Составить уравнение гиперболы, если её эксцентри­ситет ε = 2.

536. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.

537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы

до её асимптоты равно b.

538. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы

до двух её асимптот есть величина постоянная, равная .

539. Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы

и прямыми, проведёнными через любую её точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная .

540. Составить уравнение гиперболы, если известны её полуоси а и b, центр С(х₀; у₀) и фокусы расположены на прямой:

1) параллельной оси Ох;

2) параллельной оси Оу.

541. Установить, что каждое из следующих уравнений опреде­ляет гиперболу, и найти координаты её центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:

1) 16х² — 9у⁹ — 64х — 54у—161 = 0;

2) 9х² — 16у² + 90х + 32у — 367 = 0;

3) 16х² — 9у² — 64х—18у+199 = 0.

542. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = — 1+, 2) у = 7——,

3) х = 9 — 2, 4) х = 5 .

Изобразить эти линии на чертеже.

543. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

1) расстояние между её вершинами равно 24 и фокусы суть F₁(— 10; 2), F₂(16; 2);

2) фокусы суть F₁(3; 4), F₂(— 3; — 4) и расстояние между директрисами равно 3,6;

---

3) угол между асимптотами равен 90° и фокусы суть F₁ (4; — 4), F₂(—2; 2)

544. Составить уравнение гиперболы, если известны её эксцен­триситет ε = , фокус F (5; 0) и уравнение соответствующей ди­ректрисы 5х — 16 = 0.

545. Составить уравнение гиперболы, если известны её эксцентриситет ε = , фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13у—144 = 0.

546. Точка А (— 3; — 5) лежит на гиперболе, фокус которой F(— 2; — 3), а соответствующая директриса дана уравнением х+1=0. Составить уравнение этой гиперболы.

547. Составить уравнение гиперболы, если известны её эксцен­триситет ε = , фокус F (2; —3) и уравнение соответствующей директрисы 3x-y+3+0

548. Точка М₁(1; —2) лежит на гиперболе, фокус которой F(—2; 2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х—у—1=0. Составить уравнение этой гиперболы.

549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х²—у²=а². Найти её уравнение в новой системе, приняв за оси координат её асимптоты.

550. Установив, что каждое из следующих уравнений опреде­ляет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравне­ния асимптот и построить их на чертеже:

1) ху=18, 2) 2ху —9 = 0, 3) 2ху + 25 = 0.

551. Найти точки пересечения прямой 2х—у—10=0 и гиперболы -

552. Найти точки пересечения прямой 4х—3у—16 = 0 и гиперболы—

553. Найти точки пересечения прямой 2х—у+1 = 0 и гиперболы —

554. В следующих случаях определить, как расположена прямая от­носительно гиперболы — пересекает ли, касается или проходит вне ее:

1) х—у—3 = 0,

2) х —2у+1=0,

3) 7х—5у = 0,

555. Определить, при каких значениях т прямая у = 5х + m:

1) пересекает гиперболу . 2) касается её;

---

3) проходит вне этой гиперболы.

556. Вывести условие, при котором прямая у = kх + m касается гиперболы .

557. Составить уравнение касательной к гиперболе.

в её точке М₁ (х₁; y₁)

558. Доказать, что касательные к гиперболе, проведённые в концах одного и того же диаметра, параллельны.

559. Составить уравнения касательных к гиперболе ,

перпендикулярных к прямой 4х + 3у —7 = 0.

560. Составить уравнения касательных к гиперболе ,

параллельных прямой 10х —3у + 9 = 0.

561. Провести касательные к гиперболе . параллельно прямой

2х + 4у —5 = 0

и вычислить расстояние d между ними.

562. На гиперболе , найти точку М_1; ближайшую к прямой

3х+2у+1=0,

и вычислить расстояние d от точки M₁ до этой прямой.

563. Составить уравнения касательных к гиперболе х²—у² =16, проведённых из точки А(—1; —7).

564. Из точки С(1; —10) проведены касательные к гиперболе . Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

565. Из точки Р(1; —5) проведены касательные к гиперболе .

Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соеди­няющей точки касания.

566. Гипербола проходит через точку А(; 3) и касается прямой 9х+2у—15 = 0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что её оси совпадают с осями координат.

567. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5х — 6у—16 = 0, 13х—10у—48 = 0, при условии, что еe оси совпадают с осями координат.

568. Убедившись, что точки пересечения эллипса , и гиперболы являются вершинами прямоугольника,

---

составить уравнения его сторон.

569. Дана гипербола и какая—нибудь её касатель­ная; Р — точка пересечения касательной с осью Ox, Q — проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что OP—OQ = a².

570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой её касательной.

571. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе , есть величина постоянная, равная b².

572. Прямая 2х — у — 4 = 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁ (— 3; 0) и F₂(3; 0). Составить уравнение этой гиперболы.

573. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой располо­жены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе 15х + 16у — 36 = 0, и расстояние между eе вершинами 2а = 8.

574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M, и проходит внутри угла F₁MF₂ .

575. Из правого фокуса гиперболы

под углом α(π ≤ α ≤ 3/2 π ) к оси Ох направлен луч света. Извест­но, что tg α = 2. Дойдя до гиперболы, луч от неё отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч.

576. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.

577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен , Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола . Указание. См. задачу 509.

578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен —, Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола

579. Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипер­бола х² —у² = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям, если коэффициенты равномерного сжатия плоскости к осям Ох и Оу соответственно равны и .

---

580. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .

581. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола преобразуется в гиперболу .

582. Определить коэффициенты q_l и q₂ двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола преобразуется в гиперболу .

---

Смотрите также файлы

• kletenik_18.doc

• kletenik_17.doc

• kletenik_16.doc

• kletenik_15.doc

• kletenik_14.doc