ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 31
Скачиваний: 0
По правилу параллелограмма получим:
(1)
Так как векторы
и
р
лежат на одной
прямой, то вектор
может быть получен
умножением вектора р
на некоторое число
:
,
(2)
Аналогично
.
(3)
Из равенств (1), (2) и (3) получаем:
.
Тем самым возможность требуемого
разложения доказана. Остаётся доказать,
что коэффициенты
и
этого разложения определяются однозначно.
Предположим, что вектор а имеет два разложения:
,
,
и, например,
.
Вычитая почленно одно
из другого, получаем:
или
Но это равенство означает
коллинеарность векторов р
и q,
которые, однако, по
условию являются неколлинеарными.
Следовательно, неравенство
,
невозможно. Аналогично
доказывается, что невозможно неравенство
.
Таким образом,
,
,
т. е. двух различных разложений один и
тот же вектор иметь не может.
*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полностью.
787. На плоскости даны два вектора р = {2; —3}, q = {1; 2}. Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису р, q.
788. На плоскости даны три вектора а = {3;—2}, b ={—2; 1} и с = {7; —4}. Определить разложение каждого из этих трёх векторов, принимая в качестве базиса два других.
789. Даны три вектора а = {3; —1}, b = {1; — 2},с = {— 1; 7}. Определить разложение вектора р = а + b + с по базису а, b.
790.
Принимая в качестве базиса векторы
= b и
= с, совпадающие со
сторонами треугольника ABC,
определить разложение
векторов, приложенных в вершинах
треугольника и совпадающих с его
медианами.
791. На
плоскости даны четыре точки А
(1; —2), B (2;
I), C
(3; 2) и D (—
2; 3). Определить разложение векторов
,
,
и
,
принимая в качестве базиса векторы
и
.
792. Доказать, что если р, q и r — какие угодно некомпланарные векторы *), то всякий вектор а пространства может быть представлен в виде:
.
Доказать, что числа
,
,
векторами а,
р,
q
и r
определяются
однозначно. (Представление вектора а
в виде
называется
разложением его по базису р,
q,
r.
Числа
,
и
называются коэффициентами этого
разложения.)
*) Три вектора называются некомпланарными, если после приведения к общему началу они не лежат в одной плоскости.
793. Даны три вектора р = {3; —2; 1}, q = { — 1; 1; —2}, r = {2; 1; —3}. Найти разложение вектора с = {11; —Q; 5} по базису р, q, r.
794. Даны четыре вектора а = {2; 1; 0}, b = {1; —1; 2}, с ={2; 2; —1} и d ={3; 7; —7}. Определить разложение каждого из этих четырёх векторов, принимая в качестве базиса три остальных.