Файл: Прямая на плоскости и в пространстве.doc

Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий»

Зачетная (экзаменационная) работа семестр№2

Дисциплина: Высшая математика
Реферат

Тема: «Прямая на плоскости и в пространстве»


Выполнила:

Нудьга Анна Ивановна

ГМНоз-1122(2)

Проверил(а):
(Ф.И.О. преподавателя)




(дата)

Содержание

Введение

Учебный предмет «Математика» равно как и любая другая учебная дисциплина представляет собой целостную структуру учебной информации в составе теоретического, практического, прикладного, деятельностного, эвристического и гуманитарного компонентов. Более того, разворачиваясь в содержательном, процессуальном и иерархическом уровнях, состав экономических знаний и методов обеспечивают, тем самым, основу для фундирования и интеграции базовых учебных элементов математики экономическим фоном.

Экономика играет ключевую роль в демонстрации широчайших возможностей математики в изучении реальных задач окружающего мира и решения важнейших экономических задач. Интеграция экономики с математическими дисциплинами развивает экономический образ мышления – умения применять аппарат математики и экономики для анализа конкретных экономических явлений и процессов. Взаимодействие математики и экономики приносит обоюдную пользу: математика получает широчайшее поле для многообразных приложений, а экономика – могучий инструмент для получения новых знаний.

Проблеме реализации межпредметных связей курса математики с другими дисциплинами в вузе посвящено достаточное количество работ (Азимова Н.С., Громенко В.В., Ковалев С.В., Кириченко И.И., Солощенко М.Ю. и др.). Совершенствование математического образования и усиление практической направленности математики позволит в его рамках рассмотреть новую содержательно-методическую линию – экономическую и сконструировать «экономическую составляющую математики».

Связи с этим актуализируется проблема активизации познавательной деятельности и профессиональной подготовки студентов через межпредметную связь экономики и математики, которая включает в себя психологический, педагогический и методический аспекты.

---

Интеграционные процессы, происходящие в математических и экономических науках, выражаются межпредметными связами учебных дисциплин процесса обучения в вузе. Эти связи стимулируют студентов на активную и познавательную учебную деятельность, вырабатывая интерес к предмету и потребность к познанию, развивают мышление.

Междисциплинарный подход к процессу изучения математических дисциплин способствует профессиональной подготовке студентов, умение интегрировать и систематизировать знания из различных направлений, формированию представлений о значимости математики в развитии современного общества, овладению математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни, эффективности использования математических методов и инструментов в широком спектре профессиональной деятельности.

В учебном процессе вузов межпредметные связи математических и экономических дисциплин реализуются через решение прикладных задач и упражнений.

Цель данной работы раскрыть ряд вопросов изучаемых в рамках дисциплины «математика».

Для достижения поставленной цели ставятся следующие задачи:

1.Изучить уравнение плоскости в пространстве.

2.Изучить уравнение прямой в пространстве.

3.Рассмотреть интеграцию математических и экономических знаний.

1.Уравнение плоскости и прямой в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости¹.

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0; (2)

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂

---

, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

⁼ ; (3)

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (4)

Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt. (5)

Решая систему (2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (6)

От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система



равносильна системе

;

такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x₁, y = y₁; прямая параллельна оси Oz.

ПРИМЕР 1:

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

---

²

ПРИМЕР 2:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение.По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

ПРИМЕР 3:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y- z-7=0 угол 60^о.

Решение.Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

.

Решая квадратное уравнение 3m² + 8m - 3 = 0, находим его корни
m₁ = 1/3, m₂ = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0³.

2.Интеграция математических и экономических знаний

Интеграция - процесс и результат формирования целостности из ранее разобщенных разнородных компонентов, проявляющийся через единство с противоположным ему процессом расчленения - дифференциацией. Исходные рубежи научной интеграции знаний объективно были заложены в самой дифференциации отдельных отраслей знания, превращающих их в единую научную систему⁴.

В настоящее время в современной экономике необычайно большое число будущих экономистов, нуждается в серьезной математической подготовке, которая давала бы возможность математическими методами исследовать широкий круг новых проблем, применять современную вычислительную технику, использовать теоретические достижения в практике. Хорошее владение математическим аппаратом, в частности методами математической статистики, - должно стать стандартом экономического образования. Это требует базовой подготовки на основе, высокого уровня общего образования в области фундаментальных наук. Для этого, по меньшей мере, необходимо получение студентами отчетливого представления о том, что такое математика и математическая модель, в чем заключается математический подход к изучению явлений реального мира, как его можно применять и что они могут дать.

---

⁵

Следовательно, принципиальными моментами проблемы математического образования являются: выбор объема и содержания математических курсов, определение целей обучения, правильное сочетание широты и глубины изложения, строгости и наглядности, т. е. выбор наиболее эффективных и рациональных путей обучения, и все это с учетом ограниченного времени, отводимого на изучение математики.

Исходя из этого, можно утверждать, что в экономической науке не должно быть деления на «экономику» и «математическую экономику». Основная масса статей по экономике, так или иначе, использует математический аппарат. Либо это описание модели, либо эмпирическая проверка обсуждаемых гипотез или явлений средствами корреляционного или регрессионного анализа, либо удобная система обозначений, позволяющая в дальнейшем легко формулировать изучаемые отношения на количественном языке. Но количественное описание экономических законов средствами математики и статистики требует использования более сложного математического инструментария и в большинстве случаев оказывается более сложной задачей, чем описание законов природы.

Таким образом, уже на стадии формирования учебных планов, рабочих программ и логико-структурных схем нужно учитывать изменения, которые происходят, и будут происходить в ближайшее время в постановке математического образования в вузах в результате новых требований, предъявляемых в настоящее время к выпускникам.

Необходимость усиления прикладной направленности курса математики для экономистов и повышение уровня фундаментальной математической подготовки очевидна, но невозможна без взаимопонимания тех, кто применяет в своей деятельности математические методы исследования для изучения реальных экономических явлений, и так называемых «чистых» математиков. Для достижения этого взаимопонимания специальным кафедрам нужно привлекать к сотрудничеству математиков, которые должны способствовать плодотворному содружеству математики и ее приложений. В случае, когда для рассматриваемых приложений уже имеются готовые математические понятия и основные математические модели, решения задачи указанного взаимопонимания просто и имеет учебный характер. Эта задача очень сложна в том случае, когда отсутствуют даже элементарные математические модели простейших явлений, когда их надо только еще создавать, примером могут послужить ряд вопросов экономики и социологии.

---