Файл: Основы финансовых вычислений. Задачи.ppt

Задачи 59, 60, 61

Воспользуемся правилом «ста» .
Задача 60. За сколько лет удвоится капитал в схеме сложных процентов при ставке 18% годовых?
Решение. Воспользуемся правилом семидесяти .
Задача 61. Три платежа: 15000, 26000 и 45000 руб., произведенные в начале третьего, начале четвертого периодов и в

Задачи 61, 62

конце пятого, соответственно, заменить платежом 90000 руб. Годовая ставка 15%.
Решение. Найдем срок платежа n исходя из уравнения эквивалентности
; ;
Задача 62. Три платежа: 13000, 25000 и 35000 руб., произведенные в начале

Задача 62

третьего, начале четвертого периодов и в конце пятого, соответственно, заменить двумя платежами в конце шестого и седьмого периодов. При этом первый платеж в три раза больше второго. Годовая ставка сложных процентов равна 11%.
Решение. Обозначим второй из искомых платежей через S, тогда первый будет равен 3S. Найдем S, исходя из уравнения эквивалентности ; ;

Решение задачи 62. Задача 63

Первый платёж равен , второй – .
Задача 63. Два платежа: 13000 и 35000 руб. произведенные в начале четвертого и в конце пятого периодов, соответственно, заменить

Задача 63

двумя платежами в конце шестого и восьмого периодов. При этом первый платеж на 20% больше второго. Годовая ставка сложных процентов равна 9%.
Решение. Обозначим второй из искомых платежей через S, тогда первый будет равен 1,2S. Найдем S, исходя из уравнения эквивалентности ;
;

Решение задачи 63. Задача 64

Первый платёж равен , второй –
.
Задача 64. Один платеж 43000 руб. в начале третьего периода заменить тремя равными платежами, произведенными в начале первого и в конце четвертого и седьмого периодов, соответственно. Годовая ставка простых процентов равна 17%.

Решение задачи 64. Задача 65

Обозначим искомый платёж через S. Найдем S, исходя из уравнения эквивалентности ;
Задача 65. Резервный фонд создается в течение 18 лет. На поступающие в него средства начисляются сложные проценты по ставке 4,5% годовых.

Задача 65

В течение первых 6 лет в конце каждого года в фонд вносили по 15000 у.е., в течение последующих 4 лет — по 18000 у.е. в конце года, а в последние 8 лет — по 22000 у.е. в конце года. Чему будет равна сумма фонда через 18 лет? Ответ привести с точностью до 0,01.
Решение. Сумма фонда S складывается из трёх наращенных сумм, каждая из которых

Решение задачи 65

вычисляется по формуле . Причём, первая сумма лежит на депозите и наращивается в течение 12 лет, вторая – в течение 8 лет.
Задача 66. Семья планирует через 5 лет купить квартиру за 1900000 руб. и с этой целью ежемесячно на банковский депозит

Задача 66

вносится определенная сумма. Найти ее, если годовая банковская ставка составляет 11% с ежемесячным начислением процентов.
Решение. Используем формулу Подставляя данные задачи, получим уравнение относительно годового взноса R.
. Откуда . Годовой платёж равен. Месячный
Месячный – 23893,94

Задача 67

Какую сумму нужно положить в банк под 12% годовых мужчине 37 лет, чтобы по достижении им пенсионного возраста 60 лет в течение 15 лет в начале каждого месяца снимать по 10000 рублей, если проценты капитализируются: в конце года; в конце каждого полугодия; в конце каждого квартала; в конце каждого месяца?
Решение. Обозначим через A искомую сумму. Тогда к пенсионному возрасту эта

Решение задачи 67

сумма нарастится до величины . Эта величина является приведённой суммой ренты (пенсии) и вычисляется по формуле
;
Проценты начисляются раз в год, k = 1.
Проценты начисляются раз в полгода, k = 2.

Решение задачи 67. Задача 68

Проценты начисляются раз в квартал, k = 4.
Проценты начисляются раз в месяц, k = 12.
Задача 68. Сколько лет должна выплачиваться рента с годовым платежом 5000 руб., чтобы ее текущая (наращенная) стоимость превзошла величину 75000 руб. при процентной ставке 9% годовых?

---

Решение задачи 68. Задача 69

Найдём наращенную величину(текущую стоимость) ренты и решим неравенство ;
; . Наименьшее число лет равно 10.
Задача 69. Фонд создается в течение 7 лет, взносы поступают в конце каждого полугодия равными суммами. На поступившие средства в конце года

Задача 69

начисляется 12% годовых. На сколько процентов возрастет сумма фонда в конце седьмого года при переходе к непрерывной капитализации процентов?
Решение. При годовой капитализации сумма фонда составит величину
. При непрерывной капитализации сумма фонда составит величину

Решение задачи 69. Задача 70

что в раза, или на 2,46%, больше, чем при годовой капитализации.
Задача 70. Фонд создается в течение 10 лет. Средства поступают в фонд в конце года равными суммами. На собранные средства в конце года начисляется 10% годовых. На сколько процентов возрастет наращенная сумма фонда при переходе к: а) взносам в конце каждого квартала; б) ежемесячному начислению процентов? Ответ привести с точностью до 0,01%.

Решение задачи 70

При ежегодных взносах наращенная сумма равна . При ежеквартальных взносах наращенная сумма равна
, что в 1,03676 раза, или на 3,676%, больше, чем при годовых взносах. При ежемесячном начислении процентов наращенная сумма равна что в раза, или на 2,29%, больше, чем при годовой капитализации.

Задача 71

Какую сумму нужно положить в банк женщине 55 лет, чтобы в течение 18 лет в конце каждого года снимать по 3000 у.е., если на остаток вклада меньше 10000 у.е. начисляется 3% годовых, больше или равно 10000 у.е. — 4% годовых?
Решение. Найдём срок, в течение которого приведённая величина ренты меньше 10000. Воспользуемся формулой вычисления приведённой величины и

Решение задачи 71

решим неравенство.
; ; ; ;
. Следовательно 3% будут начисляться последние 3 года, а 4% первые 15 лет. Искомый вклад равен сумме приведённой величины 15-летней ренты и дисконтированной приведенной величины 3-летней ренты и равен

Задача 72

Фонд создается в течение 5 лет. Средства поступают в фонд в конце года по 50000 руб., на них начисляется 13% годовых. В каком случае сумма фонда станет больше: а) при переходе к ежемесячным взносам в конце каждого месяца; б) при переходе к ежедневной капитализации процентов? (К=365 дней).
Решение. Величина фонда (наращенная

Решение задачи 72

сумма) при ежемесячных взносах равна
; при ежедневной капитализации процентов сумма фонда равна
В случае ежедневной капитализации процентов сумма меньше, чем в случае ежемесячных взносов.

Задача 73

Для создания премиального фонда один раз в год производятся взносы в размере 15000 руб. На вносимые средства начисляются проценты под 12% годовых. Определить размер фонда через 7 лет в следующих случаях: а) поступление средств в конце года, ежеквартальное начисление процентов; б) поступление средств в конце квартала, начисление процентов 6 раз в году; в) ежемесячное поступление средств и ежеквартальное начисление процентов.

Решение задачи 73

Воспользуемся формулой а)
б)
в) .

Задачи 74, 75

Задача 74. Формируется фонд на основе ежегодных отчислений в сумме 8000 у.е. с начислением на них сложных процентов по ставке 11%. Определить величину фонда через 10 лет.
Решение.
Задача 75. Определить размер вклада, который обеспечивает ежегодное (в конце года) получение денежной суммы в размере 1700 у.е. в конце года в течение 19 лет, если процентная ставка равна 11%.

Решение задачи 75. Задача 76

= 1700 = 13326,8.
Задача 76. Дайте определение внутренней нормы доходности потока и найдите ее для потока .
Решение. Внутренняя норма доходности – это такая процентная ставка , при которой приведённая сумма потока равна нулю;
; ;
; ; ;
или 64,9%.

Задача 77

Дайте определение внутренней нормы доходности потока и найдите ее для потока
.
 Решение. Внутренняя норма доходности – это такая процентная ставка , при которой приведённая сумма потока равна нулю;
; ; ;
; ;
или 34,58%.

---

Задача 78

Определить доходность инвестиций, выраженную в виде годовой ставки процента, если известно, что на 25000 руб. вложений доход составит 3000 руб. ежегодно в течение 17 лет.
Решение. Найдём искомый процент , исходя из формулы, рассматриваемой в качестве уравнения относительно . ;
i = 13%.

Задача 79

Сравните два потока по среднему сроку:
Решение.   ;
Задача 80. Даны два потока: и . Какой из этих потоков является предпочтительнее? Почему?

Решение задачи 80. Задача 81

Найдём современные величины обоих потоков. ; .
, так как ;
. Следовательно . Т. о. первый поток предпочтительнее.
Задача 81. Пусть поток платежей и процентная ставка составляет 10%. Найти приведенную стоимость и наращенную величину этого потока.

Решение задачи 81. Задача 82

Приведённая стоимость равна.
. Наращенная величина равна .
Задача 82. Приведите поток к моменту времени при ставке 8%.
Решение. Приведённая величина потока равна

Задачи 83, 84

Приведите поток к моменту времени при ставке 9%.
Решение. Приведённая величина потока равна
Задача 84. Найдите средний срок потока
.
Решение. Средний срок равен

Решение задачи 84. Задача 85

Задача 85. На счет в банке помещено 160000 руб. За первые 5 лет и 6 месяцев процентная ставка равнялась 10%, а в следующие 7 лет и 4 месяца — 8%, капитализация полугодовая. Чему будет равна наращенная величина вклада через 12 лет 10 месяцев.
Решение.

Задача 86

На счет в банке помещено 25000 руб., а через 5 лет сняли 20000 руб. Чему будет равна наращенная величина вклада через 12 лет (со дня помещения), если процентная ставка равна 11%, а капитализация полугодовая.
 Решение. Через 5 лет сумма на банковском счете оказалась равной . Ещё через 7 лет сумма нарастится до величины

Задача 87

Банк предлагает вкладчикам на двухлетний срок два варианта начисления процентов: 1) в первый год 2,5% ежеквартально, во второй год по 2% ежеквартально; 2) в первое полугодие по 3,5% ежеквартально, а в каждом последующем полугодии ежеквартальная ставка убывает на 0,5%. Какой вклад выгоднее.
Решение. 1) Наращенная сумма равна

Решение задачи 87. Задача 88

2) Наращенная сумма равна
.
Второй вариант выгоднее.
Задача 89. Контракт предусматривает следующий порядок начисления сложных процентов: первый год — 11%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Определить множитель наращения за 2,5 года.

Решение задачи 88. Задача 89

Множитель наращения является произведением четырёх множителей и равен .
Задача 89. Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на один год: за первый квартал ссудный процент 30%; за второй квартал — 35%; за третий — 37%; за четвертый квартал — 40%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда составляет 200000 руб.

Решение задачи 89. Задача 90

Сумма к возврату равна S = 200000∙(1 + 0,3) ∙(1 + 0,35) ∙(1 + 0,37) ∙(1 + 0,4) =673218.
Задача 90. Банк объявил следующие условия выдачи ссуды на один год: за первый квартал ссудный процент 30%; за второй квартал — 35%; за третий — 37%; за четвертый квартал — 40%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда составляет 200000 руб.

Решение задачи 90. Задача 91

Сумма к возврату равна S = 200000∙(1 + 0,3) ∙(1 + 0,35) ∙(1 + 0,37) ∙(1 + 0,4) =673218.
Задача 91. Найти простую процентную ставку , эквивалентную сложной ставке для временного интервала в 6 лет при ежеквартальном начислении процентов.
Решение. Приравняем множители наращения и выразим ставку простых процентов. ; ;

Задача 92

Найти простую процентную ставку , эквивалентную сложной ставке в 8% для временного интервала в 10 лет при ежемесячном начислении процентов.
Решение. Найдём ставку , исходя из равенства множителей наращения
; или 12,2%.

Задачи 93, 94

Найти простую процентную ставку , эквивалентную непрерывной ставке 9%.
Решение. Найдём ставку , исходя из равенства множителей наращения
;
Задача 94. Найти сложную процентную ставку , эквивалентную непрерывной ставке 9%.

Решение задачи 94. Задача 95.

Найдём ставку , исходя из равенства множителей наращения ;
или 9,42%.
 Задача 95. Найти непрерывную процентную ставку , эквивалентную сложной ставке 5%.
Решение. Найдём ставку , исходя из равенства множителей наращения
; или 4,88%.

Задачи 96, 97

Инвестор намерен положить некоторую сумму под 14% годовых с целью накопления через три года 1500000 руб. Определить сумму вклада.
Решение. Найдём искомую сумму исходя из уравнения ; .
Задача 97. Рыночная цена 12-ти процентной облигации номиналом 1000 руб. за два года до погашения равна 1200 руб.

Задача 97.

Найти текущую стоимость облигации при процентной ставке: а) 10%, б) 14%, в) 12% и её курс.
Решение. Найдём курс или 120%. Текущая стоимость P вычисляется по формуле и равна следующим величинам:
а) ;
б) ;

Задачи 97, 98

в) текущая стоимость P равна номинальной стоимости N и равна 1000, так как купонная и номинальная ставки равны.
Задача 98. Найти текущую стоимость облигации номинальной стоимостью 1000 руб., сроком погашения 5 лет и ежегодными выплатами по купонной ставке 15%, если годовая процентная ставка составляет 20%.

Решение задачи 98. Задача 99.

Текущая стоимость P вычисляется по формуле и равна
.
Задача 99. Одна из двух бумаг портфеля является безрисковой. Рисковая бумага имеет параметры (0,4; 0,7), доходность безрисковой бумаги равна 0,31. Найти портфель и его доходность, если его риск равен 0,55.

Решение задачи 99

Обозначим через долю рисковой бумаги, а через долю безрисковой бумаги, через и доходность и риск рисковой бумаги. Риск портфеля вычисляется по формуле
. Следовательно ;
; . Доходность портфеля равна
Задача 100. Найдите изменение текущей рыночной стоимости облигации со сроком

Задача 100

обращения n = 7 лет, номинальной стоимостью N = 50000, купонной ставкой с = 8% и доходностью к погашению ρ =10% при увеличении и уменьшении доходности к погашению на 2%.
Решение._._._Месячный_взнос_равен_R/12_=_492,3._Задача_105.'>Решение. Текущая рыночная стоимость облигации вычисляется по формуле
. При ставке доходности к погашению ρ = 10% рыночная стоимость

Задачи 100, 101

равна ; при ставке 12% стоимость
; при ставке 8% стоимость .
Задача 101. Рыночная цена 20-ти процентной облигации номиналом 3500 руб. за два года до погашения равна 4300 руб. найти текущую стоимость облигации при процентной ставке: а) 14%, б) 20%, в) 23% и её курс.

Решение задачи 101

Курс облигации равен или 122,86%. Текущую стоимость найдём по формуле

Задачи 102, 103

Найти срок ренты постнумерандо, если известны .
Решение. Найдём срок ренты n, исходя из формулы вычисления наращенной суммы
; ; ;
Задача 103. Найти рентный платеж ренты постнумерандо, если известны
4
; ; ;

Решение задачи 103. Задача 104

Найдём рентный платёж R, исходя из формулы вычисления приведённой величины A. ;
.
Задача 104. Семья планирует через 5 лет купить машину за 50000 у.е. С этой целью ежемесячно на банковский депозит вносится определенная сумма в у.е. Найти этот ежемесячный платеж, если годовая з

Задачи 104, 105

банковская ставка составляет 13% с ежемесячным начислением процентов.
Решение. . .
Месячный взнос равен R/12 = 492,3.
Задача 105. Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 2000 руб. бесконечно долго при сложной ставке 14% годовых.
Решение.
задача

Задача 106

Во сколько раз больше будет наращенная сумма в конце n-ого периода при ежепериодном (в конце периода) платеже R, чем при разовом платеже в начальный момент времени?
Решение. ; ;
Задача 107. Для бессрочной (вечной) ренты определить, что больше увеличит приведенную стоимость этой ренты,

Задачи 106, 107

увеличение рентного платежа на 3% или уменьшение процентной ставки на 3%?
 Решение. ; ; Увеличение процентной ставки приведёт к большему увеличению приведенной стоимости ренты.
Задача 107. Фонд создается в течение 12 лет с ежегодными взносами 120000 у.е. в конце года. На поступившие средства

Задача 107

начисляется 4% годовых, если сумма не превышает 250000 у.е. и 4,5% годовых, если сумма превышает 250000 у.е. Чему будет равна величина фонда через 12 лет?
Решение. ; ;
; ;

Задача 108

Сколько нужно вносить ежегодно на счет в банке под 5,5% годовых, чтобы через 14 лет накопить 90000 у.е., если: а) взносы в конце каждого квартала; б) взносы в конце каждого месяца?
Решение. Воспользуемся формулой
. В случае а) p = 4, k = 1, i = 0,055, n = 14, S = 90000. Следовательно

Задачи 108, 109

. В случае б) p = 12;
Задача 109. За сколько лет можно накопить 150000 у.е., если в конце каждого квартала на счет вносится 10000 у.е. и на данные средства начисляются проценты в конце каждого полугодия по ставке 6% годовых? На сколько нужно увеличить годовые выплаты, чтобы срок уменьшился на полгода?

Решение задачи 109. Задача 110

Воспользуемся формулой где S = 150000; p = 4; i= 0,06; k = 2; R/4 = 10000; R =40000; Найти n. Имеем
Задача 110. Фонд создается в течение 10 лет, взносы поступают в конце каждого квартала равными суммами. На поступившие средства в конце года начисляется 7% годовых.

Решение задачи 109

На сколько процентов возрастет сумма фонда в конце 10-го года при переходе к непрерывной капитализации процентов?
Решение. Найдём наращенную сумму при ежегодной капитализации
. Найдём наращенную сумму при непрерывной капитализации
. Искомый процент равен .

Задача 110

Вычислить приведенную и наращенную величины непрерывной 7-летней ренты с непрерывным начислением процентов с рентным платежом 300 при ставке 15% годовых.
Решение. Приведенная величина равна
. Наращенная сумма равна

Задача 111

Приведенная величина 12-летней ренты пренумерандо с непрерывным начислением процентов, процентной ставкой 5% равна 27000 руб. Найти наращенную сумму.
Решение. Воспользуемся формулой, связывающей наращенную величину с приведённой суммой

Задача 112

Приведенная величина 7-летней ренты пренумерандо с ежемесячным начислением процентов, процентной ставкой 7,5%, равна 100000 руб. Найти наращенную сумму.
Решение. Наращенная сумма равна .

Задача 113

Наращенная сумма 5-летней ренты постнумерандо с ежеквартальным начислением процентов, процентной ставкой 4,25% равна 50000 руб. Найти приведенную величину.
Решение. Найдём приведённую величину по формуле

Задача 114

Во сколько раз увеличится приведенная величина ренты постнумерандо, если платежи платить в начале периода? Ставка равна 20%.
Решение. В 1 + i =1,2 раза.
Задача 115. Во сколько раз увеличится приведенная величина квартальной ренты постнумерандо, если платежи платить в начале периода? Ставка равна 30%.

Решение задачи 115.

Приведённая величина ренты пренумерандо равна приведённой величине ренты постнумерандо, умноженной на множитель наращения за один малый период (квартал), т. е. на
. Следовательно приведённая величина ренты пренумерандо в 1,0678 раза больше приведённой величины ренты постнумерандо.

Задача 116

Какова процентная ставка, если наращенная величина месячной ренты постнумерандо увеличится в 1,0234 раза, если платежи платить в начале периода?
Решение. Величина ренты пренумерандо в раза больше приведённой величины ренты постнумерандо. Поэтому ;
или 31,99%.

Задача 117

Какова процентная ставка, если приведенная величина ежедневной ренты постнумерандо увеличится в 1, 000687 раз, если платежи платить в начале периода (К=360)?
Решение. Величина ренты пренумерандо в раза больше приведённой величины ренты постнумерандо. Поэтому, ;
или 28,05%.

Задача 118

Заменить ренту с параметрами рентой с параметрами .
Решение. Используем уравнение эквивалентности (равенство приведённых величин двух рент) .
; ;
;

Задача 119

Замените годовую ренту параметрами
, на p-срочную (месячную) ренту .
Решение. Используем уравнение эквивалентности (равенство приведённых величин двух рент). ;
.

Задача 120

Замените две ренты постнумерандо с параметрами и разовым платежом в момент времени ,
И процентной ставкой
Решение. Используем уравнение эквивалентности (равенство приведённых величин двух рент)

Задача 121

Консолидируйте три ренты постнумерандо с параметрами
4-летней рентой постнумерандо с .
Решение. Воспользуемся равенством суммы приведённых величин трёх данных рент и приведённой величины искомой ренты

Задачи 121, 122

Задача 122. Пусть доходность актива за месяц равна 2%. Найти доходность актива за год при условии постоянства месячной доходности в течение года.

Решение задачи 122. Задача 123

Доходность актива за год равна или 26,28%.
Задача 123. Замените единовременный платеж 345000 руб. в момент времени
-срочной рентой постнумерандо с параметрами
Решение. Приравняем современные величины данного платежа и искомой ренты

Задачи 123, 124, 125

Задача 124. Доходность актива за год равна 24%. Найти доходность актива за квартал при условии ее постоянства.
Решение. Квартальная ставка равна или 5,53%.
Задача 125. Замените единовременный платеж 600000 руб. в момент времени и процентной ставкой 8% -срочной рентой

Задача 125

постнумерандо с параметрами
Решение. Приравняем современные величины данного платежа и искомой ренты

Задачи 126, 127

Пусть доходности за два последовательных периода времени равны 20% и 30% соответственно. Найти доходность за период .
Решение. Годовая доходность равна или 56%.
Задача 127. По вине пенсионного фонда семье в течение 3 лет не доплачивали 625 руб. ежемесячно. Какую сумму должен

Задачи 127, 128

должен выплатить фонд вместе с процентами (10% годовых)?
Решение. Сумма выплаты равна
Задача 128. Доходность актива за период равна 0,75. Доходности актива за периоды соответственно составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 1,2. Найти доходность актива за каждый период.

Решение задачи 128

Доходности активов за периоды равны
. Тогда
Так как значения функции f имеют разные знаки в точках 0,168 и 0,17, то с точностью до 0,001 (0,1%) искомое значение доходности

---