ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.07.2024
Просмотров: 21
Скачиваний: 0
§ 44. Сфера
В декартовых прямоугольных координатах сфера, имеющая центр С (α, β, γ) и радиус r, определяется уравнением (х—α)2+(у—β)2 + (z—γ)2= r3. Сфера радиуса г, центр которой находится в начале координат, имеет уравнение х2 +y2 +z2 =r2.
1084. Составить уравнение сферы в каждом из следующих случаев:
1) сфера имеет центр С(0; 0; 0) и радиус r=9;
2) сфера имеет центр С (5; —3; 7) и радиус г = 2;
3) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; -4; —2);
4) сфера проходит через точку А (2; —1; —3) и имеет центр С(3; —2; 1);
5) точки А(2; —3; 5) и В(4; 1; —3) являются концами одного из диаметров сферы;
6) центром сферы является начало координат, и плоскость 16х—15у—12z + 75 = 0 является касательной к сфере;
7) сфера имеет центр С(3; — 5; — 2), и плоскость 2х —у — Зz + 11 = 0 является касательной к сфере;
8) сфера проходит через три точки M1(3; 1; —3), M2(—2; 4; 1) и M3 (— 5; 0; 0), а ее центр лежит на плоскости 2х + у — 2 + 3 = 0;
9) сфера проходит через четыре точки: M1(l; —2; — 1), М2(— 5; 10; — 1), М3(4; 1; 11) и М4(— 8; — 2; 2).
1085. Составить уравнение сферы радиуса r = 3, касающейся плоскости х + 2у + 2z+3 = 0 в точке M1 (l; 1; —3).
1086. Вычислить радиус R сферы, которая касается плоскостей
3х + 2у – 6z—15 = 0, Зх + 2у — 6z + 55 = 0.
1087. Сфера, центр которой лежит на прямой
касается плоскостей
х + 2у — 2z — 2 = 0, х + 2у — 2z + 4 = 0.
Составить уравнение этой сферы.
1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей
6х — Зу — 2z — 35 = 0, 6х — Зу — 2z + 63 = 0,
причём одной из них в точке М1(5; —1; —1).
1089. Составить уравнение сферы с центром С (2; 3; — 1), которая отсекает от прямой
хорду, имеющую длину, равную 16.
1090. Определить координаты центра С и радиус г сферы, заданной одним из следующих уравнений:
1) (х— 3)2 +(y + 2)2 + (z-5)2=16;
2) (x+l)2 + (y-3)2 + z2 = 9;
3) х2+у2 + z2 — 4х — 2у + 2z— 19 = 0;
4) х3+y2 + z2 — 62 = 0;
5) х2+у2 + z2 + 20у = 0.
1091. Составить параметрические уравнения диаметра сферы
х2 +у2 + z 2 + 2х — 6у + z — 11 = 0,
перпендикулярного к плоскости
5х—у + 2z—17 = 0.
1092. Составить канонические уравнения диаметра сферы
х2 +у2 + z2 — х + Зу + z — 13 = 0,
параллельного прямой
х = 2t—1, y = — 3t+5, z = 4t + 7.
1093. Установить, как расположена точка А(2; —1; 3) относительно каждой из следующих сфер — внутри, вне или на поверхности:
1) (x-3)2 + (y+l)2 + (z--1)2 = 4;
2) (х+14)2 +(y— 11)2 + (z+12)2 = 625;
3) (х— 6)2 + (у-1)2 + (z - 2)2 = 25;
4) х2+у2 + z2 — 4х + 6у —8z + 22 = 0;
5) x2+y2 + z 2 — х+Зу — 2z— 3 = 0.
1094. Вычислить кратчайшее расстояние от точки А до данной
сферы в следующих случаях:
а) А (—2; 6; -3), х2+у + z2 = 4;
б) А(9; —4; —3), ха+у3 + z 2+ 14х— 16у — 24z + 24l =0;
в) А(1; —1; 3), х2+у2 + z2 —6х + 4у — 102 —62 = 0.
1095. Определить, как расположена плоскость относительно сферы — пересекает ли, касается или проходит вне её; плоскость и сфера заданы следующими уравнениями:
1) z = 3, х2+у2 + z2 — 6х + 2у—102 + 22 = 0;
2) у = 1, х2+уа + z2 + 4х — 2у — 62 + 14 = 0;
3) х = 5, х2+у2 +z2 — 2x + 4y — 2z — 4 = 0.
1096. Определить, как расположена прямая относительно сферы — пересекает ли, касается или проходит вне eg; прямая и сфера заданы следующими уравнениями:
1) х = —2t + 2, у=3t —7/2, z=t — 2,
x2+y2
+ z2
+ x —
4y—
3z +
= 0;
2)
х2+у + z2 — 4х — 6у + 2z — 67 = 0;
3)
х2+y2 + z2 — 2х + 2у + 4z — 43 = 0.
1097. На сфере
(х-1)2 + (у + 2)2 + (2-3)2 = 25
найти точку М1 ближайшую к плоскости
Зх —4z+19 = 0,
и вычислить расстояние d от точки М1 до этой плоскости.
1098. Определить центр С и радиус R окружности
1099. Точки А (3; —2; 5) и В(—1; 6; —3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; —4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100. Точка (7(1; —1; —2) является центром окружности, отсекающей от прямой
хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности.
1101. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М1(3; — 1; —2), М2(1; 1; —2) и М3(— 1; 3; 0).
1102. Даны две сферы
(х-m1) 2 + (y – n1)2 + (z – p1 )2 = R21,
(х-m1) 2 + (y – n1)2 + (z – p1 )2 = R21,
которые пересекаются по окружности, лежащей в некоторой плоскости т. Доказать, что любая сфера, проходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость т могут быть представлены уравнением вида
α [(x-m1)2+(y-n1)2+(z-p1)2-R21]+
β[(x-m2)2+(y-n2)2+(z-p2)2-R22]=0
при надлежащем выборе чисел α и β .
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей линию пересечения двух сфер:
2х2 + 2у2 + 2z2 + 3х — 2у + z — 5 = 0,
x2+y2 +z2 —х+ Зу — 2z+1=0.
1104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность
1105. Составить уравнение сферы, проходящей через окружность
1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности:
1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере
х2 +y 2+ z2 = 49 в точке M1 (6; — 3; — 2).
1108. Доказать, что плоскость
2х — 6у + 3z — 49 = 0
касается сферы
х2+у2+z2 = 49.
Вычислить координаты точки касания.
1109. При каких значениях а плоскость
х+у+z=а
касается сферы
х2+y2 + z2=12.
1110. Составить уравнение касательной плоскости к сфере
(х — 3)2+(у— 1)2+(z + 2)2 = 24
в точке М1(—1; 3; 0).
1111. Точка М1(х1;y 2 ,) лежит на сфере х2+у2 + z2 = r3. Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке M1.
1112. Вывести условие, при котором плоскость
Ах + By + Cz + D = О
касается сферы
х2+y2 +z2 =R2.
1113. Точка М1(х1;y 2 ,) лежит на сфере
(х — α)2 +(y — β)2 + (z - γ)2 = r2.
Составить уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке /WA.
1114. Через точки пересечения прямой
х = 3t — 5, у = 5t—11, z = — 4t + 9
и сферы
(х + 2)2 + (у—1)2 + (z + 5)2 = 49
проведены касательные плоскости к этой сфере. Составить их уравнения.
1115. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере
х2+у 2+ z2 = 9
и параллельных плоскости
х + 2у —2z+15 = 0.
1116. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере
(х—3)2+(y + 2)2 + (z— 1)2 = 25
и параллельных плоскости
4х+32—17 = 0.
1117. Составить уравнения плоскостей, касательных к сфере
ха +у + 22 — 10х + 2у + 26z — 113 = 0
и параллельных прямым
,
1118. Доказать, что через прямую
можно провести две плоскости, касательные к сфере
х2 + у3 + z2 + 2х — 6у + 4z — 15 = 0,
и составить их уравнения.
1119. Доказать, что через прямую
нельзя провести плоскость, касательную к сфере
х2 + у2 + z2 — 4х + 2у — 4z + 4 = 0.
1120. Доказать, что через прямую
х = 4t + 4, у=3t+1, z = t+1
можно провести только одну плоскость, касательную к сфере
х2+у2 +z2 — 2х + 6у + 2z + 8 = 0,
и составить её уравнение.