§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения

центральной линии второго порядка

Пусть дано уравнение

Ax² + 2Bxy + Су² +2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

определяющее центральную линию второго порядка ( = АС — В²  0). Пере­нося начало координат в центр S (х„; у_с) этой линии и преобразуя уравне­ние (1) по формулам

получим;

, (2)

Для вычисления можно пользоваться формулой

Или

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи преобра­зования координат

(3)

соответствующего повороту осей на угол α.

Если угол α выбран так, что (4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(5)

где .

З а м е ч а н и е. Уравнение (4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии

---

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотно­шения:

,

которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобразования координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если о > 0, гипер­болическим, если 5<0, и параболическим, если 6 = 0.

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновен­ного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет ни­какого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную ги­перболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).

*) То-есть установить, какие из них являются эллиптическими, какие гиперболическими и какие параболическими.

673. Определить тип каждого из следующих уравнений *); каж­дое из них путём параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 4х² + 9y² — 40х+ 36у + 100 = 0;

2) 9х²—16у² —54х — 64у — 127 = 0;

3) 9х² + 4у² + 18х — 8у + 49 = 0;

4) 4х² — у² + 8х — 2у + 3 = 0;

5) 2х² + 3y² + 8х — 6у + 11=0.

Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометри­ческие образы они определяют, и изобразить на чертеже располо­жение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 32х² + 52ху — 7у² + 180 = 0;

2) 5х² — 6ху + 5у² — 32 = 0;

3) 17х² — 12ху + 8у² = 0;

4) 5х² + 24ху — 5у² = 0;

5) 5х² — 6ху + 5у² + 8 = 0.

675. Определить тип каждого из следующих уравнений при по­мощи вычисления дискриминанта старших членов:

---

1) 2х²+10ху+12у² —7х + 18у —15 = 0;

2) 3х² — 8ху + 7у² + 8х — 15у + 20 = 0;

3) 25х² — 20ху + 4у² — 12х + 20у —17 = 0;

4) 5х² + 14ху + 11у² + 12х — 7у + 19 = 0;

5) х² — 4ху + 4у² + 7х — 12 = 0;

6) 3х² — 2ху — 3у³ + 12у — 15 = 0.

676. Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометри­ческие образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других Координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и гео­метрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 3х²+10ху + 3у² —2х—14у—13 = 0;

2) 25х² — 14ху + 25y² + 64х — 64у — 224 = 0;

3) 4ху + 3у² + 16х + 12у — 36 = 0;

4) 7х² + 6ху — у² + 28х + 12у + 28 = 0;

5) 19x² + 6xy + 11y² + 38x + 6y + 29 = 0;

6) 5х² — 2ху + 5у² — 4х + 20у + 20 = 0.

677. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

1) 14х² + 24ху + 21у² — 4х+18у—139 = 0;

2) 11х² —20ху —4у² —20х—8у+1=0;

3) 7х² + 60ху + 32у² — 14х — 60у + 7 = 0;

4) 50х² — 8ху + 35у² + 100х — 8у + 67 = 0;

5) 41х² + 24ху + 34у² + 34х — 112у + 129 = 0;

6) 29х² —24ху+36у² + 82х—96у —91=0;

7) 4х² + 24ху + 11у² + 64х + 42у + 51 = 0;

8) 41х² + 24ху + 9у² + 24х+18у —36 = 0.

678. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти вели­чины его полуосей:

1) 41х² + 24ху + 9у² + 24х+18у —36 = 0;

2) 8х² + 4ху + 5у² + 16х + 4у — 28 = 0;

3) 13х² + 18ху + 37у² — 26х — 18у + 3 = 0;

4) 13х²+10ху+13у² + 46х + 62у+13 = 0.

679. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти её координаты:

---

а) 5х² — 6ху + 2у² — 2х + 2 = 0;

б) х² + 2ху + 2у² + 6у + 9 = 0;

в) 5х² + 4ху + у² — 6х — 2у + 2 = 0;

г) х² — 6ху + 10у² + 10х — 32у+ 26 = 0.

680. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины её полуосей:

1) 4х² + 24ху + 11у² + 64х + 42у + 51=0;

2) 12х² + 26ху + 12у² — 52х — 48у + 73 = 0;

3) 3х² + 4ху — 12х + 16 = 0;

4) х² — 6ху — 7у² + 10х — 30у + 23 = 0.

681. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

а) 3х² + 4ху + у² — 2х — 1=0;

б) х² — 6ху + 8у² — 4у — 4 = 0;

в) х² — 4ху + 3у² = 0;

г) х² + 4ху + 3у² — 6х — 12у + 9 = 0.

682. Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

1) 8х²—12ху+17у²+16х—12у + 3 = 0;

2) 17х² —18ху —7у² + 34х—18у + 7 = 0;

3) 2х² + 3ху — 2у² + 5х + 10у = 0;

4) 6х² —6ху + 9у² —4х+18у+14 = 0;

5) 5х² —2ху + 5у² —4х + 20у + 20 = 0.

683. Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (> 0) определяет эллипс в том и только в том случае, когда А и суть числа разных знаков.

685. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (> 0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.

---

686. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (> 0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда = 0.

687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (< 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .

688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (< 0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда = 0.

---

Смотрите также файлы

• kletenik_23.doc

• kletenik_22.doc

• kletenik_21.doc

• kletenik_20.doc

• kletenik_19.doc