mi )2 |
(mi − mi )2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
0,14 |
4 |
5 |
|
|
4 |
|
|
|
16 |
1 |
0,18 |
20 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,22 |
14 |
15 |
|
|
-1 |
|
|
|
1 |
0,07 |
0,26 |
7 |
11 |
|
|
-4 |
|
|
|
16 |
1,45 |
0,30 |
6 |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
0,166 |
0.34 |
9 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
50 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
2,686 |
Замечание к табл. 5 |
(частота mi ) в интервале меньше 5, то |
|||||||||
Если число наблюдений |
||||||||||
интервал объединяется с соседним и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты mi также надо сложить.
По прил. 5 « Критические точки распределения χ 2 » [1, с. 465; 2, с.
329] находим χ табл2 (k,αα ) , где α == |
0,05 |
- уровень значимости, k |
- число |
||||
степеней свободы, k = r−− 3== |
4−− |
3== 1 (r |
- число интервалов после |
||||
объединения), |
χ табл2 (1;0,05) = |
3,8. |
Так |
как |
χ p2 = 2,686 |
меньше |
|
χ табл2 (1;0,05) = 3,8, |
то различия между теоретическими и эмпирическими |
||||||
частотами незначимы.
Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности
|
1 |
|
e− |
(x− 0,22) 2 |
f (x) = |
2π |
2(0,053) 2 . |
||
|
0,053 |
|
|
Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью
γ= =0,95 по значениям x = 0,22; σ x== 0,053; n== 50 , полученным в первом примере.
Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии генеральной совокупности определяется по формуле
|
|
|
|
|
|
|
x − |
s t |
n, γ |
< a<< x++ |
s t |
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n,γγ |
|
|
|
|
|||
Для γ= = 0,95, |
|
n== 50 по прил. «Таблица значений tγ = t(γ,n) » [1, с. 464; |
|||||||||||||||||||
2, с. 328] определяем tγ = t(0,95;50)== 2,009. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Определяем исправленную дисперсию s2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
s2 = |
Db n |
n − |
1 |
= 0,0029 |
50 |
1 |
= |
0,00295; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
50 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
s = |
s2 == |
0,00295== 0,054; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
s |
tn,γ = |
0,054 2,009 |
≈ |
0,015; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,22 − 0,015<< |
a<< 0,22++ |
0,015; |
|
|
0,205<< a<< 0,235 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример |
4. |
При |
уровне |
|
значимости |
α == |
0,08 |
проверить |
нулевую |
||||||||||||
гипотезу |
|
H0: M(X) = M(Z) |
|
при |
конкурирующей |
|
гипотезе |
||||||||||||||
H1: M(X) ≠ |
M(Z) , |
если |
|
|
z = 0,24; D(Z)== |
( |
|
0,01; |
m== |
60 |
взяты из |
||||||||||
генеральной совокупности Z , |
а x = 0,22; |
D |
|
) |
|
n== |
50 |
берём из |
|||||||||||||
|
X |
== 0,029; |
|||||||||||||||||||
первого примера.
Решение. Вычисляем расчётное значение Z - критерия. Так как дисперсии генеральных совокупностей известны, то
Zp = |
|
|
x |
− |
z |
|
|
|
|
= |
|
0,22 − |
0,24 |
|
≈ |
1,33. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
D(X) |
+ |
|
D(Z) |
|
0,0029 |
|
+ |
0,01 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
50 |
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определяем критическую точку из равенства |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Φ (Zkp ) = |
1 − α |
|
= |
1 − 0,08 |
= |
0,46 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|||||||
По прил. 2 «Таблица значений функции Φ (x) = |
1 |
|
|
x |
− |
||||||||||||||||||
|
∫ e |
2 |
dz » |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
0 |
|
|
|
|
[2, с. 462] по значению функции 0,46 определяем табличное (критическое) значение аргумента Zkp = 1,75 . Сравним Zp = 1,33 и Zkp = 1,75 . Так
как Zp < Zkp , то гипотеза о равенстве средних принимается, то есть