Файл: Аксиоматика Колмогорова.doc

. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют σ-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле , где  — алгебра,  — вероятностная мера на ней. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра , содержащая . Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

---

6. Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»

Некоторые учёные не согласны с тем, что Колмогоров сделал теорию вероятностей аксиоматической теорией. Их доводы:

• 
  Вероятность — это понятие из реального мира, и поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Точно так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», но это не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели — математические выкладки, формулы, уравнения и т. д., свойствами похожие на настоящие мосты.
  
• 
  Утверждают, что аксиоматика Колмогорова не вводит ни одного нового базового (неопределяемого, как точка или прямая) понятия. А значит, она является определением: «Вероятность — это такая мера, что ».
  

При этом аксиоматику Колмогорова они называют «моделью Колмогорова». Изредка приводятся альтернативные модели теории вероятностей.

Литература

1. 
   Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
   
2. 
   Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.
   
3. 
   Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
   
4. 
   Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.
   
5. 
   Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99.
   
6. 
   Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71.
   
7. 
   Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.
   

---