Файл: Урок геометрии в 7 классе Презентацию подготовила Рудник Ольга Анатольевна учитель математики i категории моу СШ53 г. Макеевки.ppt

Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части Разделить угол 55º на четыре равные части Расположить три точки на одинаковом расстоянии друг от другаЗадачи на построениеТема урока:Учебная задача урока: дать представление о задачах на построение, этапах их решения и начать выделять основные задачи на построение. В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O СДано:отрезок АВ, луч ОС. Построить: отрезок OD, OD= АВ DОС. А B Построение: 1) окр.(O, r =АВ);2) окр.(O, АВ) Ո OC=D; 3) OD - искомый О CЗадача1.На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. DДано: отрезок АВ, луч ОС. Построили: OD= АВ Доказать: АB=ОD3.Доказательство:OD= АВ как радиусы одной и той же окружности окр.(O, АВ); 4.Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. А B О C O D Схема решения задач на построение:

Анализ

Построение

Доказательство,

Исследование

Задача2.Построить треугольник, стороны которого равны заданным отрезкам.Дано:а=3смb=2смс=4смПостроить: АВ = а, ВС = b, AC = c.

Построение: 1) луч АМ2)окр.1(А, r = а);3) окр.1 Ո АМ = В; А М В4) окр.2 (А, r=с)5) окр.3 (В, r=b)6) окр.2 Ո окр.3=С 7) AC, BC8) Δ АВС – искомый треугольник САнализ:а=3смb=2смс=4смСВА

Доказательство:

В ΔАВС АВ=а=3см по построению как радиус окр.(А,r=a), АС=с=4см по построению как радиус окр.(А,r=с), ВС=b=2см по построению как радиус окр.(В,r=b). Значит, треугольники равны по трем сторонам. Исследование:Задача всегда имеет единственное решение.

Учебник, задача №148 На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложить отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.

Построение: А В СЗапишите самостоятельно ход построения и доказательствоИсследование: Так как от данной точки на данном луче можно отложить отрезок заданной длины и притом только один, то данная задача имеет единственное решениеУчебник, задача №149 Даны прямая а и точка В , не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ=PQ. Всегда ли задача имеет решение? I случай II случай III случай В В Вааа P Q P Q P Q ρ (В, а) < PQ 2 точки ρ (В, а) = PQ 1 точка ρ (В, а) > PQ нет точекЗадача не всегда имеет решение

Дано:

Дано: А ВПостроить: точку О, АО=ОВЗадача 3.Построить середину отрезка АВ.Построение: 1) Луч АМ2) окр.1(А;r=AB)ՈАМ=В3) окр.1(А;r=AB)Ո окр.2(В;r=AB)={К ,М}4) Прямая КМ5) КМ Ո АВ=О6) О- середина АВ А В К М О М

Доказательство:

У них АМ=АК=ВМ=ВК как радиусы однойокружности,Значит, ΔАМК = ΔВМК по трем сторонам, Рассмотрим ΔАМК и ΔВМК. МК – общая сторона.тогда соответствующие углы равныВ равнобедренном ΔАКВ (АК=КВ) КО является биссектрисой и медианой. Значит, О – середина АВ, ч. и т. д. Исследование:Задача всегда имеет единственное решение.

Задача 4. Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части

Дано: АВ5 смПостроить:точки О, Р, Е так, что АР=РО=ОЕ=ЕВ Анализ:АВ О Р Е

Построение:

1) Луч АМА М2) окр.1(А, r=АВ) 3) окр.1 Ո АМ=В В4) окр.2(В, r=АВ) 5) окр.1Ոокр.2={К,Н} К Н6) Прямая КН Ո АВ=ОО7) окр.3(А, r=АО)8) окр.4(О, r=АО) 9) окр.3Ոокр.4={T, L} L T10) Прямая TL Ո AO=PP11) окр.5(O, r=АО) 12) окр.6(В, r=АО) 13) окр.5Ոокр.6={S,D} S D14) Прямая SD Ո BO=EE15) AP=PO=OE=EB

Доказательство: А Р О Е В

О – середина АВ по построению, тогда АО=ОВ=0,5 АВР – середина АО и Е – середина ВО по построению, тогда АР=РО=ОЕ=ЕВ=0,25 АВЗначит, отрезок АВ разделили на четыре равные части Исследование:Задача всегда имеет единственное решение. А В СДано:Построить: Построение:окр.1 (А ,r)окр.1 (А, r) Ո окр.2 (O, AC)окр.2 Ո ОМ = Dокр.3 (B, BC) окр.4 (D, BC)окр.2 Ո окр.4 = E8) луч ОЕ 9) искомый. ОМ О D EЗадача 5.Отложить от данного луча угол, равный данному М Дано: угол А. А Построили: угол О. В С О D EДоказательство:рассмотрим ΔАВС и ΔОDE.АС=ОЕ, как радиусы одной окружности.АВ=ОD, как радиусы одной окружности.ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О Доказать: А = ОИсследование:Задача всегда имеет единственное решение.Задача 6.Построить треугольник по двум сторонам и углу между нимиДано:а=3смb=4см ОПостроить:ΔАВС, АВ=а=3см, АС=b=4см,Анализ:b=4сма=3см А В СПостроение:1) Луч АМ А М О2) окр.1 (О, r)3) окр.1 (О, r) Ո

Р Е4) окр.2 (А ,r)5) окр.2 Ո АМ = DD6) окр.3 (Е, r=ЕР) 7) окр.4 (D, r=ЕР) 8) окр.4 Ո окр.2=Т Т9) луч АТ10) окр.5 (А, r=b)11) окр.5 Ո АМ =С С12) окр.6 (А, r=а) 13) окр.6 Ո АТ=В В14) ВС15) ΔАВС – искомый треугольникДоказательство:В ΔАВС :АВ=а=3см как радиусы одной окружностиАС=b=4см как радиусы одной окружности – по построениюЗначит, треугольники равны по первому признакуИсследование:Задача всегда имеет единственное решение.САМОСТОЯТЕЛЬНОЗадача 7:Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам Дано:а=5см О ЕДано:угол АПостроить:биссектрису АВ АПостроение:1) окр.1 (A, r);2) окр.1(A, r) Ո ={C,D}3) окр2.(C, r);4) окр3.(D, r)5) окр2.(C,r) Ո окр3.(D,r) = B;6) луч AB 7) AB – искомая биссектриса . А D C BЗадача 8.Построить биссектрису данного углаДокажем, что луч АВ – биссектриса А Доказательство: Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C) .Рассмотрим ∆ АСВ и ∆ АDB:АВСDАС=АD, как радиусы одной окружности.СВ=DB, как радиусы одной окружности.АВ – общая сторона.∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса Исследование:Задача всегда имеет единственное решение.САМОСТОЯТЕЛЬНОЗадача 9:Разделить данный угол на 4 равные частиДано: ОПРОВЕРКАЗадача 9:Разделить данный угол на 4 равные частиПостроение: ОЗадача 10.Построить точку пересечения биссектрис треугольникаДано: А1 В1 С1Построить:ΔАВС = ΔА1В1С1, О – точка пересечения биссектрис АD, ВЕ и СF. Анализ:Дано: А1 В1 С1Построение:1) Луч АМ А М2) окр.1(А, r=А1С1) С3) окр.1 Ո АМ = С4) окр.2(А, r=А1В1)5) окр.3(С, r=В1С1) 6) окр.2 Ո окр.3 =В В7) АВ, ВС, ΔАВС8) окр.4(А, r)ՈАВ=Р

Р9) окр.4(А, r)ՈАС=Т Т10) окр.5(Р, r)11) окр.6(Т, r) 12) окр.5Ոокр.6=S S13) луч АS Ո BC=D 14) AD – биссектриса DБиссектрису CF строим самостоятельноЗадача 11.Дана прямая m и точка A, лежащая на ней. Построить прямую перпендиулярную к данной прямой m, проходящую через данную точку A.Дано:m АПостроить: Построение:m А1) окр.1(А, r)2) окр.1 Ո m={P,T} P T3) окр.2(Р, r=PT)4) окр.3(T, r=PT)5) окр.2 Ո окр.3=K K6) прямая КА=n – искомая прямая n Построили:m n А P Т КДоказательство: Проведём отрезки РК и КТ Рассмотрим ΔКРА и ΔКТА. У них: КР=КТ =РТ как радиусы равных окружностей АР = АТ как радиусы одной окружности АК – общая сторона Значит, ΔКРА = ΔКТА по трём сторонам Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов А так как они смежные, то 180º:2=90º. Значит, Работа в пареУчебник, задача №153 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а.Дано: b=3см а=5 смПостроить: Построение:m А1) окр.1(А, r)2) окр.1 Ո m={P,T} P T3) окр.2(Р, r=PT)4) окр.3(T, r=PT)5) окр.2 Ո окр.3=K K6) AK AT nЗадача 12.Построить прямоугольный треугольник по двум его катетам. 7) окр.4(А,r=a) Ո AT=B B8) окр.5(А,r=b) Ո AK=C C 9) ΔABC - искомыйСамостоятельная работаПервый вариантПостроить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузеВторой вариантПостроить равнобедренный прямоугольный треугольник по катетуТретий вариант Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу1. Укажите, какое из указанных дальше построений можно выполнить с помощью одного только циркуля:А) провести произвольную прямую; Б) построить любой луч, который выходит из данной точки и проходит через другую данную точку;