Файл: мет_ук4.doc

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену.

Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6].

Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.

2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.

3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с.

4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с.

5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с.

6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II / Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж. гос. ун-т, 1988. – 19 с.

Обозначения

R - множество вещественных чисел;

N – множество натуральных чисел;

С – множество комплексных чисел;

- банахово пространство функций непрерывных на R;

- пространство функций, имеющих на непрерывные производные до порядка включительно;

- пространство алгебраических многочленов;

- пространство алгебраических многочленов степени не выше .

I. Численное интегрирование

1.1. Постановка задачи

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке R , и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана)

Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой.

Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница

где - первообразная для на .

На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не выражаются интегралы и . Кроме того, функция может быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования.

1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс

Выберем на отрезке точки . Формула численного интегрирования

называется квадратурной. Величины R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы; - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы

Разность

называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).

Важно знать, для каких классов функций погрешность обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах , если для . Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , если для любой функции , где - пространство многочленов степени не выше .

Квадратурная формула (2) содержит параметров: и . Если для каждого N выбрать свои узлы и коэффициенты , то получим квадратурный процесс:

Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции погрешность квадратурной формулы при . Это означает, что последовательность функционалов погрешности сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).

Замечание 1. , , являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на :

, , .

Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю при .

Из теоремы Банаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:

Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) при для любой функции , где - множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в ;

2) существует константа такая, что для всех N.

1.3. Интерполяционная квадратурная формула

Пусть заданы узлы квадратурной формулы (2). По подинтегральной функции и узлам построим интерполяционный многочлен Лагранжа

где , .

Положив

получим интерполяционную квадратурную формулу

где

Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8).

Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной функции .

Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах степени , если . Очевидно, что если квадратурная формула (2) с узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже , то она является интерполяционной.

Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид

где - погрешность интерполяции.

Если , то

и, следовательно,

Часто оценку (9) заменяют более грубой

Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов :, необходимо и достаточно, чтобы для любого N.

Действительно, для всякого многочлена степени имеем при и, следовательно, при для любой функции , где - пространство многочленов, всюду плотное в . Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1.

Для любой таблицы узлов : , используя формулу (8), получаем

где - константа Лебега.

Замечание 3. При любом выборе узлов интерполяции имеет место (см. [4], стр. 118) неравенство С.Н.Бернштейна Введем оператор , преобразующий функцию в интерполяционный многочлен Лагранжа . Оператор - линейный и ограниченный. Нетрудно показать, что . Из неравенства С.Н.Бернштейна и теоремы Банаха-Штейнгауса немедленно следует, что для любой таблицы узлов интерполяции : найдется такая функция , для которой последовательность интерполяционных многочленов неограниченно расходится.

Замечание 4. Расходимость интерполяционного процесса может вызвать осложнения в задаче вычисления интеграла. При неудачном выборе узлов квадратурный процесс (5), порожденный квадратурной формулой (7)–(8), будет расходящимся (сумма может неограниченно расти).

1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Возьмем на отрезке равноотстоящие узлы и построим интерполяционную квадратурную формулу (см. (7)-(8))

где

Сделав в интеграле замену переменного , получим

Здесь коэффициенты

не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены заранее.

Интерполяционная квадратурная формула с равноотстоящими узлами и коэффициентами , вычисленными по формуле (12),

называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.

Коэффициенты для вычислены и содержатся в справочниках по численному интегрированию (см. [3], стр. 16-19). Приведем значения для малых :

Квадратурная формула Ньютона-Котеса точна на константах: . Для все коэффициенты положительны. При встречаются три отрицательных коэффициента, а при все коэффициенты положительны. Для среди будут отрицательные. Причем имеет место, как показал Д.Пойа, соотношение

Более того, абсолютные величины будут довольно быстро расти при для любого фиксированного . Это означает, что квадратурный процесс, порожденный квадратурными формулами Ньютона-Котеса (13), является расходящимся (не выполняется условие 2) теоремы 2). Поэтому в приложениях применяются формулы Ньютона-Котеса при небольших значениях ( ).

Если число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) нечетное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде

где , и множитель отрицателен.

Если же число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) четное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде

здесь , и множитель отрицателен.

Приведем наиболее распространенные формулы Ньютона-Котеса:

Формула трапеций

Если , то .

Формула Симпсона (парабол)

Если , то

Формула трех восьмых

Если , то

1.5. Квадратурные формулы Гаусса

Пусть требуется построить квадратурную формулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы и коэффициенты .

Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем . Действительно, возьмем многочлен степени . Тогда но и, следовательно, погрешность квадратурной формулы .

Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности .

Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной , то есть для любого многочлена

Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.

Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена.

Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство

Следовательно, все и Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.

Погрешность квадратурной формулы Гаусса для имеет вид

Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.

Многочлены вида

называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что является многочленом степени .

Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:

1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену степени меньше : для любого .

2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале .

3. Многочлены образуют ортогональную систему на : при и при .

4. Имеет место рекуррентная формула:

Формула (17) позволяет, используя равенства и , найти многочлен Лежандра любой степени.

Если известны корни многочлена Лежандра , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса

где

Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на относительно точки .

Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок осуществляется с помощью замены переменной :

Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка

где корни многочлена Лежандра .

1.6. Квадратурные формулы с весом

Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде

где - некоторая заданная функция, называемая весом. Обычно требуют, чтобы интеграл абсолютно сходился и В разложении на множители функции функцию выбирают так, чтобы она обладала достаточно высоким порядком гладкости на , при этом весовая функция должна содержать все «особенности» подинтегральной функции и быть по возможности наиболее простой.

В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид

где

Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби , позволяющей учитывать степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к отрезку и построим интерполяционную квадратурную формулу

где - корни многочлена Якоби .

Многочлен Якоби определяется формулой

Многочлены Якоби (23) ортогональны на отрезке с весом и для любого многочлена степени меньшей

С помощью теоремы 3 получаем, что алгебраический порядок точности квадратурной формулы (22) равен .

Квадратурная формула (22) содержит два параметра и , из нее могут быть получены специализированные квадратурные формулы, соответствующие распространенным видам степенных особенностей (см. [3]). В справочниках приведены квадратурные формулы Гаусса с другими весами.

1.7. Локально-интерполяционные (составные) квадратурные формулы

Для повышения точности квадратурных формул используют прием, идея которого восходит к римановым интегральным суммам. Отрезок интегрирования разбивают на некоторое число частичных отрезков, на каждом из которых применяют квадратурную формулу с небольшим числом узлов. В качестве параметра квадратурного процесса теперь используют число частичных отрезков.

Разобьем отрезок на частичных отрезков точками . Для вычисления интеграла на каждом частичном отрезке применим интерполяционную квадратурную формулу с узлами и