Файл: Интегральное исчисление.docx

Дата:03.11.2022г.

Дисциплина: Математика

Тема урока:Интегральное исчисление

Обратная связь: Выполненные задания (фото) вы отправляете до 5.11.2022г. на адрес электронной почты: dinara_muldabaeva@mail.ru подписав документ: Фамилия, инициалы, номер группы (Иванов И.С. 230 группа) или в контакте Байназарова Динара.

Инструкция к уроку:

1. 
   Запишите в тетрадьопорный конспект.
   
2. 
   Выполните задания (письменно), которые будут оценены отметкой.
   

Опорный конспект

Функция называется первообразной функции на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка



или, что тоже,



Например, является первообразной для на всей числовой оси Ox, так как

.

Если функция есть первообразная функции на , то функция , где C – любое действительное число, также является первообразной для при любом значении C. Действительно,



Пример 1. Найти первообразную функции

Решение.



Если одна из первообразных функции на , то выражение

---

, где C произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом функции и обозначается символом (читается: неопределенный интеграл на ). Итак,

,

где называется подынтегральной функцией, ‒ подынтегральным выражением, ‒ переменной интегрирования, а символ ‒ знаком неопределенного интеграла.

Свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла следует, что:

1. 
   Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
   

Действительно, и . Тогда

2. 
   Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
   

3. 
   Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная постоянная:
   

4. 
   Неопределенный интеграл от дифференциала равен дифференцируемой функции плюс произвольная постоянная:
   

.

5. Постоянный множитель k можно выносить за знак неопределенного интеграла:



6. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

---

.

Таблица неопределенных интегралов

	.

Методы интегрирования

---

1. Непосредственное (табличное) интегрирование.

Непосредственное (табличное) интегрирование ‒ это приведение интеграла к табличному виду с помощью основных свойств и формул элементарной математики.

Пример 2. .

Решение.





2. Метод замены переменной



Пример 3. .

Решение.



3.Метод интегрирования по частям





– формула интегрирования по частям.

По этой формуле берутся следующие типы интегралов:

1 тип











, формула применяется n раз, остальное dv.





2 тип



, формула применяется один раз.

Пример 4. Найти

Решение.





Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона – Лейбница

Пусть в интеграле

---

нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим =F(х). Найдем производную функции F(х) по переменному верхнему пределу х.



Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.

Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.

Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то



это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.

Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) .

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Пример 13.Вычислить определенный интеграл: .

.

Пример 14.Вычислить определенный интеграл: .

.

Пример 15.Вычислить определенный интеграл: .

.

Пример 16.Вычислить определенный интеграл: .

.
Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования.

---