Файл: БДР ПЗ 5-06.docx

де Y_m Y_m (x, y) освітленість в точці (x, y) поточного зображення.

Y Y (x, y) - розподіл освітленості еталонного зображення. Враховуючи дискретну структуру зображення і дискретність моментів часу вимірювання, припустимо, що поява і зникнення сторонніх об'єктів на відеозображенні відбувається моментально, а їх освітленість постійна протягом усього часу

присутності в даній точці. Таким чином, корисний сигнал Y Y (x, y) можна представити у вигляді прямокутного імпульсу невідомої тривалості.

За відсутності шумів порівняння величини Y з деяким порогом T 0

Y T. (3.32)

_Є цілком достатньою процедурою для визначення присутності стороннього об'єкту в даній точці зображення. Проте, вимірювана величина Y_m окрім корисної інформації містить шумову складову

_{. (3.33)}

На сьогодні відомі оптимальні розв'язки для заданих форм сигналів і

шумів [5,6]. Припустимо, що компонента характеризує собою білий шум і розглянемо задачу виявлення корисного сигналу на його фоні. На відміну від детермінованих процесів, відновлення часової динаміки випадкового процесу по його спектральній характеристиці не можливе. Тому необхідно досліджувати статистичну характеристику випадкового процесу – його автокореляційну функцію.

_{Автокореляційна} функція випадкового процесу Y_m

_{, (3.34)}

де - двомірна функція розподілу ймовірності, пов'язана перетворенням Фур'є зі своїм спектральним розподілом щільності.

_{. (3.35)}

Дана функція характеризує потужність випадкового процесу, що приходиться на заданий інтервал частот. Внаслідок парності автокорреляційної функції (3.34), її спектральна щільність (3.35) є дійсною функцією.

Середня потужність випадкового процесу визначається виразом

_{. (3.36)}

Значно простіше вирішувати задачу виявлення в умовах присутності білого шуму, який в дійсності, є ідеалізованим випадковим процесом з автокореляційною функцією, що визначається дельта-функцією Дірака з безкінечною дисперсією. А отже, вреальному випадку,коли спектральна щільність потужності випадкового процесу постійна лише в розглянутому кінцевому діапазоні частот, введення такої ідеалізації дає змогу достатньо легко застосувати оптимальні методи фільтрації.

Приведені визначення стосуються тільки спектральної характеристики випадкового процесу, проте закони розподілу білого шуму можуть бути різними. Спектральний опис випадкового процесу є зручним при розгляді впливу на нього амплітудно-частотних характеристик різних електричних кіл та пристроїв. Так, при проходженні випадкового процесу через лінійну систему, можна показати, що спектральні щільності потужності випадкового процесу на вході і на виході лінійної системи пов'язані наступним співвідношенням

_{, (3.37)}

де - комплексний коефіцієнт передачі лінійної системи.

3.7 Синтез оптимального фільтра

Оцінимо можливу ефективність виявлення неперіодичного сигналу при його адитивній суміші з білим шумом. При постановці завдання знаходження коефіцієнта передачі оптимального фільтра,використовуються наступні вагомі припущення про характер корисного сигналу: вважається відомою форма сигналу і сигнал єфінітним в часі

_(3.38)

Оптимальним фільтром у даному випадку буде фільтр, що забезпечує максимальне відношення пікової потужності сигналу до потужності шуму в момент закінчення імпульсу. Комплексний коефіцієнт передачі такого оптимального фільтра прямо визначається спектром заданого, що підлягає виявленню сигналу. При виявленні сигналу на фоні шуму найбільшого застосування отримав критерій максимуму відношення сигнал/шум на виході фільтра. Для цього потрібно синтезувати фільтр, що забезпечує в заданий момент часу одержання найбільшого можливого відношення пікового значення сигналу до середньоквадратичного значення шуму. Як правило, в задачах виявлення сигналів, збереження форми сигналу не потрібно, тому що для виявлення в шумах форма сигналу значення не має. Будемо вважати, що сигнал детермінований, з відомими часовою функцією , а отже і спектральною. Шум будемо вважати стаціонарним процесом з рівномірним енергетичним спектром, тобто шум будемо вважати "білим " зі спектральною щільністю потужності .

Завдання створення такого оптимального фільтра вирішується у два етапи:

а) визначення його комплексного коефіцієнта передачі ;

б) визначення структури (схеми) фільтра і його параметрів.

Коефіцієнт може бути знайдений для будь-якого фізично реалізованого сигналу. Другий етап більш складний. Необхідно оцінити умови фізичної реалізуємості оптимального фільтра, що розробляється. Перейдемо до конкретного розв'язку першого етапу - визначення оптимального коефіцієнта передачі фільтра в зазначеному вище сенсі для заданого сигналу і при "білому" шумі. Представивши сигнал у вигляді інтеграла Фур'є

_{, (3.40)}

де - фазова характеристика спектру сигналу.

Комплексний коефіцієнт передачі фільтра можна представити у вигляді

_{. (3.41)}

Тоді сигнал на виході фільтра визначається з виразу

_{. (3.42)}

Припустимо, що пік сигналу на виході фільтру отримується в момент t₀ (поки що невідомий).

_{. (3.43)}

Проведемо оцінку потужність шуму на виході цього фільтру, відповідно виразу

_{. (3.44)}

Як відомо ефективна, середньоквадратична напруга шуму дорівнює . Отже, відношення пікового значення сигналу до напруги шуму визначається як

_{. (3.45)}

Таким чином, подальша задача полягає в знаходженні коефіцієнта передачі фільтра, який забезпечує максимум правої частини виразу (3.45). Скористаємося нерівністю Шварца. Для чисельника виразу (3.45) можна записати

_{. (3.46)}

Використовуючи (3.45), нерівність (3.46) можна записати так

_{. (3.47)}

_{Звідси видно, що відношення сигнал/шум досяг}ає максимуму, коли нерівність (3.47) перетворюється в рівність. Оскільки права частина не залежить від В(а), для цього необхідно виконання двох умов:

1. _{.Звідки ;}

2. Щоб _{, де А - постійний коефіцієнт.}

Звідси випливає, що коефіцієнт передачі оптимального фільтра повинен мати вигляд

_{. (3.48)}

Слід зазначити, що є спектральною функцією, комплексно спряженою зі спектральною функцією сигналу. А отже оптимальний коефіцієнт передачі фільтра може бути визначений наступним чином

_{. (3.49)}

Зазначимо, що оскільки В_опт безрозмірна функція, то коефіцієнт А повинен мати розмірність зворотну розмірності спектру. З формули (3.49) випливає, що . Оптимальний фільтр повинен пропускати спектральні складові шуму нерівномірно, з тим більшим ослабленням, чим менше модуль спектру сигналу. У результаті повна потужність шуму буде меншою, чим при рівномірній амплітудній характеристиці. Доданок фазової характеристики компенсує фазові зсуви в спектрі сигналу. Доданок забезпечує появу піку вихідного сигналу в момент t₀, тобто затримку вихідного сигналу відносно його початку на вході. Тільки за умови t₀ > Т може бути використана вся енергія сигналу, що має тривалість Т, для створення найбільшого можливого піку в моменті t = t₀. Очевидно, що подальше збільшення затримки не впливає на величину піку. Якщо сигнал має спектр

_{. (3.50)}

_{А функція}

_{, (3.51)}

є комплексно спряженою йому функцією, то можна показати, що комплексний коефіцієнт передачі оптимального фільтра визначається наступним чином

_{. (3.52)}

Маючи на увазі, що фазова характеристика коефіцієнта передачі є , бачимо, що ( компенсує фазові зсуви спектру сигналу, що формує «пік» імпульсу на виході, а лінійна функція забезпечує затримку цього «піку» на час тривалості сигналу, тобто цей пік припадає на момент закінчення сигналу. Можна сказати, що забезпечується накопичення корисного сигналу на інтервалів сього часу існування імпульсу.

Формула (3.52) встановлює також, що модуль коефіцієнта передачі повинен збігатися з модулем спектральної щільності функції заданого сигналу, тобто оптимальний фільтр послаблює спектральні складові шуму тем сильніше, чим менше модуль . У результаті, повна потужність шуму на виході фільтру виявляється меншою, чим при рівномірній АЧХ.

Розглянемо процес синтезу оптимального фільтру для виявлення прямокутного імпульсу на фоні білого шуму й оцінимо величину відношення сигнал/шум при проходженні прямокутного імпульсу через такий фільтр.

Форма імпульсу, за таких умов, задається наступним виразом

_(3.53)

Будемо вважати, що корисний сигнал представляє собою одиночний прямокутний імпульс тривалістю і амплітудою U₀ (рисунок 3.4).

Рисунок 3.4 – Прямокутний імпульс

Спектральна щільність такого сигналу описується функцією

_{, (3.54)}

_{і спряженою функцією}

_{. (3.55)}

Для даного імпульсу відповідно до (3.52) оптимальний коефіцієнт передачі фільтра визначається як

_{. (3.56)}

Такий коефіцієнт передачі може бути реалізований схемою, що містить ідеальне інтегруючеколо, лінію затримки і схему віднімання (рисунок 3.5).

Рисунок 3.5 – Структурна схема оптимального фільтра

Знайдемо сигнал на виході оптимального фільтра для розглянутого прикладу (а=1)

_{. (3.57)}

Таким чином, імпульс на виході має трикутну форму з основою і має максимальне значення при (рисунок 3.6).

Рисунок 3.6 – Сигнал на виході оптимального фільтра

Висновки:

1. Основною задачою обробки сигналів у системах оптико-електронного спостереження є виявлення корисного сигналу і вимірювання його параметрів на фоні шуму. При цьому особливе значення мають методи, що задовільняють деякій істотній, в даних умовах спостереження вимозі, що представляє собою критерій оптимальності.

2. При відомих апріорних характеристиках сигналу і суміші сигналу з шумом, оптимальна процедура виявлення сигналу зводиться до обчислення і порівняння з прийнятим порогом відношення правдоподібності, який на відміну від відомих передбачає розрахунок його значення в інтервалі часу (кількості кадрів), що задовільняє умові мінімального часу невиявленого існування об'єкта в площині електронного зображення.

3. При відсутності повної апріорної інформації про структуру сигналу і шуму необхідні відомості отримуються при порівнянні зображень сусідніх кадрів на етапі навчання на основі відомих реалізацій шуму або суміші сигналу із шумом.

4. У якості критерію оптимальності для оптико-електронних систем, що реалізують послідовний аналіз сигналу, необхідно приймати середній час не виявленого існування об'єкту при заданому середньому періоді неправильного спрацьовування системи.