Файл: Математические софизмы.doc

Государственное бюджетное профессиональное образовательное

учреждение Воронежской области

«Воронежский индустриальный колледж»

Индивидуальный проект по математике:

Тема «Математические софизмы»

Автор: Сапрыкин Давид Русланович,

студент группы ТО-221

Проверил: Попова Марина Алексеевна,

преподаватель математики

Воронеж

2023 год

СОДЕРЖАНИЕ


Паспорт проекта

	Название проекта	Математические софизмы
	ФИО разработчика проекта	Сапрыкин Давид Русланович
	ФИО руководителя проекта или консультанта, должность	Попова Марина Алексеевна, преподаватель математики
	Название образовательного учреждения	Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области «Воронежский индустриальный колледж»
	Год разработки проекта	2023 год
	Актуальность	Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
	Объект исследования	Софизмы, их виды
	Предмет исследования	Математические софизмы
	Гипотеза	Софизм – это обман
	Цель	Узнать, что такое математические софизмы
	Задачи	1. Познакомиться с понятием – софизм. 2. Узнать виды математических софизмов. 3. Рассмотреть примеры математических софизмов. 4. Понять где используются математические софизмы.
	Тип проекта	Исследовательский
	Сфера применения результатов	На уроках математики
	Форма продукта проектной деятельности	Информационный; по предметно - содержательной линии: межпредметный.
	Предметная область	Математика

---

ВВЕДЕНИЕ

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – «Математические софизмы». Неслучайно я выбрал именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

1. Основная часть

1.1 Определение «Софизм»

Софизм – (от греческого sophisma , «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка») - умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям.

Софизм, в отличие от паралогизма, основан на преднамеренном, сознательном нарушении правил логики. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Итак, софизм — всего лишь сбивчивое доказательство, попытка выдать ложь за истину. Он имеет случайный, не связанный с существом рассматриваемой темы характер и является сугубо внешним препятствием на пути проводимого рассуждения. Отсюда следует, что никакого глубокого и требующего специального разъяснения содержания за ним не стоит. В софизме как результате заведомо некорректного применения семантических и логических операций не проявляются также какие-либо действительные логические трудности. Коротко говоря, софизм — это мнимая проблема.

В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель его — выдать ложь за истину. Прибегать к софизмам предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

---

1.2 История софизмов

Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа.

Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах. Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста (софист, от греч. sophistes — умелец, изобретатель, мудрец, лжемудрец) — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Однако софизмы существовали задолго до философов-софистов, а наиболее известные и интересные были сформулированы позднее в сложившихся под влиянием Сократа философских школах. Термин “софизм” впервые ввел Аристотель, охарактеризовавший софистику как мнимую, а не действительную мудрость. К софизмам им были отнесены и апории Зенона, направленные против движения и множественности вещей, и рассуждения собственно софистов, и все те софизмы, которые открывались в других философских школах. Это говорит о том, что софизмы не были изобретением одних софистов, а являлись скорее чем-то обычным для многих школ античной философии.

---

1.3 Классификация софизмов

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать. Виды математических софизмов: арифметические софизмы, алгебраические софизмы, геометрические софизмы. Математические софизмы развивают наблюдательность и вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью математических рассуждений.

Алгебраические софизмы:

Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

Геометрические софизмы:

Умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.

Арифметические софизмы:

Это числовые выражения имеющие неточность или ошибку, незаметную с первого взгляда.

Логические софизмы:

Это софизмы, ошибки которых заключаются в неправильных рассуждениях.

1.4. Применение математических софизмов

1. На уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;

2. В домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);

3. При проведении различных математических соревнований, для разнообразия;

4. На занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

5. При написании реферативных и исследовательских работ.

2 Исследовательская часть

2.1 Практические задачи

---

1. Пример алгебраического софизма:

«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений:

х+2у=6, (1)

у=4- х/2 (2)

Сделаем это подстановкой у из 2го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда 8=6

Где же ошибка???

Уравнение (2) можно записать как х+2у=8, так что исходная система запишется в виде:

Х+2у=6,

Х+2у=8

В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не совпадают. Перед тем, как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.

2. Пример арифметического софизма:

«Пять равно шести».

Возьмем тождество 35+10-45=42+12-54.

В каждой части вынесем за скобки общий множитель: 5(7+2-9)=6(7+2-9) , так как вторые множители равны, то и первые множители тоже равны, получим 5=6.

Где ошибка???

Ошибка допущена при делении верного равенства 5(7+2- 9) = 6(7+2-9) на число 7+2-9, равное 0. Этого нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

3. Пример геометрического софизма:

«Катет равен гипотенузе»

Угол С равен 90˚, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.




O


Где ошибка???

Ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

4. Пример логического софизма:

«Четное и нечетно»

5 есть 2+3 («два и три»). Два - число четное, три – нечетное, выходит, что число пять – число и четное и нечетное.

Где ошибка???

Пять не делится на два, также, как и 2+3, значит, оба числа нечетные.

2.2 Классификация ошибок

1. Терминологические ошибки.

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы наиболее характерные:

---