Файл: Урок геометрии в 7 классе Презентацию подготовила Рудник Ольга Анатольевна учитель математики i категории моу СШ53 г. Макеевки.ppt

Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части
Разделить угол 55º на четыре равные части
Расположить три точки на одинаковом расстоянии друг
от друга

Задачи на построение

Тема урока:

Учебная задача урока:
дать представление о задачах на построение, этапах их решения и начать выделять основные задачи на построение.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.
Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O С

Дано: отрезок АВ, луч ОС.

Построить:
отрезок OD, OD= АВ DОС.

А B

Построение:
1) окр.(O, r =АВ);
2) окр.(O, АВ) Ո OC=D;
3) OD - искомый

О C

Задача1.
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

D

Дано: отрезок АВ, луч ОС.

Построили:
OD= АВ

Доказать: АB=ОD
3.Доказательство:
OD= АВ как радиусы одной и той же окружности окр.(O, АВ);

4.Исследование:
Задача всегда имеет единственное решение.

А B

О C

O

D

Схема решения задач на построение:

Анализ

Построение

Доказательство,

Исследование

Задача2.
Построить треугольник, стороны которого равны заданным отрезкам.

Дано:

а=3см

b=2см

с=4см

Построить:
АВ = а, ВС = b, AC = c.

Построение:
1) луч АМ
2)окр.1(А, r = а);
3) окр.1 Ո АМ = В;

А

М

В

4) окр.2 (А, r=с)
5) окр.3 (В, r=b)
6) окр.2 Ո окр.3=С
7) AC, BC
8) Δ АВС – искомый треугольник

С

Анализ:

а=3см

b=2см

с=4см

С

В

А

Доказательство:

В ΔАВС АВ=а=3см по построению как радиус окр.(А,r=a), АС=с=4см по построению как радиус окр.(А,r=с), ВС=b=2см по построению как радиус окр.(В,r=b). Значит, треугольники равны по трем сторонам.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Учебник, задача №148 На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложить отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

Построение:

А

В

С

Запишите самостоятельно ход построения и доказательство

Исследование: Так как от данной точки на данном луче можно отложить отрезок заданной длины и притом только один, то данная задача имеет единственное решение

Учебник, задача №149 Даны прямая а и точка В , не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ=PQ. Всегда ли задача имеет решение?
I случай

II случай

III случай

В

В

В

а

а

а

P Q

P Q

P Q

ρ (В, а) < PQ
2 точки

ρ (В, а) = PQ
1 точка

ρ (В, а) > PQ нет точек

Задача не всегда имеет решение

Дано:

Дано:
А В
Построить: точку О,
АО=ОВ

Задача 3.
Построить середину отрезка АВ.

Построение:
1) Луч АМ
2) окр.1(А;r=AB)ՈАМ=В
3) окр.1(А;r=AB)Ո
окр.2(В;r=AB)={К ,М}
4) Прямая КМ
5) КМ Ո АВ=О
6) О- середина АВ

А

В

К

М

О

М

Доказательство:

У них АМ=АК=ВМ=ВК как радиусы одной
окружности,
Значит, ΔАМК = ΔВМК по трем сторонам,

Рассмотрим ΔАМК и ΔВМК.

МК – общая сторона.

тогда соответствующие углы равны

В равнобедренном ΔАКВ (АК=КВ) КО является биссектрисой и медианой.

Значит, О – середина АВ, ч. и т. д.

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 4. Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части

Дано:

А

В

5 см

Построить:

точки О, Р, Е так, что АР=РО=ОЕ=ЕВ

Анализ:

А

В

О

Р

Е

Построение:

1) Луч АМ

А

М

2) окр.1(А, r=АВ)

3) окр.1 Ո АМ=В

В

4) окр.2(В, r=АВ)

5) окр.1Ոокр.2={К,Н}

К

Н

6) Прямая КН Ո АВ=О

О

7) окр.3(А, r=АО)

8) окр.4(О, r=АО)

9) окр.3Ոокр.4={T, L}

L

T

10) Прямая TL Ո AO=P

P

11) окр.5(O, r=АО)

12) окр.6(В, r=АО)

13) окр.5Ոокр.6={S,D}

S

D

14) Прямая SD Ո BO=E

E

15) AP=PO=OE=EB

Доказательство: А Р О Е В

О – середина АВ по построению, тогда АО=ОВ=0,5 АВ
Р – середина АО и Е – середина ВО по построению, тогда АР=РО=ОЕ=ЕВ=0,25 АВ
Значит, отрезок АВ разделили на четыре равные части

Исследование:
Задача всегда имеет единственное решение.

А

В

С

Дано:

Построить:

Построение:
окр.1 (А ,r)
окр.1 (А, r) Ո
окр.2 (O, AC)
окр.2 Ո ОМ = D
окр.3 (B, BC)
окр.4 (D, BC)
окр.2 Ո окр.4 = E
8) луч ОЕ
9) искомый.

О М

О

D

E

Задача 5.
Отложить от данного луча угол, равный данному

М

Дано: угол А.

А

Построили: угол О.

В

С

О

D

E

Доказательство: рассмотрим ΔАВС и ΔОDE.
АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.
АВ=ОD, как радиусы одной окружности.
ВС=DE, как радиусы одной окружности.
АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О

Доказать: А = О

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 6.
Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними

Дано:

а=3см

b=4см

О

Построить:

ΔАВС,

АВ=а=3см, АС=b=4см,

Анализ:

b=4см

а=3см

А

В

С

Построение:

1) Луч АМ

А

М

О

2) окр.1 (О, r)

3) окр.1 (О, r) Ո

Р

Е

4) окр.2 (А ,r)

5) окр.2 Ո АМ = D

D

6) окр.3 (Е, r=ЕР)

7) окр.4 (D, r=ЕР)

8) окр.4 Ո окр.2=Т

Т

9) луч АТ

10) окр.5 (А, r=b)

11) окр.5 Ո АМ =С

С

12) окр.6 (А, r=а)

13) окр.6 Ո АТ=В

В

14) ВС

15) ΔАВС – искомый треугольник

Доказательство:

В ΔАВС :
АВ=а=3см как радиусы одной окружности

АС=b=4см как радиусы одной окружности

– по построению

Значит, треугольники равны по первому признаку

Исследование:
Задача всегда имеет единственное решение.

САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 7:
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам

Дано:

а=5см

О

Е

Дано: угол А

Построить: биссектрису АВ

А

Построение:
1) окр.1 (A, r);
2) окр.1(A, r) Ո ={C,D}
3) окр2.(C, r);
4) окр3.(D, r)
5) окр2.(C,r) Ո окр3.(D,r) = B;
6) луч AB
7) AB – искомая биссектриса .

А

D

C

B

Задача 8.
Построить биссектрису данного угла

Докажем, что луч АВ – биссектриса А
Доказательство:
Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C) .
Рассмотрим ∆ АСВ и ∆ АDB:

А

В

С

D

АС=АD, как радиусы одной окружности.
СВ=DB, как радиусы одной окружности.
АВ – общая сторона.

∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку
равенства треугольников

Луч АВ – биссектриса

Исследование: Задача всегда имеет единственное решение.

САМОСТОЯТЕЛЬНО

Задача 9:
Разделить данный угол на 4 равные части

Дано:

О

ПРОВЕРКА

Задача 9:
Разделить данный угол на 4 равные части

Построение:

О

Задача 10.
Построить точку пересечения биссектрис треугольника

Дано:

А1

В1

С1

Построить:
ΔАВС = ΔА1В1С1, О – точка пересечения биссектрис АD, ВЕ и СF.

Анализ:

Дано:

А1

В1

С1

Построение:

1) Луч АМ

А

М

2) окр.1(А, r=А1С1)

С

3) окр.1 Ո АМ = С

4) окр.2(А, r=А1В1)

5) окр.3(С, r=В1С1)

6) окр.2 Ո окр.3 =В

В

7) АВ, ВС, ΔАВС

8) окр.4(А, r)ՈАВ=Р

Р

9) окр.4(А, r)ՈАС=Т

Т

10) окр.5(Р, r)

11) окр.6(Т, r)

12) окр.5Ոокр.6=S

S

13) луч АS Ո BC=D

14) AD – биссектриса

D

Биссектрису CF строим самостоятельно

Задача 11.
Дана прямая m и точка A, лежащая на ней. Построить прямую перпендиулярную к данной прямой m, проходящую через данную точку A.

Дано:

m

А

Построить:

Построение:

m

А

1) окр.1(А, r)

2) окр.1 Ո m={P,T}

P

T

3) окр.2(Р, r=PT)

4) окр.3(T, r=PT)

5) окр.2 Ո окр.3=K

K

6) прямая КА=n – искомая прямая

n

Построили:

m

n

А

P

Т

К

Доказательство:

Проведём отрезки РК и КТ

Рассмотрим ΔКРА и ΔКТА. У них:

КР=КТ =РТ как радиусы равных окружностей

АР = АТ как радиусы одной окружности

АК – общая сторона

Значит, ΔКРА = ΔКТА по трём сторонам

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов

А так как они смежные, то 180º:2=90º.

Значит,

Работа в паре

Учебник, задача №153 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а.

Дано:

b=3см

а=5 см

Построить:

Построение:

m

А

1) окр.1(А, r)

2) окр.1 Ո m={P,T}

P

T

3) окр.2(Р, r=PT)

4) окр.3(T, r=PT)

5) окр.2 Ո окр.3=K

K

6) AK AT

n

Задача 12.
Построить прямоугольный треугольник по двум его катетам.

7) окр.4(А,r=a) Ո AT=B

B

8) окр.5(А,r=b) Ո AK=C

C

9) ΔABC - искомый

Самостоятельная работа

Первый вариант
Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе

Второй вариант
Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по катету

Третий вариант
Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу

1. Укажите, какое из указанных дальше построений можно выполнить с помощью одного только циркуля:
А) провести произвольную прямую;
Б) построить любой луч, который выходит из данной точки и проходит через другую данную точку;