Файл: Основы финансовых вычислений. Задачи.ppt

Основы финансовых вычислений. Задачи

Различные способы вычисления процентов
Дисконтирование
Учёт инфляции
Потоки платежей
Ренты

Задача 1

Какова простая ставка процентов, при которой первоначальный капитал в размере 130000 руб., достигнет через 100 дней 155000 руб.? Число дней году считается приближённо и равно 360. Ответ привести с точностью до 0,01%.
Решение. Воспользуемся формулой
. Подставив данные задачи
; , получим





;

Решение задачи 1. Задача 2.

; ; ;
; i = 69,23%.
Задача 2. Ссуда 700000 руб. выдана на квартал по простой ставке процентов 15% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение. Используя формулу простых процентов для вычисления наращенной суммы, получим = 726250.

Задача 3

Найти сумму накопленного долга и проценты, если ссуда 180000 руб. выдана на три года под простые 18% годовых. Во сколько раз увеличится наращенная сумма при увеличении ставки на 2%?
Решение. Вычислим сумму накопленного долга S как наращенную сумму по формуле простых процентов .
S

Решение задачи 3. Задача 4

Проценты равны . При ставке 18% + 2% = 20% наращенная сумма равна = 180000∙(1 + 3∙0,2) = 288000. Наращенная сумма увеличивается в
= 1,03896 раза.
Задача 4. Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 122000 руб., достигнет через 120 дней величины 170000 руб. Временная база К=360.

Решение задачи 4. Задача 5

. Воспользуемся формулой наращения по простой процентной ставке . Найдём . Подставив условия задачи, получим ; ;
или 118,03%.
Задача 5. Определить период, за который начальный капитал в размере 46000 руб. вырастет до 75000 руб., если ставка простых процентов равна 15% годовых.
5

Решение задачи 5. Задача 6

Воспользуемся формулой наращения по простой процентной ставке . Подставив условия задачи, получим
Задача 6. Ссуда 150000 руб. выдана на 4 года под 20% годовых (простые проценты). Во сколько раз больше наращенная сумма по сравнению со ссудой?

Решение задачи 6. Задача 7

Найдём наращенную сумму по формуле простых процентов
Эта сумма раз больше ссуды, что как раз равно множителю наращения.
Задача 7. В банк 7 февраля на депозит положили сумму 20000 у.е. под 11% годовых по схеме сложных процентов. Какую сумму вкладчик снимет 1 октября?

Решение задачи 7. Задача 8

Найдём время t. 7 февраля день №38, 1октября день №274, число дней равно 274 – 38 = 236, время (в годах) равно . Найдём искомую сумму как наращенную величину по формуле сложных процентов .
Задача 8. Вклад на 80000 руб., открытый в банке на 10 месяцев, принес вкладчику 7000 руб. Под какой простой (сложный) процент годовых был открыт вклад?

Решение задачи 8.

Для вычисления сложного процента применим формулу . Подставив данные задачи, получим уравнение 80000 + 7000 =
= Откуда ; ;
или 10,59%. Для вычисления простого процента применим формулу Подставив данные задачи, получим уравнение 80000+7000 = 80000∙(1+10/12∙i). Откуда ; или 10,5%.

Задачи 9, 10

Задача 9. Чему равен процентный платеж, если кредит 170000 руб. взят на 7 месяцев под сложных 17% годовых?
Решение. Процентный платеж равен разности между наращенной суммой и величиной кредита
Задача 10. Ставка по годовому депозиту равна 8%. Какую ставку годовых процентов нужно назначить на полугодовой депозит,

Задачи 10, 11

чтобы последовательное переоформление полугодового депозита привело бы к такому же результату, что и при использовании годового депозита? (К=360)
Решение. . Следовательно или 7,85%.
Задача 11. Заемщик должен уплатить 80000 руб. через 65 дней. Кредит выдан под 19% годовых (простые проценты).

Задачи 11, 12

Какова первоначальная сумма долга и дисконт (К=360)?
Решение. . Следовательно
=77346,58. Дисконт равен D = 80000 – 77346,58 = 2653,42.
Задача 12. На счет в банке кладется сумма в размере 20000 руб. на 4 года под 11% годовых по схеме простых процентов с дальнейшей пролонгацией на последующие 2 года под 6% годовых по той

---

Задача 12

же схеме. Найти размер вклада через 6 лет. Определить наращенную сумму, если вклад изымается через 4 года и кладется на новый счет на 2 года по той же схеме.
Решение. а) 20000∙(1 + 4∙0,11 + 2∙0,06) = 31200
б) 20000∙(1 + 4∙0,11)∙(1 + 2∙0,06) = 32256

Задача 13

В банк положен депозит в размере 2400 руб. под 7% годовых по схеме сложных процентов. Найти величину депозита через три года при начислении процентов 1, 4, 6, 12 раз в году и в случае непрерывного начисления процентов.
Решение. а) = 2940,1;
б) ; в)
г) ; д)

Задача 14

Клиент поместил в банк вклад в сумме 18000 руб. под 8,5% годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какую сумму клиент будет получать каждый месяц, если начисление производится по формуле простых процентов?
Решение. Искомая сумма равна величине 18000∙0, 085:12 = 127,5.

Задача 15

На годовом депозите можно получить 12% годовых, а на полугодовом — 11,5% годовых. Что выгоднее — положить средства на годовой депозит, или на полугодовой депозит с пролонгацией на тех же условиях? Чему будут равны проценты в обоих случаях при сумме депозита 25000 руб.?
Решение. Наращенная сумма на годовом депозите .Наращенная сумма на полугодовом депозите .

Задача 16

В банк положена сумма 40000 у.е. сроком на 2 года по ставке 10% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную процентную ставку для следующих вариантов начисления процентов: а) ежеквартального; б) ежемесячного.
Решение. а) наращенная сумма
; процентные деньги I = 8736,12;

Решение задачи 16. Задача 17

эффективная процентная ставка или 10,38 %;
б) ; I = 8815,64;
или 10,47%.
Задача 17. За какой период первоначальный капитал в размере 40000 руб. вырастет до 75000 руб. при простой ставке 15% годовых?

Решение задачи 17. Задача 18

Для простых процентов выполняется соотношение 75000 = 40000∙(1 + 0,15n). Следовательно 0,15n = ; n =
Для сложных процентов выполняется соотношение 75000 .
Следовательно ;
Задача 18 . В банк положена сумма 150000 руб. сроком на 6 лет по ставке 14% годовых. Найти наращенную сумму, величину полученного процента и эффективную

Задача 18

процентную ставку для следующих вариантов начисления процентов: а) полугодового; б) ежеквартального; в) ежемесячного; г) непрерывного при силе роста 14%.
Решение. а) наращенная сумма равна
; величина полученного процента равна I = 187828,74; эффективная процентная ставка равна
.

Решение задачи 18

б) наращенная сумма равна ; величина полученного процента равна I = 192499,27; эффективная процентная ставка равна .
в) наращенная сумма равна
; величина полученного процента равна I = 195769,74; эффективная процентная ставка равна
.

Решение задачи 18. Задача 19

г) наращенная сумма равна
; величина полученного процента равна I = 197455,05; эффективная процентная ставка равна
Задача 19. На сумму долга в течение 8 лет начисляются проценты по ставке 11% годовых. Во сколько раз возрастет наращенная сумма, если проценты будут капитализироваться ежемесячно? Ежеквартально? Непрерывно?
.

Решение задачи 19

Наращенная сумма при ежегодной капитализации равна .
Наращенная сумма при ежемесячной капитализации равна , что в раза больше, чем при годовой капитализации.
Наращенная сумма при ежеквартальной капитализации равна , что в раза больше, чем при годовой капитализации.

Решение задачи 19. Задача 20

Наращенная сумма при непрерывной капитализации равна , что в раза больше, чем при годовой капитализации.
Задача 20. На какой срок необходимо положить в банк 12000 руб., чтобы накопить 15000 руб., если банк принимает вклады под простые (сложные) 8% годовых?
Решение. Простые проценты. Воспользуемся формулой ;

Решение задачи 20.Задача 21

1200(1 + 0,08n) = 1500; = 3,125.
Сложные проценты. Воспользуемся формулой ; ; ;
.
Задача 21. Банк принимает депозиты на сумму 500000 руб. на следующих условиях: а) под 10% годовых с ежеквартальным начислением процентов;

---

Задача 21

б) под 10% годовых с полугодовым начислением процентов; в) под 11,5% годовых (во всех трех случаях проценты капитализируются). Выберите оптимальную схему вложения денежных средств.
Решение. Воспользуемся формулой а) ;
б) ;
в) . Самым выгодным депозитом является депозит в).

Задача 22

Компания получила кредит на три года в размере 234000 руб. с условием возврата 456000 руб. Определить процентную ставку для случаев простого и сложного процента.
Решение. Для простого процента имеем соотношение 456000 = 234000∙(1 + 3i). Откуда ; или 32,75%.
Для сложного процента ;
или 24,91%.

Задача 23

Вклад открыт под 14% простых годовых. На него начислен процентный платеж в сумме 1500 руб. Найдите величину вклада, если он был открыт на: а) 10 лет, б) 1 год, в) 6 месяцев, г) 10 дней. Временная база K - 365 дней.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления процентного платежа .
а) ; ;

Решение задачи 23. Задача 24

б) 1500 = ; ;
в) ; .
Задача 24. Вексель стоимостью 100000 руб. учитывается за 4 года до погашения по сложной учетной ставке 15% годовых. Найдите сумму, получаемую векселедержателем, и величину дисконта.
Решение. Искомая сумма равна
.

Задача 25.

Клиент имеет вексель на 16000 у.е., который он хочет учесть 10.01.2009 г. в банке по сложной учетной ставке 8%. Какую сумму он получит, если срок до погашения 10.07.2009 г.?
Решение. Найдём время t до погашения векселя. 10,01 – день №10; 10,07 – день №191; число дней равно 191 – 10 = 181; . Сумма, полученная векселедержателем равна .

Задача 26

Предприятие получило кредит на один год в размере 7 млн. руб. с условием возврата 7,77 млн. руб. Рассчитайте процентную и учетную ставку.
Решение. Процентная ставка вычисляется по формуле . Откуда ;
; или 11%.
Учётная ставка вычисляется по формуле
. Откуда 7000000 = 7770000 ;

Решение задачи 26. Задача 27

; или 9,9%.
Задача 27. Банк учитывает вексель по номинальной учетной ставке 10% с ежемесячным начислением процентов. Найти сложную учетную ставку, при которой доход банка не изменился.
Решение. Искомая учётная ставка является эффективной учётной ставкой и вычисляется по формуле .
или 9,55%.

Задача 28. Задача 29

Задача 28. Вексель стоимостью 550 тыс. руб. учитывается за три года до погашения по сложной учетной ставке 12% годовых. Найти сумму, которую получит векселедержатель, и величину дисконта.
Решение. Искомая сумма равна
.
Задача 29. Клиент имеет вексель на 20000 руб., который он хочет учесть 24.04.2011 г. в банке по сложной учетной ставке 10%.

Задачи 29, 30

Какую сумму он получит, если срок погашения 12.09.2011 г.?
Решение. Найдём время t с момента учёта до момента погашения векселя. 24.04 – день №144; 12.09 –день № 255; число дней 255 – 114 = 141; . Сумма, полученная клиентом равна
Задача 30. Номинальная учетная ставка равна 10%. При этом проценты начисляются ежеквартально. Найти эффективную учетную ставку.

Решение задачи 30. Задача31

Эффективная учётная ставка равна или 9,63%.
Задача 31. Что выгоднее, положить 1000 у.е. в банк на год под 8% годовых или купить за 1000 у.е. вексель с номиналом 1100 у.е. и погашением через год? Чему равна доходность покупки векселя, измеренная в виде годовой ставки процентов?

Решение задачи 31. Задача 32

Наращенная сумма при вкладе в банк равна . Покупка векселя с номиналом 1100 выгоднее. Доходность покупки векселя вычисляется по формуле ; 1100 = 1000∙(1 +i); 1 + i = 1,1; i =0,1 или 10%.
Задача 32. Вексель куплен за 200 дней до его погашения. На момент покупки рыночная простая учетная ставка составляла 7% годовых.

Задача 32

Через 5 дней вексель продали по учетной ставке 6% годовых. Оцените эффективность данной финансовой операции в виде ставки простых процентов. Временная база K = 365 дней.
Решение. Вексель куплен за сумму
. Вексель продан за сумму . Эффективность операции выражается по формуле . Откуда
; ; или 47,83% .

---

Задачи 33, 34

Задача 33. Найти сложную процентную ставку , эквивалентную непрерывной ставке 8%. Ответ привести с точностью до 0,01%.
Решение. Искомая ставка процентов равна или 8,33%.
Задача 34. Найти сложную процентную ставку , эквивалентную простой ставке 10%.
Решение. Используя формулу эквивалентности сложной и простой

Решение задачи 34. Задача 35.

процентных ставок, получим или 8,45%.
Задача 35. Найти простую процентную ставку , эквивалентную сложной ставке 11% для временного интервала 1,5 года.
Решение. Искомая простая ставка равна или 11,3%.

Задача 36

Найти непрерывную процентную ставку , эквивалентную простой ставке в 15% для временного интервала в 5 лет.
Решение. Используя равенство множителей наращения , найдём непрерывную ставку процентов (силу роста ) =
или 11,19%.

Задача 37

Найти простую процентную ставку , эквивалентную сложной ставке в 15% для временного интервала в 5 лет при ежемесячном начислении процентов.
Решение. Используя равенство множителей наращения , найдём простую ставку процентов или 22,14%.

Задача 38

Номинальная процентная ставка составляет 12% годовых при годовом темпе инфляции 4%. Чему равна реальная ставка с учётом инфляции. Чему равна эффективная процентная ставка, если проценты начисляются ежемесячно? ежедневно? ежеквартально?
Решение. Реальная ставка с учётом инфляции равна или
3,7%. Эффективная процентная ставка вычисляется по формуле

Решение задачи 38.Задача 39

При ежемесячном начислении процентов
.
При ежедневном начислении процентов
.
При ежеквартальном начислении процентов .
Задача 39. Номинальная процентная ставка составляет 15% годовых. Чему равна

Задача 39

эффективная процентная ставка, если проценты начисляются ежемесячно? ежедневно? ежеквартально?
Решение. Воспользуемся формулой
При ежемесячном начислении процентов
.
При ежедневном начислении процентов

Решение задачи 39. Задача 40

При ежеквартальном начислении процентов .
Задача 40. Ставка процентов составляет 10% годовых. Месячный темп инфляции в первом полугодии был постоянен и составил 2%, во втором полугодии — 3%. Во сколько раз реальная наращенная сумма превзойдёт сумму депозита за год?

Решение задачи 40. Задача 41

Темп инфляции за год составляет величину
. Реальная процентная ставка равна . Реальная сумма депозита за год возрастёт в 1 + r = 1,047 раза.
Задача 41. Темп инфляции за период равен 0,75. Темпы инфляции за периоды соответственно, составляют геометрическую прогрессию со

Задача 41

знаменателем 0,9. Найти темп инфляции за каждый период.
Решение. Темпы инфляций равны , ,
. . Следовательно .
f(0,22) = -28; f(0,23) = 11,1. Следовательно с точностью до 0,005 или 22,5%.

Задача 42

Темп инфляции за период равен 0,8. Темпы инфляции за периоды соответственно, составляют арифметическую прогрессию с разностью 0,01. Найти темп инфляции за каждый период.
Решение. Воспользуемся формулой вычисления инфляции за несколько периодов .

Решение задачи 42.Задача 43

.
, . Следовательно, с точностью до 0,005 или 20,5%.
Задача 43. Темп инфляции за первый период равен 0,37. Темп инфляции за второй период на 55% выше, чем за первый. Найти темп инфляции за каждый период.
Решение. Используя формулу вычисления инфляции за два периода,

Решение задачи 43.Задача 44

получим ; ;
или 13,46%;
Задача 44. Темп инфляции за период равен 0,4. Темп инфляции за первый период в 1,173 раза меньше, чем за второй. Найти темп инфляции за каждый период.
Решение. Используя формулу вычисления инфляции за два периода, получим
; ;
= 0,0992 или 9,92%.

Задача 45

Прогнозируется среднемесячный темп инфляции 3%. Найти квартальный, полугодовой и годовой темп инфляции.
Решение. а) квартальный темп инфляции равен или 12,55%.
б) полугодовой темп инфляции равен или 19,41%.
в) годовой темп инфляции равен или 42,58%.

---

Задача 46

Месячный темп инфляции составляет 3%. Найти индекс цен и темп инфляции за год, определить наращенную сумму за год, если на сумму 200000 руб. в течение года начислялась простая (сложная) процентная ставка 15% годовых (К=360) , и определить ставку, при которой наращение равно потерям из-за инфляции.
Решение. Темп инфляции за год равен или 42,58%, индекс цен 1,42

Решение задачи 46

Наращенная сумма равна 200000∙1,15 = 230000 .
В случае сложных процентов месячная ставка равна или 1,17%. Годовая ставка, при которой потери из-за инфляции равны наращению составит 42,58%.

Задача 47

Темп инфляции за период равен 1,2. Темпы инфляции за периоды соответственно, составляют арифметическую прогрессию с разностью 0,1. Найти темп инфляции за каждый период.
Решение. Используя формулу вычисления инфляции за три периода, получим
;

Решение задачи 47.Задача 48

; f(0,2) = -0,016 < 0; f(0,21) = 0,03 > 0. Следовательно, с точностью до 0,05, ; ; .
Задача 48. Прогнозируется среднемесячный темп инфляции 1%. Годовая номинальная ставка 15%. Найти эффективную реальную ставку, если начисление происходит 6 раз в году.
Решение. Годовая ставка инфляции
;

Решение задачи 48. Задача 49

реальная годовая процентная ставка
= = 0,0206; эффективная годовая ставка или 2,08%.
Задача 49. Пусть темп инфляции за месяц равен 2%. Найти темп инфляции за год при условии постоянства темпа инфляции в течение года.
Решение. Годовой темп инфляции равен или 26,82%.

Задачи 50, 51

Пусть темп инфляции за год равен . Найти темп инфляции за квартал при условии его постоянства.
Решение. Темп инфляции за квартал равен или 4,6%.
Задача 51. Какую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции 8% годовых он мог бы иметь 10% доходность?
Решение. Воспользуемся формулой Фишера
; ; ; или 18,8%.

Задача 52

Найти реальный доход вкладчика, если на депозит положено 200000 у.е. на 4 года под 15% годовых с ежемесячным начислением процентов при квартальной инфляции, которая составляет в среднем за данный период 3%.
Решение. Найдём годовой темп инфляции
. Вычислим реальный процент по формуле Фишера

Решение задачи 52. Задача 53

Реальный доход равен
Задача 53. При какой годовой процентной ставке сумма увеличится в 3 раза за 10 лет, если проценты начисляются поквартально?
Решение. Найдём процентную ставку , исходя из уравнения

Решение задачи 53. Задача 54

Откуда ; ; или 11,14%.
Задача 54. Найти период времени , за который сумма, положенная на депозит под 13% годовых по схеме сложных процентов, возрастет в 4 раза.
Решение. Используем формулу наращения как уравнение относительно n.
; ; .

Задача 55

Компания имеет на депозите в банке 100000 руб. Депозитная ставка банка составляет 18% годовых. Предлагается объединить оборотные средства в совместном предприятии, которое прогнозирует утроение капитала через 8 лет. Провести сравнение вариантов вложения капитала.
Решение Найдём наращенную сумму в банке

Решение задачи 55. Задача 56

за 8 лет. . Следовательно, оставить деньги на депозите в банке выгоднее.
Задача 56. При какой годовой сложной процентной ставке сумма удвоится за 7 лет, если проценты начисляются ежеквартально?
Решение. Используем правило семидесяти в качестве уравнения. ; = 10%.

Задача 57.

При какой годовой сложной процентной ставке сумма утроится за 6 лет, если проценты начисляются ежемесячно? ежеквартально?
Решение. Используем формулу наращения как уравнение относительно . При ежемесячном начислении процентов
; или 18,45%. При ежеквартальном –
или 18,73%.

Задача 58

Задача 58. За сколько лет при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза в схеме простых процентов?
Решение. Используем формулу наращения как уравнение относительно n.
; ; .
Задача 59. За сколько лет удвоится капитал в схеме простых процентов при ставке 18% годовых?

---