Файл: Контрольная работа 4 по высшей математике.rtf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Томский Государственный Университет

Систем управления и радиоэлектроники

(ТУСУР)

Контрольная работа № 4 по высшей математике.

Вариант №3.

Задание №1.

1. 
   Найти производные от данных функций:
   

а).

Решение:








б).

Решение:


в).

Решение:




Задание №2.

Дана функция

Найти: а). координаты вектора в точке А(-1,3,2);

Решение:

;



;



;

Координаты вектора

б). в точке A в направлении вектора .
Решение:

Найдем орт вектора а.

---

По формуле найдем (А).



Задание №3.

Дана функция Найти . Вычислить .

Решение:







Задание №4.
Доказать, что функции удовлетворяют уравнению

Решение:



Видим, что , что и требовалось доказать.

Задание №5.
Найти , если . Вычислить , если .

Решение:
Найдем





, следовательно,

, поэтому,


Так как ;

, то


При вторая производная
Задание №6.

Функция задана неявно уравнением

---

.

Вычислить:

а). б).

Решение:
Применим формулу к функции , заданной неявно уравнением
а). б).


Задание №7
На графике функции взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси OX под углом, тангенс которого равен . Найти абсциссу точки A.

Решение:
Найдем значение x точки A. Тангенс угла равен значению производной данной функции при данном значении x.





, то есть .

Задание №8

Найти , вычислить значение , если .
Решение:
Найдем от функции .

, найдем при , а .

- это , где , а - называют приращением аргумента, следовательно:


Задание №9

---

Дана функция и точки и . Вычислить и при переходе точки в точку (ответы округлить до сотых).
Решение:
Находим

По формуле находим :





Найдем:




Задание №10

Дана функция . Найти уу наибольшее и наименьшее значение на отрезке .
Решение:
Найдем :



Критические точки:







Разделим обе части уравнения на :





Домножим обе части уравнения на







Домножим на :



(критическая точка).

При производной не существует,

и -точки разрыва.

Вычислим значение функции во всех найденных точках:

---

(не принадлежит отрезку)





(не принадлежит отрезку)




Задание №12
Провести полное исследование функции и начертить ее график.

Решение:
Найдем область определения функции

;

Найдем область значений ;

Выявить критические точки:

- точка разрыва второгорода.

Прямая двустороняя вертикальная асимптота.



Находим наклонные асимптоты


, следовательно, прямая -наклонная двустороняя асимптота.

, если - не существует.




+ - +

-2 0

min



Исследуем функцию и окрестности точки при






Так как знаменатель положителен всюду в

---