Файл: МаинтегралыКонтрольная. Условия задач.doc

I. Вычисление неопределённых интегралов 2

1. Интегрирование степенных функций 2

2. Метод интегрирования по частям 2

3. Метод замены переменной (внесения функции под дифференциал) 2

II. Приложения определённых интегралов 4

4. Вычисление площадей с помощью интегралов (1) 4

5. Вычисление площадей с помощью интегралов (2) 4

6. Вычисление объёмов тел вращения с помощью интегралов 6

7. Моменты относительно осей и центр тяжести 6

7

I. Вычисление неопределённых интегралов

1. Интегрирование степенных функций

Вычислить неопределённые интегралы.

Проверить ответ дифференцированием.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

2. Метод интегрирования по частям

Вычислить неопределённые интегралы методом интегрирования по частям. Проверить ответ дифференцированием.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

3. Метод замены переменной (внесения функции под дифференциал)

Вычислить неопределённые интегралы методом замены переменных.

(Во всех примерах «внешняя функция» - возведение в степень (степенная).

Проверить ответ дифференцированием.

0.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

II. Приложения определённых интегралов

4. Вычисление площадей с помощью интегралов (1)

Вычислить площадь области, заключённой между графиками функций f₁(x) и f₂(x).

Нарисовать иллюстрацию к заданию.

;
;
;
;
;

;
;
;
;
;

5. Вычисление площадей с помощью интегралов (2)

Вычислить площадь ограниченной области, заключённой между графиками функций f (x) = x² и g(x) = c+ dx.

Коэффициенты c, d для функции g(x) взять из таблицы согласно номеру варианта.

Нарисовать иллюстрацию к заданию.

Вариант	c	d
0	-3	-3.5
1	-2	-3
2	-1	-2.5
3	1	-1.5
4	2	-1

Вариант	c	d
5	3	-0.5
6	-1.5	-2.5
7	-0.75	-2
8	0.75	-1
9	1.5	-0.5

6. Вычисление объёмов тел вращения с помощью интегралов

Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox области плоскости, заключённой между графиками функций f(x) = x^C и g(x) = x^D.

Показатели степеней C, D взять из таблицы согласно номеру варианта.

Нарисовать иллюстрацию к заданию. Изобразите пару окружностей – сечений поверхностей вращения.

Вариант	C	D
0	1/3	3
1	1/3	2
2	1/3	3/2
3	1/3	1
4	1/3	2/3

Вариант	C	D
5	1/3	1/2
6	1/2	3
7	1/2	2
8	1/2	3/2
9	1/2	1

7. Моменты относительно осей и центр тяжести

Для двух плоских фигур, ограниченных соответственно графиками функций f₁(x), f₂(x) вычислить:

а) статические моменты фигуры относительно осей координат

б) координаты центра тяжести фигуры.

Должно получиться 8 чисел; для каждой из двух фигур – два момента и две координаты.

Примечание: для вычисления координат центра тяжести необходимо знать площадь фигуры. Вычисление площади см. в задании 4 (там даны те же функции f₁(x), f₂(x))