§ 18. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. По­стоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F₁ и F₂, расстояние между ними — через 2с. По определению эллипса 2а > 2с или а > с.

Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы коорди­нат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс

симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

, (1)

где b = ; очевидно, a  b. Уравнение вида (1) называется канони­ческим уравнением эллипса.

При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии (черт. 12). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии — просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На черт. 12 вершины эллипса суть точки А', А, В' и В. Часто осями эллипса называются также отрезки А'А = 2а и В'В = 2b; вместе с тем отрезок ОА = а называют большой полуосью эллипса, отрезок ОВ= b – малой полуосью.

Если фокусы эллипса расположены на оси Оу (симметрично относи­тельно начала координат), то уравнение эллипса имеет тот же вид (1), во в этом случае b> а; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b — полуось, распо­ложенную на оси Оу, независимо от того, что больше, а или b. Если а = b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный слу­чай эллипса. Число где a – большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно,  < 1 (для окружности  = 0). Если М (х; у) — произвольная точка эллипса, то отрезки F₁М = г₁ и F₂М = r₂ (черт. 12) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам r₁ = а + х, r ₂ = а – x.

---

Если эллипс определён уравнением (1) и a  b, то прямые (черт. 12), называются директрисами эллипса (если b > а, то директрисы определяются уравнениями ) . Каждая директриса обладает следующим свойством: если r – расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d—расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса

Если две плоскости  и  образуют острый угол , то проекцией на пло­скость  окружности радиуса а, лежащей на плоскости , является эллипс с большой

полуосью a; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле

b = a cos 

(черт. 13).

Если круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность ра­диуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклонённой к оси цилиндра под острым углом , будет эллипс, малая полуось которого

равна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле

(черт. 14).

444. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны 5 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами 2с =10;

4) расстояние между его фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ;

5) его большая ось равна 20, а эксцентриситет ;

---

6) его малая ось равна 10, а эксцентриситет ;

7) расстояние между его директрисами равно 5 и расстояние между фокусами 2с = 4;

8) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;

9) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;

10) расстояние между его директрисами равно 32 и .

445. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

1) его полуоси равны соответственно 7 и 2;

2) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами 2с = 8;

3) расстояние между его фокусами 2с = 24 и эксцентриситет

4) его малая ось равна 16, а эксцентриситет

5) расстояние между его фокусами 2с = 6 и расстояние между директрисами равно 16

6) расстояние между его директрисами равно и эксцентриситет

446. Определить полуоси каждого из следующих эллипсов:

1) ; 2) ; 3)х² + 25у² = 25;

4) х² + 5y² = 15; 5) 4х² + 9у² = 25; 6) 9х² + 25у² = 1;

7) х² + 4у² = 1; 8) 16х² + у² = 16; 9) 25х² + 9у² = 1;

10) 9х² + у² = 1.

447. Дан эллипс 9х² + 25у² = 225. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

448. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

х² + 5у² = 20,

а две другие совпадают с концами его малой оси.

449. Дан эллипс 9х² + 5у² = 45. Найти: 1) его полуоси; 2) фо­кусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.

---

450. Вычислить площадь четырёхугольника, две вершины кото­рого лежат в фокусах эллипса

9х² + 5у² = 1,

две другие совпадают с концами его малой оси.

451. Вычислить расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса

до односторонней с этим фокусом директрисы.

452. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы эллипса

(считая, что изображены оси координат и задана мас­штабная единица).

453. На эллипсе найти точки, абсцисса которых равна — 3.

454. Определить, какие из точек A₁(—2; 3), А₂(2; —2), А₃ (2; —4), А₄(—1; 3), А₅(—4; —3), А₆(3; —1), А₇(3; —2), А₈ (2; 1), А₉(0; 15) и А₁₀(0; —16) лежат на эллипсе 8х²+5у² = 77, какие внутри и какие вне его.

455. Установить, какие линии определяются следующими уравне­ниями:

1); 2) ;

3) ; 4) .

Изобразить эти линии на чертеже.

456. Эксцентриситет эллипса , фокальный радиус точки М эллипса равен 10. Вычислить расстояние от точки М до односто­ронней с этим фокусом директрисы.

457. Эксцентриситет эллипса , расстояние от точки М эллипса до директрисы равно 20. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.

458. Дана точка М₁ (2; ) на эллипсе составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M₁.

459. Убедившись, что точка М₁ (— 4; 2,4) лежит на эллипсе определить фокальные радиусы точки М₁.

---

460. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с началом координат, один из фокусов F(—2; 0). Вычислить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до директрисы, одно­сторонней с данным фокусом.

461. Эксцентриситет эллипса , центр его совпадает с на­чалом координат, одна из директрис дана уравнением х =16. Вы­числить расстояние от точки M₁ эллипса с абсциссой, равной - 4, до фокуса, одностороннего с данной директрисой.

462. Определить точки эллипса , расстояние которых

до правого фокуса равно 14.

463. Определить точки эллипса , расстояние которых

до левого фокуса равно 2,5.

464. Через фокус эллипса проведён перпендикуляр

к его большой оси. Определить расстояния от точек пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до фокусов.

465. Составить уравнение эллипса, фокусы которого располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если даны:

1) точка М₁ (—2; 2) эллипса и его малая полуось b = 3;

2) точка M₂ (2;—2) эллипса и его большая полуось а = 4;

3) точки M₁(4;_— ) и М₂(2; 3) эллипса;

4) точка M₁ (; —1) эллипса и расстояние между его фо­кусами 2с = 8;

5) точка М₁ (2; — эллипса и его эксцентриситет ;

6) точка M₁ (8; 12) эллипса и расстояние r₁ = 20 от неё до левого фокуса;

7) точка M₁ (—; 2) эллипса и расстояние между его дирек­трисами равно 10.

466. Определить эксцентриситет  эллипса, если:

---

Смотрите также файлы

• kletenik_17.doc

• kletenik_16.doc

• kletenik_15.doc

• kletenik_14.doc

• kletenik_13.doc