Файл: Аксиоматика Колмогорова.doc

Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

1. История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов.

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман[3] (1908), С. Н. Бернштейн[4] (1917), Р. Мизес[5] (1919 и 1928), а также А. Ломницкий[6] (1923) на базе идей Э. Бореля[7] о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

2. Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть

— множество элементов

, которые называются элементарными событиями, а

— множество подмножеств

, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а

— пространством элементарных событий.

Аксиома I (алгебра событий). является алгеброй событий.
Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию x из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число , которое называется вероятностью события x.
Аксиома III (нормировка вероятности). .
Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события x и y не пересекаются, то

Совокупность объектов

, удовлетворяющая аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример:

состоит из единственного элемента

— из

и множества невозможных событий (пустого множества)

, при этом положено

. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

3. Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Обычно можно предполагать, что система

рассматриваемых событий

которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество

(аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m / n будет мало отличаться от

. Далее ясно, что

, так что вторая часть

аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события

всегда m = n, благодаря чему естественно положить

(аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества

), то m = m₁ + m₂, где m,m₁,m₂ обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y,x,y. Отсюда следует:

Следовательно, является уместным положить

(аксиома IV).

4. Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

Аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности

событий из

такой, что

имеет место равенство

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство

, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий

конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.