Файл: Векторы в пространстве вход Содержание I. Понятие вектора в пространстве.pptx

СОДЕРЖАНИЕ

Векторы в пространстве

Содержание

I. Понятие вектора в пространстве

II. Коллинеарные векторы

III. Компланарные векторы

IV. Действия с векторами

V. Разложение вектора

VI. Базисные задачи

Проверь себя

Помощь в управлении презентацией

Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –

отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Длина вектора – длина отрезка AB.

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной

прямой или параллельных прямых.

Среди коллинеарных различают:

Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы - векторы, лежащие

по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы,

длины которых равны.

Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным нулевому,

считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Доказательство

Действия с векторами

Сложение векторов

Правило треугольника

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Свойства сложения

Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному

из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).

Пример

Правило параллелепипеда

Свойства

Вычитание векторов

Вычитание

Разностью векторов и называется такой

вектор, сумма которого с вектором равна

вектору .

Вычитание

Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

Сложение с противоположным

Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .

Умножение вектора на число

Свойства

Свойства

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Справедливые утверждения

10.

20.

30.

40.

Разложение вектора

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.

Любой вектор можно разложить по двум

данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы

Допустим:

Тогда:

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде

где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и .

Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы

Допустим:

Тогда:

Базисные задачи

Вектор, проведенный в середину отрезка,

Доказательство

Вектор, проведенный в точку отрезка

Доказательство

Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

Доказательство

Вектор, проведенный в центроид треугольника,

Центроид – точка пересечения медиан треугольника.

Доказательство

Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

Доказательство

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

Доказательство

Проверь себя

Устные вопросы

Справедливо ли утверждение:

а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?

б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?

в) любые два равных вектора коллинеарны?

г) любые два сонаправленных вектора равны?

д)

е) существуют векторы , и такие, что

и не коллинеарны, и не коллинеарны, а

и коллинеарны?

Ответы

а) ДА

б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)

в) ДА

г) НЕТ (могут иметь разную длину)

д) ДА

е) ДА

Решение

Разложите вектор по , и :

а)

б)

в)

г)

Решение

Решение

а)

б)

в)

г)

Упростите выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение

Решение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение

Решение

Решение