Файл: мет_ук4.doc

Пусть и , тогда для погрешности квадратурной формулы (24) имеет место оценка

Квадратурная формула (24) называется локально-интерполяционной или составной.

Наиболее часто формула (24) используется в случае, когда отрезок разбит на частичные отрезки равной длины и на каждом частичном отрезке используется квадратурная формула Ньютона-Котеса с узлами. Из (24) получаем при , и локально-интерполяционную квадратурную формулу

где

Сумма абсолютных величин коэффициентов формулы (26)

не зависит от числа частичных отрезков .

Оценка погрешности квадратурной формулы (25) имеет вид

Из теоремы 2 и (27) следует, что квадратурный процесс, порожденный локально-интерполяционной квадратурной формулой (25), является сходящимся при (со скоростью на функциях из класса ).

Приведем простейшие составные квадратурные формулы, часто применяемые в практике.

Правило трапеций

Если , то

Правило Симпсона (парабол)

Если , то

Замечание 5. Алгоритмы численного интегрирования, построенные на основе локально-интерполяционных квадратурных формул (25) имеют существенный недостаток – они насыщаемые. Насыщаемость проявляется в том, что асимптотическое представление погрешности формулы (25) имеет главный член. Отсюда следует неулучшаемость оценки погрешности, сколь бы ни была гладкой функция .

В зависимости от гладкости функции можно выписать любое заданное число членов асимптотического ряда, в который разлагается погрешность . Рассмотрим конкретный пример – правило трапеций. Если , то для погрешности квадратурной формулы имеет место представление

где и не зависит от . Из (28) и следует насыщаемость правила трапеций. Классом насыщения в данном случае является пространство .

Имеются простые способы преодоления дефекта локально интерполяционных квадратурных формул – их насыщаемости. Все они основаны на простом соображении, что у соответствующей линейной комбинации двух значений составной квадратурной формулы с различными, но кратными шагами, главный член погрешности исключается. Например, для правила трапеций в силу (28) , и мы получаем повышение порядка точности, если возьмем линейную комбинацию значений формулы для числа узлов и соответственно с коэффициентами 1 и – 4.

Пусть погрешность локально-интерполяционной квадратурной формулы (25) представима в виде

где и константа не зависит от . Тогда

Отсюда получаем

и, следовательно, с точностью до имеем

Если , то

Вычисление приближенной оценки погрешности по формуле (29) называется правилом Рунге.

Число

в (30) называется уточненным (экстраполированным) по Ричардсону приближенным значением интеграла (с погрешностью ).

Замечание 6. Используя этот прием, можно уничтожить и следующие члены асимптотического разложения погрешности квадратурной формулы. Однако целесообразнее применять квадратурные формулы, сразу приводящие к ненасыщаемым алгоритмам, например, составные формулы Гаусса. Отметим, что составные квадратурные формулы, основанные на формулах Гаусса с достаточно большим числом узлов, дают хорошие результаты как для очень гладких функций, так и для функций невыской гладкости.

Замечание 7. Каждая квадратурная формула рассчитывается на определенную гладкость подинтегральной функции. Например, для правила Симпсона погрешность , если . Если квадратурная формула имеет алгебраический порядок точности , то при ее применении можно рассчитывать получить «малую погрешность» только в том случае, когда имеет непрерывные производные до порядка, не меньшего . В противном случае погрешность вычисления интеграла может оказаться большой. Для увеличения порядка гладкости подинтегральную функцию представляют в виде двух слагаемых

которые выбирают так, чтобы: содержала все особенности или их главную часть и вычислялся точно; должна иметь непрерывные производные порядка, большего , для того, чтобы интеграл можно было вычислить с достаточной точностью с помощью выбранной квадратурной формулы. Приемы разложения (32) для конкретных классов подинтегральных функций изложены в [3].

1.8. Задание. Вычислить интеграл с точностью , используя правило Симпсона и составную квадратурную формулу Гаусса с пятью узлами. Оценить погрешность используемых квадратурных формул и определить число частичных отрезков разбиения, необходимое для достижения заданной точности вычисления интеграла.

Замечание 8. Обычно для вычисления интеграла с точностью используют итерационный процесс с последовательным удвоением числа частичных отрезков разбиения.

Если , то условием останова процесса является выполнение неравенства

при этом интеграл вычисляется по формуле (31).

Варианты заданий

Приложение. Для выполнения задания можно использовать следующие процедуры (на языке Паскаль):

1. Процедура simps, реализующая алгоритм правила Симпсона (парабол):

Procedure simps(a,b:real; var n:longint; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции.}

var

i :longint;

h,x :real;

begin

h:=(b-a)/n; y:=0; x:=a;

for i:=1 to n do

begin y:=y+f(x)+4*f(x+0.5*h)+f(x+h); x:=x+h end;

y:=y*h/6

end;

2. Процедура gauss, реализующая алгоритм составной формулы Гаусса с пятью узлами:

Procedure gauss(a,b:real; var n:word; var y:real);

{Входные параметры:

a – левый конец отрезка интегрирования;

b – правый конец отрезка интегрирования;

n - число частичных отрезков разбиения.

Выходные параметры:

y – значение интеграла.

Здесь f – имя функции, вычисляющей значения подинтегральной функции;

vec – одномерный массив (type vec=array[1..5]of real).}

var

i,j :word;

h,x,x1 :real;

ag,xg :vec;

z :real;

begin

ag[1]:=0.2369268850; xg[1]:=-0.9061798459;

ag[2]:=0.4786286705; xg[2]:=-0.5384693101;

ag[3]:=0.5688888889; xg[3]:=0.0;

ag[4]:=ag[2]; xg[4]:=-xg[2];

ag[5]:=ag[1]; xg[5]:=-xg[1];

h:=(b-a)/n; z:=0; x1:=a+0.5*h;

for j:=1 to n do

begin

for i:=1 to 5 do

begin x:=x1+0.5*h*xg[I]; z:=z+ag[i]*f(x); end;

x1:=x1+h

end;

y:=z*0.5*h

end;

II. Численное дифференцирование

2.1. Постановка задачи. Применение интерполяционного многочлена Лагранжа

Пусть на отрезке R определена достаточно гладкая функция и требуется вычислить в точке ее производную . Если функция задана таблично или имеет сложное аналитическое выражение, то непосредственное дифференцирование невозможно. Поэтому строят приближенные формулы численного дифференцирования.

Один из универсальных способов конструирования формул численного дифференцирования состоит в том, что по функции и узлам строят интерполяционный многочлен Лагранжа (6) и полагают

Разность

называется погрешностью формулы численного дифференцирования (33).

Для получения оценок погрешности формулы (33) для заданного существования производной недостаточно. Обычно требуется выполнение условия , .

Замечание 9. Для конструирования формул численного дифференцирования можно также использовать интерполяционные сплайны. В вычислительной практике для вычисления и обычно используют интерполяционный естественный кубический сплайн :

Приведем простейшие формулы численного дифференцирования.

1)

Если , то

2)

Если , то

3)

Если , то

Представления погрешности (34) формулы численного дифференцирования (33), выражаемые через производные функции , удается найти только в частных случаях. Общая оценка погрешности формулы (33) определяется следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть , . Тогда существуют такие константы , зависящие только от и независящие от шага и функции , что

где - интерполяционный многочлен Лагранжа (6) и .

Замечание 10. Оценка (35) с постоянными сильно завышена и редко используется на практике. Однако оценка (35) полезна тем, что она устанавливает скорость убывания погрешности относительно шага на всем отрезке при фиксированных значениях параметров ( ). Шаг является основным параметром, которым распоряжается вычислитель.

2.2. Сходящиеся формулы численного дифференцирования

Пусть гладкая на некотором интервале D вещественной прямой R функция и требуется вычислить производную . Построим сетку Рассмотрим формулу численного дифференцирования

где R, .

Разность

называется погрешностью формулы численного дифференцирования (36).

Формула численного дифференцирования (36) называется сходящейся, если при для любой функции (в любой точке гладкости функции ).

Будем говорить, что формула (36) аппроксимирует с порядком (имеет - ый порядок точности), если при .

Функцию комплексного переменного С вида

назовем характеристической функцией (символом) формулы численного дифференцирования (36).

Теорема 5. Формула численного дифференцирования (36) является сходящейся тогда и только тогда, когда ее характеристическая функция представима в виде

Замечание 11 . В представлении (38) характеристической функции сходящейся формулы численного дифференцирования множитель

имеет корней; они называются характеристическими числами сходящейся формулы численного дифференцирования (характеристические числа отличны от 1).

Для построения формулы численного дифференцирования, имеющей - ый порядок точности, можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.

Теорема 6. Для того чтобы формула численного дифференцирования (36) аппроксимировала с порядком , необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты являлись решением системы линейных уравнений

Система (39) содержит уравнений относительно неизвестных .

Из теоремы 6 следует, что для построения искомой формулы численного дифференцирования (36) нужно найти решение системы (39). Выберем и так, чтобы . В этом случае определитель системы (39) есть определитель Вандермонда и отличен от нуля:

Таким образом, для любых и можно построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующую с порядком .

2.3. Задание. Для заданных и методом неопределенных коэффициентов построить формулу численного дифференцирования, аппроксимирующую с порядком .

Составитель Трофимов Валерий Павлович

Редактор Тихомирова О.А.