Файл: Практикум по решению задач учебное пособие Красноярск 2007.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 12.12.2023

Просмотров: 88

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ Кафедра общей физики Л.М.Образцова, Л.Т.Сухов ОБЩАЯ ФИЗИКА ОПТИКА ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Учебное пособие Красноярск 2007 Предисловие Познание природы сложных и многообразных оптических явлений немыслимо без решения практических задач. Входе их решения углубляется понимание законов, прививаются навыки их использования, формируются представления о порядках физических величин и соотношениях между ними. Каждая задача представляет упрощенную модель, описывающую реальное физическое явление, поэтому анализ этих упрощений способствует восприятию законов. Предлагаемый практикум по решению задач максимально согласован с лекционным курсом, нов тоже время автономен по своим целями задачам. Пособие построено в соответствии с идеей модульного обучения. Весь материал курса Оптика разбит на организационно-методические структурные единицы. Каждая единица содержит  Краткое изложение теоретического материала, которое предполагает самостоятельную работу с классическими учебниками и помогает ориентироваться в них.  Анализ основных типов задачи методы их решения.  Примеры решения задач различных типов, запись и оформление результатов, построение иллюстрирующих схем.  Задачи для самостоятельной проработки. Содержание некоторых из них способствует формированию навыков работы со справочным материалом. Проведенный анализ типов задач позволяет упорядочить и освоить приемы их решения и выйти на самостоятельный уровень. Предлагаемые для самостоятельной проработки задачи носят разноуровневый характер, что дает возможность обучающимся выбрать индивидуальный план и темп прохождения курса. В целом содержание и структура практикума направлено на эффективную организацию и учет самостоятельной работы студентов. Учебное пособие предназначено для студентов физических и физико- технических специальностей университетов, оно также может быть полезно для начинающих преподавателей. Часть задач практикума являются оригинальными, условия остальных взяты, в основном, из книг  И.Е.Иродов Задачи по общей физике,  Сборник задач по общему курсу физики Ч. под редакцией В.А.Овчинкина. 1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН 1.1. Теоретический материал Оптикой называют учение о физических явлениях, связанных с распространением коротких электромагнитных волн. Выделение узкой области от 0,4 до 0,7 мкм (видимого света) не имеет особого смысла. Несмотря на различие способов генерирования и регистрации электромагнитных волн разного типа законы их распространения задаются одними и теми же уравнениями Максвелла. Свойства среды учитываются введением материальных констант ε и μ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости,  – удельная проводимость. Переход излучения из одной среды в другую определяется граничными условиями для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Метод Максвелла позволяет построить единую теорию распространения электромагнитных волн и применить ее для описания основных свойств света. Запишем уравнения Максвелла для волн, распространяющихся в однородном диэлектрике ( = 0), не содержащем объемных зарядов (ρ = 0) и токов проводимости (j = 0). 0BditBErot, (1) 0DditDHrot, (2) ,0 0EDHB(3) Дифференцируя первое уравнение (2) повремени и меняя порядок следования временной и пространственной производных, получим 2 20tEtHrot Выражая tH из первого уравнения (1), имеем 2 20 Используя соотношение векторного анализа ,EEdigradErotrot где Δ – оператор Лапласа в декартовой системе координат записывается ,2 22 22zyx а ,0Edi получаем уравнение 0 22 2tEcE(4) Аналогично можно получить уравнение для H: ,0 22 2tHcH(5) здесь с 3·10 мс – скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная, связанная с электрической и магнитной постоянными соотношением 1 00ñ(6) Уравнения (4) и (5) называются волновыми уравнениями, они описывают распространение электрического и магнитного полей с одной и той же скоростью в пространстве и времени. Скорость распространения электромагнитной волны определяется соотношением ,c(7) величина n – показатель преломления среды. Волновому уравнению (4) удовлетворяют выражения )cos(),(0rktEtrE, (8) )]/(cos[),(0rtrEtrE(9) Аналогичные решения можно записать для уравнения (5). Эти уравнения представляют плоскую (8) и сферическую (9) монохроматические волны. Здесь r– радиус-вектор точки с координатами х, у, z, Е – амплитуда,  – круговая частота, k– волновой вектор, определяемый как k, (10) в вакууме  = си сkУравнения (8) и (9) описывают идеальные волны, которых в природе не существует, условие их применимости для описания реального волнового процесса зависит от характера решаемой задачи и требует специального рассмотрения в каждом конкретном случае. Небольшой участок сферической волны вдали от ее центра можно приближенно рассматривать как плоскую волну, если размеры этого участка малы по сравнению с расстоянием до центра. Кроме того, любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Поэтому изучению свойств плоских монохроматических волн уделяется большое внимание. Аргумент косинуса (8) называется фазой. Уравнение поверхности постоянной фазы (волновой поверхности) constrkt  определяет в пространстве плоскость, перпендикулярную вектору k. Эта плоскость фронт волны) перемещается в пространстве вдоль направления вектора k со скоростью k/, которая называется фазовой скоростью волны. Период изменения напряженности поля в пространстве – это длина волны λ: λ = 2,2/Tk то есть длина волны представляет расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное периоду колебаний 2T Для сферической волны (9) волновая поверхность представляет сферу. В расчетах удобно использовать комплексную форму записи уравнения волн ),(),()(0)(0krtirktierEtrEeEtrE (11) Здесь E0 в общем случае может быть комплексной величиной, которую можно записать как ,ReIm,0 00 0EEtgeEEi(12) а фаза волны запишется  rkt Используя такое представление волн, надо понимать, что физический смысл имеет лишь вещественная часть комплексного числа, те. В бегущей электромагнитной волне происходит направленный перенос энергии электромагнитного поля в пространстве. Направление и интенсивность переноса энергии характеризуются вектором Пойнтинга  HES(13) Направление вектора в плоской волне, распространяющейся в вакууме, совпадает с вектором k, те. энергия переносится вдоль перпендикуляра к поверхностям постоянной фазы. Учитывая ортогональность векторов E, H и соотношение 2 02 0HE, получаем для модуля плотности потока энергии в вакууме (μ = ε = 1) выражение 2 20 20BccEcS(14) Так как объемная плотность энергии электрического и магнитного полей в вакууме равна ),(2 1)(2 12 12 1)(2 12 02 20 02 20 20 20BcEBEHEwwwìý (15) то плотность потока энергии w можно записать в виде произведения потока полной энергии электромагнитного поля и скорости волны )(cwwwcSìý (16) Для оптического диапазона частота колебаний потока энергии волны в каждой точке 1 15c10 ненаблюдаема и физический интерес представляет среднее повремени значение S, которое называют интенсивностью света. Так как в соотношение (14) входят мгновенные значения E(t) и B(t), то среднюю повремени плотность потока энергии можно определить как ,2 1cos2 00 22 00EctEcS (17) где Е – амплитуда напряженности электрического поля в световой волне, а 2 1cos1cos0 Процесс излучения света ограничен во времени и это приводит к его немонохроматичности. Реальную электромагнитную волну можно представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Математическим обоснованием этого является то, что уравнения Максвелла линейны, поэтому любая суперпозиция решений также является решением. Замена электромагнитной волны бесконечной суммой монохроматических составляющих математически означает разложение функции ),( trE  вряд или интеграл Фурье. Целесообразность разложения именно на монохроматические составляющие связана с возможностью выделения в эксперименте отдельных монохроматических составляющих. Синусоидальная волна в спектральном приборе дает резкую отдельную линию. 1.2. Основные типы задачи решений1-й тип Изучение свойств электромагнитных волн. Метод решения Воспользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны и записать уравнения Максвелла, провести их анализ. й тип По заданному уравнению волны через вектор ),( trE найти вектор как функцию времени в заданной точке пространства. Обратная задача. Метод решения Аналогичен первому типу. й тип Зная напряженности полей в плоской волне, найти поток энергии и, наоборот, по потоку вычислить напряженности полей. Описать физические явления, которые определяются действием электрической и магнитной составляющей волны. Метод решения Энергия, переносимая электромагнитной волной, определяется вектором Пойнтинга, который связывает напряженности электрического и магнитного полей. При рассмотрении оптических явлений учитывать частоту изменения полей. й тип Определение спектрального состава немонохроматического излучения. Метод решения Воспользоваться преобразованием Фурье ряд Фурье для периодической функции и интеграл Фурье для изолированного импульса. Примеры. Доказать поперечность электромагнитных волнРешение. Рассмотрим одномерную задачу, те. векторы BHDE,,, зависят только от z и t. Это не означает, что векторы E и H не имеют хи у- компонент, нов данный момент времени t и при z = const эти компоненты имеют вполне определенные значения, одинаковые на всей плоскости, перпендикулярной оси z. Такое поле называют однородным. Распишем второе уравнение (2): Получаем ,constDz аналогично из второго уравнения (1) получим ,constBz то есть составляющие векторов D и B вдоль оси z постоянны во всех точках. Запишем выражение для Erot: Компоненты волны E и H по условию задачи зависят только от z, а, как видно из найденного соотношения, компонента ротора Erotz зависит от хи у. Тогда из первого уравнения (1) получаем 0tBz, аналогично из (2) - 0tDz. Следовательно, Dz и Bz постоянны во времени. Таким образом, вдоль оси z может существовать лишь статическое поле (например, созданное каким-либо распределением зарядов, которое нас не интересует. Поэтому, не нарушая общности, полагаем ,0zzBD что свидетельствует острогой поперечности электромагнитной волны. Это одно из самых важных ее свойств. Поперечность световых волн следует из опытов Френеля и Араго. Структура плоской монохроматической волны приведена на рис. 1. Рис. 1. Мгновенная фотография распределения полей и как функции координаты z в некоторый момент времени t для волны, распространяющейся вдоль оси z1.2.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Считая векторы 0E и k известными, найти вектор H как функцию времени t в точке с радиус-вектором Решение В соответствии с (11) представим векторы и H для плоской воны в комплексной форме )(0)(0,rktirktieHHeEE и подставим их в уравнение Максвелла (1). Предварительно вычислим производные по координатам х, у, z. Так как zkykxkrkzyx , то Таким образом, дифференцирование E по координате х сводится к умножению E на множитель )(xik, аналогично по другим координатам. Тогда  Дифференцирование H повремени сводится к умножению на (iω): В соответствии с (1) получаем для μ = 1  откуда  1 Полученное выражение показывает, что и для волны в вакууме фазы электрического и магнитного полей совпадают (при сдвиге фаз, например, на π/2, появился бы множитель i). Подставляя комплексное выражение для и взяв справа и слева реальную часть, получаем  ).cos(1),(0 Для 0r с учетом (10), ck и 0 01c (6), получаем  ).cos(1 00 0),0(kctEkkHtr1.2.3. Мощность излучения гелий-неонового лазера непрерывного действия равна мВт, диаметр сечения пучка равен 1 мм. Какова амплитуда вектора напряженности электрического поля в этой волне?Решение. Воспользуемся соотношением (17): 2 00 и выразим 2 00cSE Интенсивность излучения определим через мощность Р и сечение пучка 4 2d и получаем ,8 12 м 610 110 885,8 10 310 46 28 12 0E1.2.4. Шар радиуса R = 50 см находится в немагнитной среде проницаемости ε = 4,0. В этой среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которой λ << и амплитуда электрической составляющей Е = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 60 с Решение. В изотропной среде вектор совпадает по направлению с волновым вектором и его среднее значение с учетом характеристик среды определится выражением 0 02 1EcS, по условию задачи μ = 1. Считая распределение интенсивности в потоке равномерным, энергию, падающую на шар, можно записать как ssdStW, здесь S - средний вектор Пойнтинга, ds - малый элемент площади шара, S – поверхность, на которую падает электромагнитная волна. Для анализа решения используем рис. Возьмем на поверхности шара сферический пояс площадью dRdRrdssin2 22, для всех элементов которого угол  между нормалью n и вектором S имеет одно значение. Энергия, падающая на эту площадку за время t, запишется в виде 2/0 22cos Окончательно получаем 2 22 Подставляя численные значения в системе единиц СИ, получаем кДж.5Дж10 52 60 10 25 10 410 310 85,8 23 24 812W  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

1.2.5. Найти спектральный состав периодической последовательности прямоугольных импульсов, заданных функцией Рис èíòåðâàëàâíå0 44T- äëÿ2)(Tttf. Решение. Графическое представление заданной функции дано на рис. Рис. 3. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов Из математики известно, что периодическая функция f(t) с периодом Т может быть представлена рядом Фурье ),sin cos(2)(1 где ,2Tsin)(2,cos)(2 Преобразуем слагаемые ряда Фурье следующим образом tnbabtnbaabatnbtnannnnnnnnnnsin cos sin cos2 22 22 здесь /sin,/cos,/,2 22 22 Таким образом, можно записать )cos(2)(1 0nnntnAAtf, где А = а, совокупность А называется спектром амплитуд, множество φn – спектром фаз. Как видно из условия и графика (рис. 3), данная функция – четная, поэтому bn = 0. Найдем аи аи запишем ряд f(t)T412tT2TT4O cos2/)2/sin(2 Выпишем начальные гармоники ряда ),5cos5 13cos3 1(cos4 1)(ttttf так как при n = 1, 3, 5, , ,1 2sinn при n = 2, 4, 6, , 0 2sinn Спектры амплитуд и фаз имеют вид 0,2/)2/sin(2nnnnA На рис представлен дискретный спектр амплитуд. Рис. 4. Спектр амплитуд бесконечной последовательности прямоугольных импульсовЧисло гармоник между нулями амплитуд зависит от отношения продолжительности импульса (τ) и периода Т ./Tn Чем меньше τ по сравнению с Т, тем больше число гармоник. 1.2.6. Найти спектральный состав одиночного прямоугольного импульса продолжительности τ и амплитуды U0. Решение. Графическое представление этого импульса приведено на рис. 5. Непериодическую функцию можно представить в виде интеграла Фурье ,)(2 где dtetfFti)()(- Фурье-образ функции f(t), ее спектральная плотность. Найдем Фурье-спектр функции f(t): ,2/)2/sin(2sin2)()(2/2/0 02/2/0 Рис. 5. Изолированный прямоугольный импульс о Здесь использована формула Эйлера Функция f(t) может быть представлена в виде )(cos)(2 1)(0dtAtf Величины Аи) представляют амплитудный и фазовый спектры функции и определяются соотношениями Спектральная плотность F(ω) максимальна при ω = 0 и обращается в нуль, когда ωτ/2=nπ, те. ,2n где n = 1, 2, 3, … . Таким образом, спектр амплитуд данной функции непрерывный и определяется как рис. 6), спектр фаз φn = 0. Под шириной спектра одиночного импульса понимают интервал частот от нуля до частоты, при которой амплитуда обращается в нуль. Из соотношения n2 для 1n получаем или для простой частоты 1, то есть чем больше длительность импульса, тем уже спектр частот . Если , то свет называют квазимонохроматичным (например, излучение разреженного газа – спектральные линии. В качестве меры монохроматичности берется величина / или /1.3. Задачи для самостоятельного решения 1.3.1. Определите разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче на расстоянии 1 м друг от друга, если длина волны излучения равна 0,5 м. 1.3.2. Определите длину волны, если числовое значение волнового вектора равно 0,02512 см 1.3.3. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль оси Х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью υ = 10 мс. Две точки, находящиеся на расстояниях хм их мот источника, колеблются с разностью фаз 5/3 Амплитуда волны А = 5 см. Рис. 6. Амплитудный спектр одиночного прямоугольного A()n=012 Определите 1) длину волны, 2) уравнение волны, 3) смещение второй точки в момент времени t2 = 2 с. 1.3.4. Скорость распространения электромагнитной волны в некоторой среде составляет 250 Мм/с. Определите длину волны в этой среде, если ее частота в вакууме ν0 = 1 МГц. 1.3.5. Покажите, что плоская монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению 1 22 22 2tExEyy1.3.6. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны 10 В/м. Определите амплитуду напряженности магнитного поля волны. 1.3.7. Энергетическая освещенность земной поверхности в среднем равна 1,3·10 3 Дж/(м2с). Каковы амплитуды напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, если предположить, что земная поверхность освещается монохроматическим светом 1.3.8. Напишите выражение для плотностей энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме. 1.3.9. Световая волна имеет частоту ν = 4·10 Гц и длину волны λ = м. Какова скорость распространения этой волны Чему равен показатель преломления среды n, в которой она распространяется Какова длина волны света λ0, после того как он вышел изданной среды и стал распространяться в воздухе 1.3.10. Какому диапазону частот соответствует видимый участок спектра электромагнитных волн 1.3.11. Монохроматический пучок света падает из вакуума на среду с показателем преломления n. Как связаны между собой частоты падающей и преломленной волн Каково соотношение между длинами этих волн 1.3.12. Круговая частота плоской электромагнитной волны равна 10 с, а величина индукции магнитного поля – 10-6Тл. Найдите длину волны, величину напряженности электрического поля волны и средний поток энергии. 1.3.13. Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью  = 2 в вакуум. Определите приращение ее длины волны. 1.3.14. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от которой дошел до него за t = 36 мкс. Определите расстояние от локатора до лодки, считая диэлектрическую проницаемость воды ε = 81. 1.3.15. Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной на участке (Т) формулой f(t) = t/T. 1.3.16. Найдите спектральный состав немонохроматической волны, представляющей собой отрезок синусоиды /2t/2- äëÿ2/ïðè0)(0tieEttE. 1.3.17. Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной формулой T/2t0ïðè/2 0tT/2- ïðè/2)(TtTttf1.3.18. Найдите энергию, которую переносит за t = 1 мин. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10,0 см, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля Е = 1,0 мВ/м. Период Т << t. 2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ЗАКОН МАЛЮСА 2.1. Теоретический материалУравнения Максвелла допускают решение, когда у вектора E во всех точках и вовсе моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например, Ex (z,t). Вследствие поперечности электромагнитных волну вектора B отлична от нуля только одна проекция на ось у, те. Мгновенный снимок такой волны приведен на рис. 1 в разделе 1. Такую волну называют линейной или плоско поляризованной. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности электрического поля E и волновой вектор k, называют плоскостью поляризации. При распространении плоской гармонической волны в вакууме вектор E может иметь любое направление в плоскости х,у, а обе его компоненты Ех и Еу отличны от нуля. Электрическое поле волны ),(tzE можно рассматривать как суперпозицию двух волн одинаковой частоты с ортогональными направлениями поляризации ,),(),()()(0)()(0 21kztiikztiyykztiikztixxebeeEtzEeaeeEtzE(1) Здесь аи действительные части комплексных амплитуд Е0х и Е0у, аи их фазы. Уравнение траектории, которую описывает конец вектора E в плоскости z = const, имеет вид ,sin cos2 22 22bEabEEaEyyxx(2) где 1 2 - разность фаз слагаемых волн. Выражение (2) представляет уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами аи, параллельными осям хи у (рис. 1). Ориентация эллипса и его эксцентриситет определяются отношением a/b и значением Рис. 1. Траектория, описываемая концом вектора в плоскости z = const Аналогично вектору E, конец вектора B описывает эллипс в плоскости z = const. Вышеизложенное представляет наиболее общий случай, а волна ),(tzE называется эллиптически поляризованной. Рассмотрим частные случаи для a = b и различных . Виды поляризации можно представить схематически (рис. 2).   Рис. 2. Траектории, описываемые концом вектора E для a = b и различных Как видно из рис. 2, при разности фаз 0 наблюдается правая поляризация, при которой ),( tzEy обгоняет ),( tzEx. В реальной форме это запишется )cos(),()cos(),(1 1tatzEtatzEyx(3) Для правой системы координат вектор E вращается почасовой стрелке, если смотреть навстречу бегущей волне, при iEExy0 0/ волна будет правой круговой поляризации. Разности фаз 2 соответствует левая поляризация, в этом случае ),( tzEy отстает по фазе от ),( tzEx: ,)cos(),()cos(),(1 1tatzEtatzEyx(4) Вектор E в фиксированной плоскости вращается против часовой стрелки. Для левой круговой поляризации iEExy0 0/. При одинаковых или отличающихся на n, где n = 1, 2, 3, …, фазах 1 и 2 комплексных óõ2à2b амплитуд xE0 и yE0 волна будет линейно поляризованной. Отношение xyEE0 0/ выражается вещественным числом и определяет угол  между направлением поляризации и осью x как xyEEtg0 0/ (рис. 2). Из рассмотренного следует, что волну с произвольной поляризацией можно разложить либо на сумму двух линейно поляризованных волн с ортогональными направлениями поляризации, либо на сумму двух поляризованных по кругу волн с правой и левой поляризациями. Свет, испускаемый обычными источниками, не поляризован – это естественный свет. В нем колебания вектора E в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения света, не имеют преимущественной пространственной ориентации. Для получения поляризованных волн используются специальные устройства, например, поляроиды. Они представляют собой полимерную пленку с внедренными игольчатыми микрокристаллами удлиненной формы, которые хорошо ориентируются при механическом растяжении пленки. Чаще всего используется герапатид (соль йода и хинина. Эти кристаллы сильно поглощают свет, когда колебания происходят вдоль оси иглы и почти не поглощают его, когда колебания совершаются в перпендикулярном направлении. Направление, перпендикулярное оси ориентации кристаллов, называют осью пропускания поляроида, а соответствующую плоскость – плоскостью пропускания. Естественный свет можно представить состоящим из двух компонент с взаимно перпендикулярными направлениями колебания вектора E, поэтому интенсивность прошедшего через поляроид света уменьшается примерно в два раза. Поляроид можно использовать и для анализа характера поляризации света, в этом случае его называют анализатором. Если световая волна, входящая в анализатор, линейно поляризована с амплитудой 0E, то интенсивность I света, выходящего из анализатора, можно определить, используя рис. 3. Пусть П – ось (плоскость) пропускания анализатора, а φ – угол между Пи плоскостью поляризации падающего света. Разложим 0E на вектор ||E, параллельный оси пропускания, и вектор, перпендикулярный к ней. Составляющая E задерживается поляроидом и через него пройдет только ||E, величина этого вектора равна cos0EE. Учитывая, что 2 00EI, интенсивность света на выходе из поляроида определяется cos2 0II(5) Для учета поглощения света веществом поляроида следует ввести еще коэффициент прозрачности K. Получим cos2 0KII(6) Соотношения (5) и (6) выражают закон Малюса. E0ПEEРис.3 Для характеристики частично поляризованного света, который представляет, например, смесь естественного I0 с линейно поляризованным п, используется понятие степень поляризации Р min max min maxIIIIP(7) При вращении анализатора вокруг оси светового пучка интенсивность света будет максимальной при совпадении плоскости пропускания анализатора с плоскостью поляризации света пи определится как 2 1ï0maxIII(8) Если эти плоскости взаимно перпендикулярны, то интенсивность прошедшего через анализатор света будет минимальной и равной 2 10minII(9) Используя выражения (8) и (9), степень поляризации можно записать через отношение интенсивностей естественного и поляризованного света /1 12/2/2/2/п0п0п0п0 п (10) 2.2. Основные типы задачи решений1-й тип Представление волн одного типа поляризации как результат сложения или разложения волн другого типа поляризации. Метод решения Записать уравнения волн в комплексной форме по проекциям на оси координат. Проанализировать полученные соотношения на основе принципа суперпозиции. й тип Определение характера поляризации плоской волны через уравнения ее проекций на оси координат. Метод решения Использовать уравнения (3), (4) ирис. й тип Вычисление интенсивности света, прошедшего через систему поляризаторов при известных углах между плоскостями пропускания. Обратная задача. Метод решения Воспользоваться законом Малюса (5), (6). й тип Нахождение степени поляризации частично поляризованного света. Вычисление отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющей. Метод решения Использовать определение понятия степень поляризации (7), (10) и закон Малюса. Примеры. Покажите, что линейно поляризованную волну с произвольным направлением поляризации можно представить как суперпозицию двух распространяющихся в том же направлении волн правой и левой круговой поляризации. Как связаны амплитуды этих волн с амплитудой исходной волны?Решение. Для такого представления линейно поляризованной волны запишем уравнения волн круговой поляризации, бегущих в направлении оси z, в проекциях на оси координат. Волна правой круговой поляризации ,)/()0;;(),(1 1)(0)(0 волна левой круговой поляризации ,)/()0;;(),(2 2)(0)(0 результирующая волна 0 Полученное уравнение описывает линейно поляризованную волну с амплитудой Е, бегущую вдоль оси z. Следует заметить, что такое разложение используется при анализе явления естественного вращения плоскости поляризации. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

2.2.2. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна, проекции вектора E которой на оси хи у, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями а) ),sin(),cos(0 б) ),4cos(),cos(0 в) )cos(),cos(0 Решение. Представим Еу в пункте (а) через функцию косинуса и запишем ).2cos(),cos(0 Из анализа заданных уравнений видно, что все три волны распространяются вдоль оси z, имеют одинаковые амплитуды Е и частоты ω. Отличие между ними в том, что разности фаз между компонентами Еу и Ех неодинакова Используя рис. 2, легко сделать вывод, что (а) соответствует круговой левой поляризации, (б) – эллиптической правой, большая ось эллипса ориентирована вдоль прямой ух, (в) – линейной поляризации, плоскость поляризации лежит во втором и четвертом квадрантах. 2.2.3. При прохождении естественного света через два одинаковых, расположенных последовательно, поляроида интенсивность света падает до τ2 = 8%. Найти угол φ между осями пропускания поляроидов, если каждый из них в отдельности пропускает τ1 = 40% светового потока Решение Так как отдельный поляроид пропускает τ1 < 0,5 светового потока, то это означает, что он частично поглощает компоненту света, параллельную оси пропускания. Этот факт можно учесть, используя коэффициент прозрачности Рассмотрим изменение интенсивности света при последовательном прохождении света через первый и второй поляроиды, характеризующиеся одинаковым k (рис. 3). Рис. 3. Схема прохождения естественного света через два одинаковых поляроида В схеме используется закон Малюса (6), интенсивность естественного света обозначена I0, Пи П – оси пропускания поляроидов. Решая совместно приведенные уравнения, определяем 60;2 116,0 208,0cos;2cos2 122.2.4. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем плоскость пропускания среднего поляроида составляет угол φ = 60 с плоскостями пропускания двух других. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания k = 0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?Решение. В основе решения задачи лежит закон Малюса (6) с учетом поглощения света. Представим схему последовательного прохождения света через три поляроида (рис. 4). П1П1П2I=234cosП1П2П3k2 k2cos22 Рис. Уменьшение интенсивности света определится отношением интенсивностей падающего и прошедшего световых пучков 60 3)81,0(2 2,cos2 44 Следует заметить, если в условии задачи не указано поглощение света, то можно полагать k= 1. 2.2.5. На пути частично линейно поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол φ = 60 из положения, соответствующего П1П2П1k21=11cos2=2kI0I0I0I0I0 максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в τ = 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.Решение. Определение степени поляризации выражением (10) Ï0/1 сводит решение задачи к нахождению отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющих в световом пучке. Опишем первый и второй случаи прохождения света через поляризатор по закону Малюса (5): I0/2 + П – интенсивность в максимуме пропускания I0/2 + П – интенсивность после поворота поляризатора на угол φ. Согласно условию задачи составим уравнение )cos2/(2/2П0П0IIII, найдем и степень поляризации 8,0 120cos3 11 3;2cos1 1PP2.3. Задачи для самостоятельного решения Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластинками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал бы отсвета фар встречных машин Интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, уменьшилась враз. Пренебрегая поглощением света, определить угол между плоскостями пропускания поляризаторов. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, плоскости пропускания которых образуют угол в 60, если каждый поляризатор как поглощает, таки отражает 5% падающего света. Определить, во сколько раз ослабится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, расположенных так, что угол между их осями пропускания φ = 60, а в каждом из поляризаторов теряется 8% падающего на него света. Определить степень поляризации частично поляризованного света, если амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в три раза больше амплитуды, соответствующей его минимальной интенсивности. Степень поляризации частично поляризованного света составляет 75%. Определить отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной. Определить степень поляризации света, который представляет собой смесь естественного света с плоско поляризованным, если интенсивность поляризованной составляющей в пять раз больше интенсивности естественной. Частично линейно поляризованный свет рассматривается через поляроид. При его повороте на 60 от положения, соответствующего максимальной интенсивности, интенсивность светового пучка уменьшилась в два раза. Найти степень поляризации пучка и отношение интенсивностей естественного и линейно поляризованного света. Определить, во сколько раз изменится интенсивность частично поляризованного света, рассматриваемого через поляроид, при повороте поляроида на 60 по отношению к положению, соответствующему максимальной интенсивности. Степень поляризации света Р = 0,5. Один поляроид пропускает 30% света, если на него падает естественный свет. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол φ между осями пропускания поляроидов 2.3.11.Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Найдено положение поляроида, соответствующее максимальной интенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого положения на угол φ = 30 интенсивность света уменьшилась на τ = 20%. Найти отношение интенсивности света к, поляризованного по кругу, к интенсивности линейно поляризованного Iп2.3.12.Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Найдено положение поляроида, при котором интенсивность прошедшего света максимальна. При повороте поляроида от этого положения на некоторый угол вокруг оси пучка интенсивность прошедшего света уменьшилась в n = 2 раза по сравнению с максимальной и во столько же раз увеличилась по сравнению с минимальной. Найти отношение к света, поляризованного по кругу, к интенсивности света п – линейно поляризованного. Для сравнения яркостей двух поверхностей, освещаемых неполяризованным светом, одну из них рассматривают непосредственно, а другую – через два поляроида. Каково отношение этих яркостей, если освещенность обеих поверхностей кажется одинаковой при угле между поляроидами φ = 60? Считать, что потери света в каждом поляроиде на отражение и поглощение составляют τ = 10% отпадающего света. 3. ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ 3.1. Теоретический материал Фотометрией называют раздел оптики, занимающийся измерением интенсивности излучения, те. совокупностью теоретических и экспериментальных вопросов, связанных с количественными сравнениями видимых и невидимых излучений, независимо от их положения в спектре. Физические приборы и человеческий глаз в оптическом диапазоне регистрируют средние значения измеряемых величин по большому числу периодов колебаний. Среднюю мощность энергии, переносимой электромагнитными волнами через площадку, нормальную к направлению их распространения, называют потоком лучистой энергииФСветовое ощущение, вызываемое в человеческом глазе, зависит не только от энергии, но и от длины световой волны. Максимальной чувствительностью глаз обладает к зеленому свету ( = 0,555 мкм. К границам видимого диапазона чувствительность уменьшается почти до нуля. Восприятие глазом излучения различных длин волн характеризуется кривой относительной спектральной чувствительности (рис. 1). Рис. 1. Кривая относительной спектральной чувствительности видности) глаза Она построена для среднего нормального глаза при дневном освещении и утверждена Международной осветительной комиссией. Область, доступная зрительному восприятию глаза, не обрывается резко на  = 0,4 мкм и  = 0,7 мкм. При  = 0,4 мкм V() – видность в 2.5 тысячи раза при  = 0,76 мкм – в 20 тысяч раз меньше, чем в максимуме, где V() принята за единицу. В условиях темновой адаптации глаз может видеть в очень слабой степени интенсивные инфракрасные лучи с длинами волн до 0,95 мкм, а ультрафиолетовые – до 0,30 мкм. Кроме того, для каждого человека характерно индивидуальное восприятие света. При сумеречном зрении кривая видности сохраняет общий видно максимум смещается в сторону коротких длин волн max 0,51 мкм. 0,40 0,70 0,2 0,4 0,6 0,8V()ìêì1,0 Исторически вначале был развит визуальный метод измерения энергии излучения, где приемником служил глаза затем – инструментальный. В связи с этим в фотометрии сложилось два подхода к оценке параметров излучения первый – фотометрический (световой, второй – энергетический. Энергетические величины именуются также, как и световые, нос добавлением прилагательного энергетические (за исключением потока. Поток лучистой энергии, измеренный в ваттах, можно преобразовать в световой поток, измеренный в люменах, через переводные множители А механический эквивалент света или К) – световая эффективность. Для максимальной чувствительности глаза при  = 0,555 мкм эти множители равны 60,1AмВт/лм, (1) 625Kлм/Вт (2) Для любой длины волны видимого спектра такое преобразование можно записать как ,)(эФVAФ(3) здесь Фэ – поток лучистой энергии, Ф – световой поток, воспринимаемый глазом. Основной фотометрической величиной является сила света, которая характеризует точечный источник света и определяется отношением светового потока к элементарному телесному углу Ф) Единица силы света – кандела – определяется с помощью светового эталона в виде абсолютно черного тела. Кандела – это сила света, излучаемого в направлении нормали с 1/60 см излучающей поверхности светового эталона при температуре затвердевания платины (К, находящейся под давлением 10325 Па. Фотометрические величины, соотношения между ними и единицы измерения удобно свести в таблицу. В табл. 1 в скобках указано дополнение, которое используется при определении энергетических величин. Если сила света, характеризующая элемент dS поверхности протяженного источника, пропорциональна видимой поданному направлению площади этого элемента (dScos), то источник удовлетворяет закону Ламберта. Яркость ламбертова источника одинакова по всем направлениям. Идеальным косинусным излучателем является абсолютно черное тело. Излучение Солнца близко к излучению ламбертова источника, поэтому оно выглядит как диск почти равномерной яркости. Для несамосветящихся поверхностей закону Ламберта удовлетворяют мутные среды или матовые поверхности. Таблица Фотометрические величины № п/п Физическая величина Основные уравнения Единицы измерения Энергетические Световые 1 Сила света излучения) Для точечного источника Ф, Для изотропного4ФIВт/ср Кандела (кд) 2 Световой поток (поток излучения)  2 0 0sin),(ddIIdФSEсSSdSФ2 00 Вт Люмен (лм) 3 Освещенность облученность) dSdФEпадДля точечного источника 2/cosrIEВт/м2Люкс (лк) 4 Светимость Для протяженных источников dSdФMиспВт/м2Люмен нам 2(лмм2) 5 Яркость cos cos)(dSdIdSddФLddФdI сила света площадки dS Вт/(м2ср) Кандела нам 2(кдм2) Для удобства анализа решения задач полезно выписать следующие выражения ,cos)()(dSLI(5) Ф) cos)(dLM(7) Для источника Ламберта L = const и из (7) можно получить связь между светимостью и яркостью ndSdn 2/0 20sin cosLddLM(8) Для тел, светящихся отраженным светом, светимость можно выразить через освещенность ,пад испEdSdФdSdФM(9) здесь  – коэффициент отражения поверхности. Найдем соотношение между освещенностью Е, создаваемой протяженным источником, и его яркостью L(). Введем обозначения dS – бесконечно малая площадка источника, Sd – элемент освещаемой площадки, r – расстояние между ними,  и  – углы, образованные нормалями к площадками прямой, соединяющей их (рис. 2). dSИПdS'r'dd'Рис. 2. Схема расположения площадки источника И и освещаемой площадки П Световой поток, посылаемый площадкой dS внутрь телесного угла ,cos2rSdd определится выражением 2cos Фили Ф) где 2cosrdSd – телесный угол, под которым из освещаемой площадки dS видна излучающая площадка dS. Поделив (10) на dS, найдем освещенность dE, создаваемую элементарным потоком Ф. Полная освещенность Е определится выражением ,cos)(dLE(11) здесь интегрирование проводится по углу , под которым виден весь источник И со стороны освещаемой площадки П (рис. 2). 3.2. Основные типы задачи решений й тип Нахождение потока лучистой энергии, соответствующего световому потоку. Обратная задача. Метод решения Воспользоваться кривой относительной спектральной чувствительности глаза (рис. 1) и выражением (3). й тип Вычисление освещенности, создаваемой точечным источником. Определение оптимальных условий взаимного расположения источника и освещаемой поверхности. Метод решения На основе формулы (п табл. 1) записывается выражение для освещенности, далее функция исследуется на экстремум. й тип Получение закона излучения для данного источника (I(), L()), если известна освещенность, создаваемая им, или светимость поверхности. Обратная задача. Метод решения Используются выражения (5-7) с учетом конкретных условий. й тип Расчет освещенности, создаваемой протяженным источником, если известна его яркость. Обратная задача. Метод решения Источник разбивается на множество точечных источников, оценивается вклад в освещенность элементарного источника, а затем проводится интегрирование по всей поверхности. Можно воспользоваться формулой (11). й тип Вычисление освещенности изображения светящегося объекта, создаваемого оптической системой. Метод решения При рассматривании изображения глазом задача сводится к сравниванию освещенности сетчатки невооруженного глаза и глаза, вооруженного оптическим прибором. Яркость изображения протяженного источника, созданного оптической системой, не может превысить яркость источника. При рассматривании изображения на белом экране его яркость будет зависеть от диаметра объектива системы. Примеры. Точечный изотропный источник силой света в 1000 кд излучает свет в желтой области спектра ( = 589 нм. Найти световой потоки амплитуду напряженности электрического поляна расстоянии 5 мот источника.Решение. Для изотропного источника световой поток определяется соотношением 4 Ф (табл. 1). Подставляя числовые значения, получим 10 6,12 410 33Флм. Амплитудное значение напряженности электрического поля можно найти из величины среднего значения вектора Пойнтинга 2 02 1EcS0(17) раздела 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

4.3. Задачи для самостоятельного решения 4.3.1. На тонкую двояковогнутую линзу с оптической силой Ф = -5,0 дптр падает сходящийся пучок лучей, продолжения которых пересекаются за линзой в точке S, лежащей на главной оптической осина расстоянии 12,0 см от линзы. Где находится точка пересечения лучей после их преломления в линзе 4.3.2. Каково наименьшее возможное расстояние между предметом и его изображением в собирающей линзе с фокусным расстоянием f? 4.3.3. Светящаяся точка находится на главной оптической оси центрированной системы двух тонких линз на расстоянии 40,0 см от первой линзы (рис. 12). Где получится изображение точки, если фокусное расстояние каждой из них f = 30,0 см Решить задачу построением и вычислением 4.3.4. В зрительной трубе расстояние между объективом и окуляром составляло 185 мм. В это пространство установили сетку плоскопараллельную пластинку) толщиной d = 5 мм из стекла с показателем преломления n = 1,5163. Определить новое расстояние между объективом и окуляром, сохраняющее тоже состояние юстировки системы, что и до введения сетки. 4.3.5. С помощью тонкой собирающей линзы с показателем преломления n = 1,5 получено действительное изображение предмета на расстоянии 10 см до линзы. После того как предмет и линзу поместили вводу, не меняя расстояния между ними, изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найти фокусное расстояние линзы в воздухе, если показатель преломления воды в = 4/3. SS1lS Рис Рис Рис 4.3.6. На систему линз, изображенных на рисунке, падает параллельный пучок света. Найти положение точки схождения этого пучка после прохождения через систему, если f1 = +10 см, f2 = -20 см, f3 = -9 см. 4.3.7. Радиус кривизны r сферической поверхности стеклянной (n = 1,52) плосковыпуклой линзы равен 26 см. Толщина линзы d = 3,04 см. Вычислить фокусное расстояние f линзы и найти положение изображения предмета, расположенного на расстоянии 75 см от выпуклой поверхности линзы. 4.3.8. Преломляющие поверхности являются концентрическими сферическими поверхностями. Большой радиус кривизны R, толщина линзы d, показатель преломления n > 1. Определить положение главных плоскостей, фокусное расстояние линзы. Собирающей или рассеивающей будет линза Собирающая линза дает изображение некоторого объекта на экране. Высота изображения равна h1. Оставляя неподвижным экран и объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором четком изображении объекта высота изображения равна h2. Найти действительную высоту предмета h. Расстояние от лампочки до экрана L = 50 см. Линза, помещенная между ними, дает четкое изображение лампы на экране при двух положениях, расстояние между которыми l = 10 см. Найти фокусное расстояние f линзы. 4.3.11. Две одинаковые плосковыпуклые тонкие линзы с показателем преломления n посеребрены одна – с плоской стороны, другая – с выпуклой. Найти отношение фокусных расстояний f1 и f2 полученных сложных зеркал, если свет в обоих случаях падает с посеребренной стороны. 4.3.12. Фотографическим аппаратом, объектив которого имеет фокусное расстояние, меняющееся от 12 см до 20 см, требуется сфотографировать предмет, находящийся на расстоянии 15 см от объектива. Какую линзу нужно добавить к объективу, чтобы изображение вышло резким при максимально возможном фокусном расстоянии Две тонкие линзы с фокусными расстояниями f1 и f2 находятся на расстоянии l друг от друга, образуя центрированную систему. Найти фокусное расстояние f этой системы, а также положение ее главных плоскостей. Систему двух тонких линз, описанную в предыдущей задаче, требуется заменить одной эквивалентной тонкой линзой, которая при любом положении объекта давала бы такое же по величине изображение его, как и система двух линз. Найти фокусное расстояние и положение эквивалентной линзы. 15 ñì5 ñì 4.3.15. С одной стороны двояковыпуклой тонкой линзы, сделанной из стекла (n = 1,52), находится вода (n = 1,33), с другой – воздух. Найти положение главных и фокальных плоскостей и узловых точек системы. 4.3.16. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы равно f1 = 60 см, а окуляра – f2 = 4 см. Показатель преломления стекла объектива и окуляра n = Труба погружается вводу, заполняющую ее внутреннюю часть. Каким объективом из стекла того же сорта следует заменить объектив трубы. Чтобы из нее можно было рассматривать удаленные предметы вводе Чему будет при этом равно увеличение трубы, если показатель преломления воды n = 4/3? Человек с нормальным зрением рассматривает удаленный предмет с помощью зрительной трубы Галилея. В качестве объектива и окуляра используются линзы с фокусными расстояниями f1 = 40 ми см. При каких расстояниях L между объективом и окуляром наблюдатель увидит четкое изображение предмета, если глаз может аккомодироваться от 10 см до бесконечности 4.3.18. Галилеева труба кратного увеличения имеет длину 40 см. После того как объектив и окуляр трубы заменили собирающими линзами, труба стала давать тоже увеличение. Определить фокусные расстояния f'1 и f'2 этих линза также фокусные расстояния f1 и f2 объектива и окуляра галилеевой трубы. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива f = 50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние Δl надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м 4.3.20. На систему линз, изображенную на рисунке, падает слева параллельный пучок света. Найти положение точки схождения этого пучка после прохождения системы. Найти положения главных плоскостей толстой линзы, имеющей форму шара радиусом R. Определить фокусные расстояния f и f' и положения фокальных точек такой линзы, когда она сделана 1) из воды (виз стекла (с = 3/2). При каком показателе преломления фокальные точки не выйдут наружу 4.3.22. Радиус стеклянного (n = 1,5) шара R = 4 см. 1) Найти расстояние хот центра шара до изображения предмета, который расположен в 6 см от поверхности шара. 2) Найти увеличение изображения. 4.3.23. Радиус кривизны сферической поверхности стеклянной (n = 1,52) плосковыпуклой линзы R = 26 см толщина линзы 3,04 см. Вычислить фокусное расстояние f линзы и найти положение изображения объекта, находящегося на расстоянии 75 см от ближайшей поверхности линзы и расположенного со стороны 1) выпуклой поверхности 2) плоской поверхности. f=+5f=-510 ñì Найти фокусное расстояние f и положения главных плоскостей двояковыпуклой толстой линзы, для которой n = 1,5, R1 = 10 см, R2 = 4 см, d = 2 см. 4.3.25. Определить положения главных плоскостей, фокальных точек и фокусное расстояние системы двух тонких линз, изображенных на рис. 5. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И КОГЕРЕНТНОСТЬ 5.1. Основные положения и правила Если два источника испускают гармонические бегущие волны одинаковой частоты, то относительная фаза двух источников не меняется со временем. В этом случае говорят, что два источника когерентны. Если источники имеют разные частоты, но монохроматичны, они также будут когерентными, так как в этом случае их разность фаз вполне определена. Если два независимых источника имеют одинаковую основную частоту и конечную полосу частот Δν, то разность фаз обоих источников будет оставаться постоянной только в течение времени порядка (Время называется временем когерентности. Расстояние êîãêîãtL называется длиной когерентности. Для длины когерентности имеет место равенство Две когерентные световые волны с интенсивностями I1 и I2 и параллельными плоскостями колебаний светового вектора )cos()cos(2 20 21 10 1tEEtEE, при наложении создают волну интенсивности I ,)(2)()()(2 12 22 12 21EEEEEEI)cos(2 12 21 Оптическая длина пути где S – геометрическая длина пути, n – показатель преломления среды. Оптическая разность хода 1 Рис. 1. Способы получения когерентных источников света а) зеркала Френеля б) бипризма Френеля в) зеркало Ллойда; г) билинза Бийе. а)б)в)г)SS1S2SSSS1S1S1S2S2Рис.14 Основные схемы получения когерентных источников представлены на рис. 1. Рассмотренные схемы объединяет одно в них происходит деление волнового фронта. Возможен и другой способ наблюдения интерференции, основанный наделении амплитуды первичного излучения. По такой схеме наблюдается интерференция в тонких пленках и кольца Ньютона. 5.2. Основные типы задачи решений1-й тип. Задачи на вычисление характеристик интерференционной картины в случае сложения двух монохроматических волн, излучаемых точечными источниками. Метод решения. Используются формулы для интенсивности результирующего колебания, разности хода лучей, условия максимума и минимума интерференционной картины. й тип. Задачи на расчет временнόй и пространственной когерентности реальных источников излучения. Метод решения. Используются формулы для продольной и поперечной длин когерентности и для времени когерентности. й тип. Задачи на расчет локализованных интерференционных картин. Метод решения. Используются формулы для разности хода в случае интерференции в тонкой пленке или на клине. й тип. Задачи на вычисление длин волн и показателей преломления с использованием характеристик интерференционных картин. Метод решения. Используются формулы для разности хода интерференционных лучей в двулучевых интерферометрах. Примеры. Два точечных когерентных источника света 1 ирис) испускают волны, плоскости колебаний светового вектора в которых перпендикулярны плоскости рисунка. Расстояние между источниками – d. Колебания источника 2 отстают по фазе на угол от колебаний источника 2. Найти а) углы φ, в которых интенсивность излучения максимальна б) условия, при которых в направлении φ = π интенсивность излучения будет максимальна, а в направлении φ = 0 – минимальна. Решение а) В направлении φ между волнами 1 и 2 существует разность хода Δ, которая, с учетом начальных фаз колебаний, ведет к сдвигу фаз δ: cos2 2dd1 2 Максимум излучения будет при ,2 m где m = 0, 1, 2, …. Тогда ,cos2 б) Условие минимума в направлении φ = 0 имеет вид 2 0cos2 2md2 2md(1) В направлении φ = π разность хода Δ меняет знаки условие максимума имеет вид md2 2, 2 2md(2) Из уравнений (1) и (2) найдем 2 и 4 1 md5.2.2. Имеются 2 когерентных источника излучения S1 и S2, расстояние между которыми d, а длина волны излучения . На экране, расположенном параллельно линии источников излучения и на большом удалении L наблюдается интерференционная картина (рис. 3). Определить а) условие, при котором в точке Хбудет наблюдаться максимум интерференции б) ширину интерференционной полосы.Решение. Запишем уравнения колебаний от источников в точке Х )cos()cos(2 02 10 Амплитуда результирующего колебания будет )cos()cos(2 10 21kLtkLtEEEE2cos2cos2 21 12 Максимальная амплитуда будет при 1)2cos(1 2 LLk или 2 12LLk= πm, где m = 0, 1, 2, … Отсюда ,2 21 21 Рис В точках экрана, до которых разность хода волн от источников равна целому числу длин волны, будет наблюдаться максимум освещенности. В точке О разность хода 0 Следовательно, здесь будет интерференционный максимум. Следующий максимум будет в точке Х, для которой Ширина интерференционной полосы Х будет равна отрезку ОХ. Проведем прямую S1M параллельно оси. Из ΔS1MX 2 22 проведем прямую S2N также параллельно оси. Из ΔS2NX 2 22 Разность 2 2)(2))((2 12 12 21 22XdLLLLLLLLLL2 Рис Из рис. 3 видно, что ,tgLX отсюда угловой размер ширины интерференционной полосы или угловой размер интерференционного максимума d5.2.3. Направление распространения двух плоских волн одной и той же длины составляют угол φ/2 с нормалью к плоскости экрана, на котором наблюдаются интерференционные полосы (рис. Показать, что при малых φ расстояние х между соседними интерференционными полосами х ≈ Решение Запишем уравнение волн )cos()cos(2 02 10 1rktEErktEExx, где sin2sin sin2sin2 12 11 Суммарное колебание Рис ).cos()2cos(2)]cos()[cos(2 12 02 10 Максимум результирующего колебания будет при mrkkxx2 12, или ,2sin2sin2 12mr ,)()sin(sin2 21 21 Следующий соседний максимум будет на экране в точке, отстоящей от первоначальной на х. Здесь условие максимума будет иметь вид )1(1 Вычитая из этого уравнения предыдущее, получим ,,)(1xxrr5.2.4. Найти число полос интерференции N, получающихся в установке с бипризмой Френеля. Показатель преломления бипризмы n, преломляющий угол α, длина волны излучения , расстояние от источника до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экрана равно Рис Решение Обозначим на чертеже ход лучей и исходные данные (рис. Преломляющий угол призмы α, показатель преломления n и угол наименьшего отклонения связаны соотношением которое при малых α переходит в примерное равенство S1abLd 2/2SS,2sin)(2 1sinn отсюда угол отклонения )1( По углу отклонения  рассчитаем расстояние d между мнимыми источниками S1 и S2: 2 Аналогично найдем ширину интерференционной картины 2 Ширина интерференционной полосы Полное число интерференционных полос N )()1(4)(4)(2 22 22 2banabbaabbaabxLN5.2.5. Квазимонохроматический источник света с длиной волны  характеризуется разбросом длин волн Δ. Какому условию должна удовлетворять разность хода между лучами для наблюдения интерференционной картины?Решение. Условие наблюдения интерференции – разность хода меньше длины когерентности. Длину когерентности можно определить так ,êîãêîãtcL,;1 Используемое условие примет вид 25.2.6. Квазимонохроматический источник света с длиной волны  имеет поперечный размер D. Оценить поперечные размеры области в окрестности точки наблюдения Р, находящейся на расстоянии а от источника, в пределах которой световое поле сохраняет когерентность Рис.6Решение. Пусть узкий источник S0 освещает когерентно две точки S' и S'', расположенные симметрично точке Р и находящиеся на расстоянии d друг от друга. В этом случае, если рассматривать S' и S'' как вторичные источники излучения на экране, перпендикулярном линии S0P и удаленном от Р на расстоянии L, возникает интерференционная картина с шириной интерференционной полосы Х Угловой размер полуширины интерференционной полосы  составит 2 21dLLX Сместим источник S0 в положение S1 на угол α, сместится и интерференционная картина. Если отрезок S0S1 будет представлять собой непрерывный источник света размера D, то каждый участок этого источника создаст свою интерференционную картину. Освещенность экрана станет равномерной при условии, что смещение максимумов в интерференции, возникающих от осевой части излучателя S0 и от края излучателя S1 составит ½ Х. В этом случае проточки' и S'' можно сказать, что они перестали быть когерентными. Исходя из этого условие когерентности S' и S'' можно представить в виде α < , где α – угловой радиус источника излучения. 2aD Из α <  следует daD2 12 или Dd1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Рис 6.1. Основные положения и формулы Метод зон Френеля. Внешний радиус й зоны Френеля для сферического волнового фронта ,1 где a и соответственно расстояния от источника света S до вершины волнового фронта и от вершины волнового фронта до точки наблюдения P (рис, k = 1, 2, 3, … . Для плоского волнового фронта Площадь отдельных зон Френеля Спираль Френеля. Если разбить фронт сферической волны на элементарные кольцевые зоны равной площади, очень узкие по сравнению с шириной зон Френеля, то действие элементарных зон в точке наблюдения можно представит в виде векторной диаграммы амплитуд, которая представит из себя скручивающуюся спираль (рис) – спираль Френеля. Вектор OA, проведенный изначала спирали до точки А, которой соответствует амплитуда элементарной волны, сдвинутой относительно амплитуды начальной элементарной волны на 180, будет представлять собой амплитуду световой волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны Френеля. Вектор OM , проведенный изначала диаграммы в центр спирали, будет соответствовать амплитуде колебаний от бесконечно большого числа зон Френеля, другими словами, OM - это амплитуда колебания световой волны в точке наблюдения Р в отсутствие всякого ограничения распространению излучения. Дифракция Френеля на полуплоскости и щели. Спираль Корню. Векторная диаграмма спираль Корню, см. рис, является графическим представлением расчетов, Sr ka bPOb+3b+2b+1-я2-я3-яРис.1. Зоны Френеля АОМРис.2. Спираль Френеля Рис. Спираль Корню выполненных аналитически с помощью интегралов Френеля при решении задачи о дифракции излучения на краю полуплоскости или щели. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра s, который связан с расстоянием х, отсчитываемым от точки С до интересующей нас точки D (рис) , формулой где l – расстояние между точкой наблюдения Р и волновой поверхностью S, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны. Дифракция Френеля от круглого отверстия. Схема наблюдения дифракции от круглого отверстия показана на рис. Картина наблюдается в фокальной плоскости линзы L. Картина имеет вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Угловой радиус первого темного кольца ,22,1d где d – диаметр отверстия. Центральное светлое пятно можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, уширенное дифракцией от краев круглого отверстия диаметра d. Угловая расходимость δφ пучка с первоначальным диаметром d оценивается формулой Критерий разрешимости. Два точечных некогерентных источника света наблюдаются раздельно (разрешены, если угловое расстояние между ними φmin больше угла дифракционной расходимости Величина R, равная ,22,1 называется разрешающей способностью линзы. Дифракция Фраунгофера на щели. Схема CPD SЭхlРис.4. Рис. Дифракция Фраунгофера на круглом Рис. Схема наблюдения дифракции Фраунгофера на щели P=bsinb наблюдения дифракции от щели представлена на рис. Распределение интенсивности света на экране в зависимости от угла дифракции φ ,)/()2/(sin2 где Условие дифракционных минимумов при угле падения излучения на щель под углом Теорема Бабине. Волновое поле при полностью открытом фронте есть сумма волновых полей от дополнительных экранов, то есть экранов, суммарная конфигурация отверстий в которых образует полностью открытую плоскость. Дифракционная решетка. Дифракционная картина наблюдается в параллельных лучах (рис. При нормальном падении монохроматического излучения длины волны  на дифракционную решетку с периодом d условие главных максимумов имеет вид При падении излучения на решетку под углом φ0 условие главных максимумов принимает вид В решетке с общим числом штрихов N между соседними главными максимумами находится N – 1 интерференционных минимумов, положение которых определяется выражением где Рис PF=dsind Между интерференционными минимумами находятся добавочные максимумы. Распределение интенсивности света в дифракционной картине от решетки ,)2/()2/(sin)2/()2/(sin2 22 где Разрешающая способность R решетки ,mNR здесь m – порядок дифракции, Δ - наименьшая разность волн спектральных линий, при которых эти линии воспринимаются еще раздельно. 6.2. Основные типы задачи решения й тип. Расчет распределения интенсивности в дифракционной картине Френеля Метод решения. Воспользоваться методом зон Френеля. й тип. Расчет распределения интенсивности дифрагированных волн от амплитудной дифракционной решетки Метод решения. Рассчитать распределение интенсивности как результат интерференционного усиления когерентных волн. й тип. Расчет распределения интенсивности света при дифракции на дополнительных экранах. Метод решения. Непосредственный подсчет распределения интенсивности света. Воспользоваться теоремой Бабине. й тип. Расчет разрешающей способности линз и объективов. Метод решения. Рассмотреть дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии. Примеры. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность I за экраном в точке, для которой отверстие а) равно первой зоне Френеля, б) внутренней половине й зоны, в) сделали равным й зоне, а закрыли его половину по диаметру, г) равно полутора зонам, д) равно трети первой зоны. ABа)б)в)г)AAABBBOOOO1/23/21/31о Решение. а) Рисуем окружность (рис, эквивалентную спирали Френеля. Радиус окружности АО равен амплитуде волны в точке наблюдения в отсутствии экрана. Обозначим этот радиус А. Тогда 2 Вектор, равный амплитуде колебания, приходящего в точку наблюдения от первой зоны Френеля, заканчивается на верхнем конце спирали в точке В (риса. Величина этого вектора 2 20AAOAB Тогда интенсивность световой волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны, ,4)2()(0 20 21 1IAAI4 б) Точка B1/2, описывающая действие половины первой зоны, находится на окружности Френеля посередине между точками Аи В, так что 2 20 2/1AAOAAB Интенсивность I1/2 будет равна ,2)2()(0 20 22/1 2/1IAAI2 в) Если первая зона перекрыта по диаметру, то направление вектора амплитуды сохраняется, но величина вектора меняется по амплитуде пропорционально изменению площади. Таким образом, ,2 12 10 00 г) Когда для точки наблюдения открыто полторы зоны, то это соответствует сдвигу по фазе между колебаниями, приходящими из центра отверстия и от его края, равному 1,5 π. Отсюда, конец вектора амплитуды колебания будет лежать на левом конце горизонтального диаметра окружности Френеля в точке В (рис в. Следовательно, длина вектора ОВ3/2 в 2 превышает АО = Аи поэтому 2 д) Точка В лежит на окружности и вектор 3/1ÀÂ должен составлять с горизонтальной осью угол 30 (рис д. Длина вектора 3/1ÀÂ равна радиусу окружности, поэтому 0 3/1II6.2.2. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения первую зону Френеля. Какова интенсивность I? Какой она будет, если у диска удалить а) половину по диаметру, б) половину по диаметру внешней половины первой зоны. Рис Решение. Нарисуем окружность Френеля (рис. В силу принципа Бабине действие волнового фронта в случае, когда его часть перекрыта непрозрачным экраном, описывается вектором, равным разности векторов OM (действие полностью открытого фронта) и OM действие перекрывающего экрана).Пусть амплитуда волны открытого волнового фронта 0À , а амплитуда волн от всех зон, кроме первой, îñòÀ , тогда ,0 01 1îñòIIÀÌÌOMOMÀ а) Удаление половины (по диаметру) перекрывающего диска означает открытие половины первой зоны. Тогда по принципу Бабине амплитуда прошедшей волны равна ,0 22 10 00 11AAAOMOMOMA следовательно, I = 0. б) На диаграмме Френеля (рис) действие внешней половины определяется вектором 1 2/1MM Амплитуда колебания от открытой части волнового фронта определится суммой векторов MM1 и 1BM , то есть вектором С учетом углов ,2 21 22 10 тогда 2 12 20 20IAI6.2.3. Посередине между точечным источником S и точкой наблюдения Р (расстояние между ними 2L) помещен непрозрачный диск радиуса R, перекрывающий небольшое число зон Френеля так, что его центр совпадает с осью, а его плоскость перпендикулярна оси (риса. Длина волны света . В точке Р на экране наблюдается светлое пятно. Какого минимального радиуса  нужно сделать круглое отверстие в центре диска, чтобы пятно на экране исчезло При каких R это возможно LPSRЭLа)М1/3М8о60о60б)Рис.11 Решение. Диск перекрывает небольшое число зон Френеля, поэтому можно заменить спираль Френеля окружностью (рис.11б), на которой будет находиться начальная точка вектора, соответствующая амплитуде колебания открытой волновой поверхности. Обозначим этот вектор как MM O1ММооРис.9 O1ММооBМ1/2 Рис Величина амплитуды MM равна длине вектора ÎM , те радиусу окружности А. Светлое пятно на экране в точке Р можно погасить, если из открытой части в центре диска в точку Р придет волна , равная по амплитуде Аи направленная противоположно вектору MM Соответствующий вектор на диаграмме должен начинаться в точке О и составлять угол 60 с вертикальной осью (как сторона вписанного правильного треугольника. Колебание с такими параметрами амплитуды возникнет, если открыть 1/3 первой зоны Френеля. Подставим в формулу для радиуса й зоны Френеля значение k = 1/3 и получим радиус отверстия, при котором экран затемнится 6 Вектор MM должен располагаться так, чтобы составлять с вертикальной осью угол 60. В этом случае он будет параллелен Следовательно, он должен выходить из точки диаграммы, соответствующей перекрытию 2/3 первой зоны или перекрытию х первых зон и еще 2/3 зоны и т.д. В общем виде R представлено выражением ,2)3/2 где k = 0, 1, 2, … . 6.2.4. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L = 6 мот точечного источника монохроматического света ( = 600 нм. На расстоянии а = 0,5 L от источника помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?Решение. В центре дифракционной картины темное пятно будет наблюдаться в случаях, когда в диафрагме укладывается четное число зон Френеля. Из построения зон Френеля следует, что с увеличением номера зоны амплитуда колебания от зоны уменьшается (волны сферические, тогда для модулей амплитуд можно записать соотношение 4 32 Колебания, приходящие на экран от двух соседних зон, будут гасить друг друга не полностью, то есть ;;;3 65 24 31 Наиболее темным центр дифракционной картины будет при минимальной сумме нескомпенсированных остатков амплитуд, то есть когда в диафрагме укладывается две зоны Френеля ìì.8,0 210 610 62 23 4LkR 6.2.5. На диафрагму с диаметром отверстия D = 2 мм падает нормальный параллельный пучок монохроматического света ( = 600 нм. При каком наибольшем расстоянии L между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?Решение. Пусть в диафрагме укладывается k зон Френеля. Тогда 2 Максимальное значение L будет при минимальном возможном k, те. при k = 2 (так как центр по условию темный. Отсюда ìì.833 10 62 44 44 2kDL6.2.6. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью падает нормально на непрозрачный экран (рис. Найти интенсивность света I за экраном в точке Р.Решение. Из рисунка видно, что экран перекрывает половину по площади открытого волнового фронта. Следовательно, за экран падает излучение от бесконечного количества зон Френеля, каждая из которых открыта наполовину по площади. Амплитуда колебаний А, пришедших в точку Р, будет равна 2 Тогда интенсивность света в точке Р 4 1)(0 2IAI6.2.7. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью падает нормально на поверхность непрозрачного экрана (рис, закругленный край которого совпадает с границей й зоны Френеля.Решение. Экран открывает четверть полного волнового фронта. Амплитуда колебания от этой части в точке Р составит ,4 10A а направление вектора амплитуды совпадает с вертикальной осью на диаграмме Френеля. Кроме этого экран пропустит еще ¾ первой зоны. Амплитуда колебаний от этой части будет равна ,2 43 а вектор амплитуды будет направлен также параллельно вертикальной оси. Общая амплитуда А световой волны в точке Р составит ,4 74 64 10 А интенсивность света I будет равна Рис Рис 16 49)(0 Рис 6.2.8. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на поверхность непрозрачного экрана, состоящего из секторов двух кругов (риса. Радиусы кругов соответствуют й и й зонам Френеля для точки наблюдения. Найти интенсивность света в этой точке.Решение. Предположим, что заданный экран является прозрачным. Тогда в волновом фронте экран откроет полностью ю зону с амплитудой колебания 0 12 2AOMOM (рис.14б), а также откроет ¾ второй зоны с амплитудой 4/3 11OMBM Амплитуда Азак результирующего колебания от прозрачного экрана составила бы 2 14 23 24/3 00 01 В соответствие с теоремой Бабине амплитуда Азак от закрытой части волнового фронта в сумме с амплитудой от открытой части Аотк должна составить амплитуду всего волнового фронта, то есть А тогда ,2 а интенсивность света в точке наблюдения 4 12 10 0IAIà)á)r1r2MOB8 1Mà)á)nM8OM '3/2Pr3/2IoM3/2 Рис 6.2.9. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I0 падает нормально на прозрачный стеклянный диск толщиной h с показателем преломления n. Размер диска для точки наблюдения Р соответствует полутора зонам Френеля (рис. При какой минимальной толщине диска интенсивность в точке А будет максимальной Какова эта интенсивность?Решение. Разобьем открытый волновой фронт на 2 области. Первая – это круг радиусом 3/2 зоны Френеля, вторая – это вся остальная часть волнового фронта. На окружности Френеля амплитуды волн от первой области изобразятся вектором 3/3OM, а от второй области – вектором 2/3MM Если первую область перекрыть стеклянной пластиной, то модули векторов и MM2/3 не изменятся, но фаза колебания от перекрытой части волнового фронта в точке Р изменится, так как стеклянная пластинка увеличивает оптическую длину пути для волны, проходимой через нее, на величину Увеличение оптической длины пути вызовет увеличение фазы колебания на δ: )1(2 Спираль Френеля строится таким образом, что увеличение фазы колебания за счет увеличения пути от зоны Френеля до точки наблюдения связано сдвижением конца вектора амплитуды против часовой стрелки. В связи с этим, введение стеклянной пластинки приведет к повороту вектора 2/3OM около точки Она угол δ против часовой стрелки. Максимальная интенсивность в точке Р будет в случае, когда вектор 2/3OM повернется на угол δ и займет положение 2/3'OM, параллельное вектору MM2/3 (рис.15б). Как видно из рисунка, угол δ равен 4 С другой стороны, отсюда 1 85minnh1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Риса, б отсюда длина когерентности Для наблюдения интерференции разность хода Δ всегда ≤ L
ког
30 10 10 10 3
6 м.
5.2.15. Интерференционная картина наблюдается с помощью бипризмы Френеля преломляющий угол

= 20', показатель преломления n = 1,5). Экран и источник света (

= 600 нм, Δ

= 20 нм) находятся на одинаковом расстоянии от бипризмы. Оценить число интерференционных полос, которые будут видны на экране. На каком расстоянии от центра интерференционной картины интерференционные полосы размываются Каков допустимый размер источника, при котором можно наблюдать все интерференционные полосы Решение. Условие размытия интерференционных полос можно сформулировать как совпадение (ой интерференционной полосы для меньшей длины волны из полосы излучения источника с ой полосой для большей длины волны излучения источника света. В нашем случае (

1
= 500 нм,

2
= 610 нм) это условие имеет вид (m + 1)590=m
610, m = 30. Таким образом, полуширина интерференционной картины от полосы нулевого порядка составляет 30 полос. В обе стороны будет всего 60 полос. Рассчитаем ширину интерференционной полосы здесь d – расстояние между мнимыми источниками.
,
10 3
ðàä
10 6
5
,
0
)
1
(
2 тогда
2
,
0 10 3
10 6
10 3
3 мм.
Размытие будет проходить на расстоянии l = хот центра интерференционной картины, l = 30
0,2 = 6 мм.

à)
á)
Размер источника
, при котором будут видны все интерференционные полосы, найдем из условия равенства ширины области пространственной когерентности расстоянию между мнимыми источниками (рис, те.
,







R
d
где
 - угловой размер источника света,
,
R



R – расстояние от источника света до дифракционного экрана, 2α – апертурный угол, Условие когерентного освещения площадки диаметром d можно записать через апертурный угол
,
2




а условие пространственной когерентности сформулировать так монохроматический источник излучения длины волны

и диаметра

когерентно освещает любую площадку, лежащую внутри апертурного угла
2




В интерференционном опыте с бипризмой Френеля апертурный угол 2α равен где аи расстояния от источника до бипризмы и от бипризмы до интерференционного экрана. По условию задачи а = b, тогда
)
1
(
2 и
2
,
0 5
,
0 2
10 3
10 6
2 мм.
5.3. Задачи для самостоятельного решения
5.3.1. На пути одного луча в интерференционной установке Юнга стоит трубка длиной l = 2 см с плоскопараллельными стеклянными основаниями и наблюдается интерференционная картина, когда эта трубка наполнена воздухом. Затем трубка наполняется хлором и при этом наблюдается смещение интерференционной картины на N = 20 полос. Вся установка помещена в термостат, поддерживающий постоянную температуру. Наблюдения проводятся со светом линии D натрия (

= 5890 Å). Принимая показатель преломления воздуха n =
1,000276, вычислить показатель преломления хлора. В какую сторону смещаются полосы интерференции при наполнении сосуда хлором Ответ Интерференционные полосы смещаются в сторону трубки. Рис

5.3.2. Преломляющий угол бипризмы α = 3
26. Между точечным источником монохроматического света (

= 5000 Å) и бипризмой помещена линза таким образом, что ширина интерференционных полос оказалась независящей от расстояния от экрана до бипризмы. Найти расстояние между соседними темными полосами, если показатель преломления стекла бипризмы n = 1,5. Найти максимальное число полос N, которое может наблюдаться в этой установке, если оно получается при удалении экрана от бипризмы нам. Ответ
10
)
1
(
4
,
ìì
5
,
0
)
1
(
2 2
2











n
L
N
n
x
5.3.3. При каком положении экрана в установке, описанной в предыдущей задаче, будет наблюдаться максимальное число интерференционных полос, если расстояние между вершинами преломляющих углов бипризмы составляет l = 4 см Чему равно это число полос При каком положении экрана интерференционные полосы исчезнут Ответ Максимальное число полос получится при удалении экрана нам от бипризмы. Полосы исчезнут, если удалить экран от бипризмы не менее чем нам. Найти число полос интерференции N, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления ее n, преломляющий угол α, длина волны источника

. Расстояние от источника света до бипризмы а, расстояние от бипризмы до экрана равно b. Ответ
;
)
1
(
)
(
4 2
2
a
hb
x
n
b
a
ab
N






5.3.5. При какой толщине пленки исчезают интерференционные полосы при освещении ее светом с длиной волны

= см Показатель преломления пленки n = 1,5. Ответ Приблизительно при
5 10 см.
5.3.6. С помощью воздушного клина с углом при вершине α наблюдаются полосы равной толщины в отраженном монохроматическом свете. Свет падает на клин нормально. Найти распределение освещенности Ев интерференционной картине на поверхности клина. Считать интенсивности световых пучков, отраженных от обеих поверхностей клина, одинаковыми и равными Ответ
,
2
sin
4 2
0



x
I
E

где x – расстояние от ребра клина.

5.3.7. Найти фокусное расстояние f плосковыпуклой линзы, примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего светлого кольца равен
1,1 мм, n = 1,6,
 = 5890 Å. Кольца наблюдаются в отраженном свете. Ответ f = 137 см.
5.3.8. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем свете (с = 4500
Å) с помощью плосковыпуклой линзы, положенной на плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался равным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найти радиус кривизны линзы и длину волны кр красного света. Ответ R = 1 м кр = 0,7 мкм.
5.3.9. Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на одной из поверхностей двояковыпуклой линзы. При наблюдении колец Ньютона в отраженном свете натриевой горелки (

= 5890 Å) найдено, что радиус темного кольца порядка m = 20 (центральному темному кольцу соответствует m = 0) равен r
1
= 2 мм. Когда пластинка была положена на другую поверхность линзы, радиус темного кольца того же порядка сделался равным r
2
= 4 мм. Определить фокусное расстояние линзы, если показатель преломления стекла, из которого она изготовлена, n =
1,5. Ответ
54
)
1
(
1 2
2 2
1 2
2 2
1





m
n
r
r
r
r
f
см.
5.3.10. Найти радиус r центрального темного пятна колец Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (n = 1,5). Радиус кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном натриевом свете (

= 5890 Å). Ответ
63
,
0


n
R
r

мм.
5.3.11. Кольца Ньютона получаются с помощью плосковыпуклой линзы с радиусом кривизны R
1
, положенной на вогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны
1 2
R
R

Кольца наблюдаются в отраженном свете. Определить радиус r
m
го темного кольца, если длина световой волны равна Ответ
1 1
2 1
R
R
m
r
m



5.3.12. Кольца Ньютона получаются между двумя плосковыпуклыми линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверхностями. Найти радиус r
m
го темного кольца, если длина световой волны
равна

, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей линз равны
è
2 1
R
R
Наблюдение ведется в отраженном свете. Ответ
1 1
2 1
R
R
m
r
m



5.3.13. Две тонкие симметричные линзы (одна двояковыпуклая, другая двояковогнутая) приложены вплотную друг к другу так, что между ними возникает контакт, вокруг которого в отраженном свете наблюдается интерференционная картина (кольца Ньютона. Определить оптическую силу системы из двух линз, если известно, что радиус восьмого темного кольца равен r = 4 мм при длине волны

= 0,5 мкм. Коэффициент преломления материала обеих линз n = 1,5. Ответ
25
,
0
)
1
(
2 2



r
m
n
D

дптр, где m = 8.
5.3.14. В установке для наблюдения колец Ньютона плосковыпуклая линза сделана подвижной и может перемещаться в направлении, перпендикулярном к пластинке. Описать, что будет происходить с кольцами Ньютона при удалении и приближении линзы к пластинке. Кольца получаются с помощью монохроматического света. Ответ Каждое кольцо Ньютона можно определить как линию, вдоль которой разность хода между интерферирующими лучами постоянна. Легко видеть, что при удалении линзы от пластинки кольца постоянной разности хода будут сжиматься к центру картины, а при приближении – расширяться от центра. Центр картины попеременно будет темными светлым.
5.3.15. Найти разность длин волн линий Na, если известно, что резкость интерференционной картины, наблюдаемой в интерферометре с двумя лучами, минимальна у 490- й, й и т.д., а максимальна у й, й и т.д. полос. Средняя длина волны линий

= 5893 Å. Ответ
02
,
6
;
980 1







Å.
5.3.16. Интерференционные полосы равного наклона в фокальной плоскости линзы L (рис) получаются при отражении от плоскопараллельной пластинки П, освещаемой монохроматическим источником света S. Прямой свет источника на линзу не попадает. Длина световой волны Рис Рис

= 6000 Å, толщина пластинки d = 1,6 мм показатель преломления n =
1,5; фокусное расстояние линзы f = 40 см. Найти радиус r первого видимого на экране Э темного интерференционного кольца, если центр колец темный. Какова максимально допустимая ширина линии Δ

, освещающая пластинку, чтобы при указанных параметрах схемы можно было наблюдать интерференционные кольца Ответ Δ

= 0,75 Å. Разность хода между лучами, отразившимися от передней и задней поверхностей пластинки, равна
2
/
cos
2



dn
Так как центр колец темный, то эта величина должна содержать нечетное число полуволн. Первому темному кольцу соответствует такое приращение угла преломления

, что разность хода уменьшается на Это дает




)
cos
1
(
2dn
, или
)
2
/
(
sin
4 2



dn
Для малых углов
2



dn
Малые углы падения и преломления связаны соотношением


n

Таким образом,
/
2
d
n



Для радиуса первого темного кольца получаем
5
,
9
/



d
n
f
f
r


мм. Величина Δ
 находится обычным способом по порядку интерференции, который равен Это дает
75
,
0
)
2
/(
2



dn


Å.
5.3.17. Сколько темных колец N можно наблюдать в условиях предыдущей задачи, если диаметр линзы D = 8 см, а источник S помещен посередине между линзой и пластинкой на расстоянии f от линзы Ответ N = 2. Максимальный угол падения
6
max
f
D


Поэтому из результатов решения предыдущей задачи получаем
2 36 2
2



nf
dD
N
5.3.18. Свет далекого точечного источника
S падает на фотоприемник непосредственно и отразившись от горизонтальной плоскости. При вертикальном перемещении источника фотоприемник ФП регистрирует изменение интенсивности падающего на него света. Оценить максимальный угол α возвышения источника над горизонтом, при котором еще заметны изменения фототока, если перед фотоприемником установлен светофильтр СФ с полосой пропускания
Δ

= 3
10 11
Гц. Входное отверстие фотоприемника находится на высоте
h = 1 см над отражающей плоскостью. Ответ
05
,
0 2





h
c
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

6. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА Рис

6.1. Основные положения и формулы Метод зон Френеля. Внешний радиус й зоны Френеля для сферического волнового фронта
,
1 где
a и соответственно расстояния от источника света S до вершины волнового фронта и от вершины волнового фронта до точки наблюдения P (рис, k = 1, 2, 3,
… . Для плоского волнового фронта Площадь отдельных зон Френеля Спираль Френеля. Если разбить фронт сферической волны на элементарные кольцевые зоны равной площади, очень узкие по сравнению с шириной зон Френеля, то действие элементарных зон в точке наблюдения можно представит в виде векторной диаграммы амплитуд, которая представит из себя скручивающуюся спираль (рис) – спираль Френеля. Вектор
OA
, проведенный изначала спирали до точки А, которой соответствует амплитуда элементарной волны, сдвинутой относительно амплитуды начальной элементарной волны на 180
, будет представлять собой амплитуду световой волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны Френеля. Вектор OM , проведенный изначала диаграммы в центр спирали, будет соответствовать амплитуде колебаний от бесконечно большого числа зон Френеля, другими словами, OM - это амплитуда колебания световой волны в точке наблюдения Р в отсутствие всякого ограничения распространению излучения. Дифракция Френеля на полуплоскости и щели. Спираль Корню. Векторная диаграмма спираль Корню, см. рис, является графическим представлением расчетов,
S
r k
a b
P
O
b+3

b+2

b+

1-я
2-я
3-я
Рис.1. Зоны Френеля
А
О
М
Рис.2. Спираль Френеля Рис. Спираль Корню
выполненных аналитически с помощью интегралов Френеля при решении задачи о дифракции излучения на краю полуплоскости или щели. Каждой точке спирали Корню соответствует определенное значение некоторого параметра s, который связан с расстоянием х, отсчитываемым от точки С до интересующей нас точки D (рис) , формулой где l – расстояние между точкой наблюдения Р и волновой поверхностью S, в плоскости которой расположено то или иное препятствие на пути световой волны.
Дифракция Френеля от круглого отверстия. Схема наблюдения дифракции от круглого отверстия показана на рис. Картина наблюдается в фокальной плоскости линзы
L. Картина имеет вид центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами. Угловой радиус первого темного кольца
,
22
,
1
d



где d – диаметр отверстия. Центральное светлое пятно можно рассматривать как изображение удаленного точечного источника, уширенное дифракцией от краев круглого отверстия диаметра d. Угловая расходимость δφ пучка с первоначальным диаметром d оценивается формулой Критерий разрешимости. Два точечных некогерентных источника света наблюдаются раздельно (разрешены, если угловое расстояние между ними φ
min больше угла дифракционной расходимости Величина R, равная
,
22
,
1 называется разрешающей способностью линзы. Дифракция Фраунгофера на щели. Схема
C
P
D S
Э
х
l
Рис.4. Рис. Дифракция
Фраунгофера на круглом Рис. Схема наблюдения дифракции
Фраунгофера на щели
P



=bsin


b
наблюдения дифракции от щели представлена на рис. Распределение интенсивности света на экране в зависимости от угла дифракции φ
,
)
/
(
)
2
/
(
sin
2 где Условие дифракционных минимумов при угле падения излучения на щель под углом Теорема Бабине. Волновое поле при полностью открытом фронте есть сумма волновых полей от дополнительных экранов, то есть экранов, суммарная конфигурация отверстий в которых образует полностью открытую плоскость. Дифракционная решетка. Дифракционная картина наблюдается в параллельных лучах (рис. При нормальном падении монохроматического излучения длины волны

на дифракционную решетку с периодом d условие главных максимумов имеет вид При падении излучения на решетку под углом φ
0
условие главных максимумов принимает вид В решетке с общим числом штрихов N между соседними главными максимумами находится N – 1 интерференционных минимумов, положение которых определяется выражением где Рис
P
F





=dsin


d
Между интерференционными минимумами находятся добавочные максимумы. Распределение интенсивности света в дифракционной картине от решетки
,
)
2
/
(
)
2
/
(
sin
)
2
/
(
)
2
/
(
sin
2 2
2 где Разрешающая способность R решетки
,
mN
R





здесь m – порядок дифракции, Δ

- наименьшая разность волн спектральных линий, при которых эти линии воспринимаются еще раздельно.
6.2. Основные типы задачи решения й тип. Расчет распределения интенсивности в дифракционной картине Френеля Метод решения. Воспользоваться методом зон Френеля. й тип. Расчет распределения интенсивности дифрагированных волн от амплитудной дифракционной решетки Метод решения. Рассчитать распределение интенсивности как результат интерференционного усиления когерентных волн. й тип. Расчет распределения интенсивности света при дифракции на дополнительных экранах. Метод решения. Непосредственный подсчет распределения интенсивности света. Воспользоваться теоремой Бабине. й тип. Расчет разрешающей способности линз и объективов. Метод решения. Рассмотреть дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии. Примеры. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I
0
падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность I за экраном в точке, для которой отверстие а) равно первой зоне Френеля, б) внутренней половине й зоны, в) сделали равным й зоне, а закрыли его половину по диаметру, г) равно полутора зонам, д) равно трети первой зоны.
A
B
а)
б)
в)
г)
A
A
A
B
B
B
O
O
O
O
1/2
3/2
1/3
1

о
Решение. а) Рисуем окружность (рис, эквивалентную спирали Френеля. Радиус окружности АО равен амплитуде волны в точке наблюдения в отсутствии экрана. Обозначим этот радиус А. Тогда

2 Вектор, равный амплитуде колебания, приходящего в точку наблюдения от первой зоны Френеля, заканчивается на верхнем конце спирали в точке В (риса. Величина этого вектора
2 2
0
A
AO
AB


Тогда интенсивность световой волны, приходящей в точку наблюдения от первой зоны,
,
4

)
2
(
)
(

0 2
0 2
1 1
I
A
A
I

4 б) Точка B
1/2
, описывающая действие половины первой зоны, находится на окружности Френеля посередине между точками Аи В, так что
2 2
0 2
/
1
A
AO
A
AB



Интенсивность I
1/2
будет равна
,
2

)
2
(
)
(
0 2
0 2
2
/
1 2
/
1
I
A
A
I


2 в) Если первая зона перекрыта по диаметру, то направление вектора амплитуды сохраняется, но величина вектора меняется по амплитуде пропорционально изменению площади. Таким образом,
,
2 1
2 1
0 0
0 г) Когда для точки наблюдения открыто полторы зоны, то это соответствует сдвигу по фазе между колебаниями, приходящими из центра отверстия и от его края, равному 1,5 π. Отсюда, конец вектора амплитуды колебания будет лежать на левом конце горизонтального диаметра окружности Френеля в точке В (рис в. Следовательно, длина вектора ОВ
3/2
в 2 превышает АО
= Аи поэтому
2 д) Точка В лежит на окружности и вектор
3
/
1
ÀÂ должен составлять с горизонтальной осью угол 30
 (рис д. Длина вектора
3
/
1
ÀÂ равна радиусу окружности, поэтому
0 3
/
1
I
I

6.2.2. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I
0
падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения первую зону Френеля. Какова интенсивность I? Какой она будет, если у диска удалить а) половину по диаметру, б) половину по диаметру внешней половины первой зоны. Рис
Решение. Нарисуем окружность Френеля (рис. В силу принципа Бабине действие волнового фронта в случае, когда его часть перекрыта непрозрачным экраном, описывается вектором, равным разности векторов

OM (действие полностью открытого фронта) и OM действие перекрывающего экрана).Пусть амплитуда волны открытого волнового фронта
0
À , а амплитуда волн от всех зон, кроме первой,
îñò
À , тогда
,
0 0
1 1
îñò
I
I
À
Ì
Ì
OM
OM
À







а) Удаление половины (по диаметру) перекрывающего диска означает открытие половины первой зоны. Тогда по принципу
Бабине амплитуда прошедшей волны равна
,
0 2
2 1
0 0
0 1
1








A
A
A
OM
OM
OM
A
следовательно, I = 0. б) На диаграмме Френеля (рис) действие внешней половины определяется вектором
1 2
/
1
M
M
Амплитуда колебания от открытой части волнового фронта определится суммой векторов

M
M
1
и
1
BM , то есть вектором С учетом углов
,
2 2
1 2
2 1
0 тогда
2 1
2 2
0 2
0
I
A
I








6.2.3. Посередине между точечным источником S и точкой наблюдения Р (расстояние между ними 2L) помещен непрозрачный диск радиуса R, перекрывающий небольшое число зон Френеля так, что его центр совпадает с осью, а его плоскость перпендикулярна оси (риса. Длина волны света
. В точке Р на экране наблюдается светлое пятно. Какого минимального радиуса
нужно сделать круглое отверстие в центре диска, чтобы пятно на экране исчезло При каких R это возможно
L
P
S
R
Э

L
а)
М
1/3
М
8
о
60
о
60
б)
Рис.11 Решение. Диск перекрывает небольшое число зон Френеля, поэтому можно заменить спираль Френеля окружностью (рис.11б), на которой будет находиться начальная точка вектора, соответствующая амплитуде колебания открытой волновой поверхности. Обозначим этот вектор как

MM
O
1
М
М
оо
Рис.9
O
1
М
М
о
о
B
М
1/2
Рис
Величина амплитуды

MM равна длине вектора

ÎM , те радиусу окружности А. Светлое пятно на экране в точке Р можно погасить, если из открытой части в центре диска в точку Р придет волна , равная по амплитуде Аи направленная противоположно вектору

MM Соответствующий вектор на диаграмме должен начинаться в точке О и составлять угол 60
 с вертикальной осью (как сторона вписанного правильного треугольника. Колебание с такими параметрами амплитуды возникнет, если открыть 1/3 первой зоны Френеля. Подставим в формулу для радиуса й зоны Френеля значение k = 1/3 и получим радиус отверстия, при котором экран затемнится
6 Вектор

MM должен располагаться так, чтобы составлять с вертикальной осью угол 60
. В этом случае он будет параллелен Следовательно, он должен выходить из точки диаграммы, соответствующей перекрытию 2/3 первой зоны или перекрытию х первых зон и еще 2/3 зоны и т.д. В общем виде R представлено выражением
,
2
)
3
/
2 где k = 0, 1, 2, … .
6.2.4. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L = 6 мот точечного источника монохроматического света (
= 600 нм. На расстоянии а = 0,5 L от источника помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее
темным?
Решение. В центре дифракционной картины темное пятно будет наблюдаться в случаях, когда в диафрагме укладывается четное число зон Френеля. Из построения зон Френеля следует, что с увеличением номера зоны амплитуда колебания от зоны уменьшается (волны сферические, тогда для модулей амплитуд можно записать соотношение
4 3
2 Колебания, приходящие на экран от двух соседних зон, будут гасить друг друга не полностью, то есть
;
;
;
3 6
5 2
4 3
1 Наиболее темным центр дифракционной картины будет при минимальной сумме нескомпенсированных остатков амплитуд, то есть когда в диафрагме укладывается две зоны Френеля
ìì.
8
,
0 2
10 6
10 6
2 2
3 4








L
k
R


6.2.5. На диафрагму с диаметром отверстия D = 2 мм падает нормальный параллельный пучок монохроматического света (

= 600 нм. При каком наибольшем расстоянии L между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?
Решение. Пусть в диафрагме укладывается k зон Френеля. Тогда
2 Максимальное значение L будет при минимальном возможном k, те. при k =
2 (так как центр по условию темный. Отсюда
ìì.
833 10 6
2 4
4 4
4 2








k
D
L
6.2.6. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью падает нормально на непрозрачный экран (рис. Найти интенсивность света I за экраном в точке Р.
Решение. Из рисунка видно, что экран перекрывает половину по площади открытого волнового фронта. Следовательно, за экран падает излучение от бесконечного количества зон Френеля, каждая из которых открыта наполовину по площади. Амплитуда колебаний А, пришедших в точку Р, будет равна
2 Тогда интенсивность света в точке Р
4 1
)
(
0 2
I
A
I


6.2.7. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью падает нормально на поверхность непрозрачного экрана (рис, закругленный край которого совпадает с границей й зоны
Френеля.
Решение. Экран открывает четверть полного волнового фронта. Амплитуда колебания от этой части в точке Р составит
,
4 1
0
A а направление вектора амплитуды совпадает с вертикальной осью на диаграмме Френеля. Кроме этого экран пропустит еще ¾ первой зоны. Амплитуда колебаний от этой части будет равна
,
2 4
3 а вектор амплитуды будет направлен также параллельно вертикальной оси. Общая амплитуда А световой волны в точке Р составит
,
4 7
4 6
4 1
0 А интенсивность света I будет равна Рис Рис

16 49
)
(
0 Рис
6.2.8. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I
0
падает нормально на поверхность непрозрачного экрана, состоящего из секторов двух кругов (риса. Радиусы кругов соответствуют й и й зонам Френеля для точки наблюдения. Найти интенсивность света в этой точке.
Решение. Предположим, что заданный экран является прозрачным. Тогда в волновом фронте экран откроет полностью ю зону с амплитудой колебания
0 1
2 2
A
OM
OM



(рис.14б), а также откроет ¾ второй зоны с амплитудой
4
/
3 1
1
O
M
B
M

Амплитуда А
зак результирующего колебания от прозрачного экрана составила бы
2 1
4 2
3 2
4
/
3 0
0 0
1 В соответствие с теоремой Бабине амплитуда А
зак от закрытой части волнового фронта в сумме с амплитудой от открытой части А
отк должна составить амплитуду всего волнового фронта, то есть А тогда
,
2 а интенсивность света в точке наблюдения
4 1
2 1
0 0
I
A
I








à)
á)
r
1
r
2
M
O
B
8 1
M
à)
á)
n
M
8
O
M '
3/2
P

r
3/2
I
o
M
3/2
Рис
6.2.9. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью I
0
падает нормально на прозрачный стеклянный диск толщиной h с показателем преломления n. Размер диска для точки наблюдения Р соответствует полутора зонам Френеля (рис. При какой минимальной толщине диска интенсивность в точке А будет максимальной Какова эта интенсивность?
Решение. Разобьем открытый волновой фронт на 2 области. Первая – это круг радиусом 3/2 зоны Френеля, вторая – это вся остальная часть волнового фронта. На окружности Френеля амплитуды волн от первой области изобразятся вектором
3
/
3
OM
, а от второй области – вектором
2
/
3

M
M
Если первую область перекрыть стеклянной пластиной, то модули векторов и

M
M
2
/
3
не изменятся, но фаза колебания от перекрытой части волнового фронта в точке Р изменится, так как стеклянная пластинка увеличивает оптическую длину пути для волны, проходимой через нее, на величину Увеличение оптической длины пути вызовет увеличение фазы колебания на δ:
)
1
(
2 Спираль Френеля строится таким образом, что увеличение фазы колебания за счет увеличения пути от зоны Френеля до точки наблюдения связано сдвижением конца вектора амплитуды против часовой стрелки. В связи с этим, введение стеклянной пластинки приведет к повороту вектора
2
/
3
OM
около точки Она угол δ против часовой стрелки. Максимальная интенсивность в точке Р будет в случае, когда вектор
2
/
3
OM
повернется на угол δ и займет положение
2
/
3
'
OM
, параллельное вектору

M
M
2
/
3
(рис.15б). Как видно из рисунка, угол δ равен
4 С другой стороны, отсюда
1 8
5
min



n
h

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

6.2.10. Точечный источник света с двумя монохроматическими линиями

1
= 660 нм и

2
= 440 нм одинаковой интенсивности расположен на расстоянии L = 1 мот экрана. Перед экраном на расстоянии а = 0,2 м расположен прозрачный диск диаметром D = 0,92 мм, вносящий фазовую задержку в π для обеих компонент, причем источник света, центры диска и экрана лежат на общей оси. Как отличаются интенсивности света в центре экрана при наличии и отсутствии диска
Решение. Пусть интенсивность света для

1
и

2
составляют по I
0
. Тогда в отсутствии диска общая интенсивность на экране будет Для длины волны

1
в диске умещается k
1
зон Френеля. Это число найдем из соотношения
16
,
0 8
,
0 2
,
0 8
,
0
)
2
,
0 1
(
2 1
1 1
1 Для длины волны

2 16
,
0 1
2 2
2 Подставляя численные значения, найдем k
1
= 2, k
2
= 3. Для длины волны

1
амплитуда колебания на экране изобразится суммой векторов (см. риса.
0 2
2 Интенсивность для

1
I
1
= Для излучения с

2
амплитуда колебания изобразится суммой амплитуд
(рис.16б)
3 3


M
M
OM
Диск повернет фазу колебания ОМ на 180
. В результате
3 3
0 3
3 Интенсивность света для

2
на экране составит
9
)
3
(
0 2
0 Общая интенсивность света после прохождения диска
10 9
0 0
0 Диск увеличит интенсивность света враз. На экран в виде полуплоскости падает нормально параллельный пучок монохроматического света (

= 500 нм. Дифракционная картина наблюдается в плоскости, перпендикулярной направлению падающей волны и расположенной на расстоянии в 2 мот отбрасывающего тень экрана. Оценить ширину дифракционных полос вблизи границы тени от прямолинейного края экрана (рис) и определить интенсивность I в первом максимуме, если интенсивность падающей волны Решение. На границе между тенью и освещенной областью происходит деление открытого волнового фронта на две равные части. Амплитуде открытого волнового фронта А на спирали Корню соответствует вектор
2 1
F
F
Численное значение А получим, измерив линейкой отрезок
2 Амплитуде колебания на границе тень-свет соответствует отрезок
2 1
0 Амплитудам дифракционных максимумов излучения будут соответствовать величины отрезков прямых, проходящих вдоль линии
1 от точки F
2
до точек пересечения с нижними витками спирали заточкой. Отрезки прямых до точек пересечения свитками спирали перед точкой будут соответствовать амплитудам излучения в дифракционных минимумах.
Рассмотренные точки пересечения можно характеризовать параметром
s, который откладывается по спирали. Параметр s связан с координатой х
1
рассматриваемого участка волнового фронта соотношением Для первого максимума точка на спирали имеет значение s
1
= 1,3. Координата этого максимума (точках) определится из соотношения
ìì.
65
,
0 2
3
,
1 10 5
1000
/
2 3
,
1
/
2 4
1 В первом минимуме s
2
= 1,9. Положение минимума
ìì.
95
,
0 2
9
,
1 Для второго максимумах мм. Ширину интерференционной полосы х можно определить так
ìì.
6
,
0
)
(
2 Определим интенсивность света в первом максимуме. Для этого по спирали Корню измерим отрезки
1 2
F
F
и отрезок от F
2
до точки спирали с s = 1,3:
1 2
F
F
= А = 52 мм, А = 61 мм. Из пропорции
2 0
0







A
A
I
I
найдем
37
,
1 52 61 0
2 0
2 0
0
I
I
A
A
I
I
















6.2.12. Свет от ртутной лампы через диафрагму – щель шириной D = 1 мм – непосредственно освещает дифракционную решетку, расположенную на расстоянии
L = 100 см. Оценить, какой будет в этих условиях максимальная разрешающая способность Решение. Решетка имеет период d. Так как от источника света идет сферическая волна, в создании интерференционной картины будут участвовать только те штрихи решетки, которые находятся в области S
ког когерентного освещения. Количество этих штрихов N равно Для области когерентности можно записать где α – угловой размер источника света,
L
D


Тогда для N получим
d
D
L
N



Максимальная разрешающая способность R
max определяется как
,
max max
N
k
R

где k
max
– максимальный порядок дифракции. Его найдем из формулы дифракционной решетки
,
sin


k
d

положив
1
sin


k
max
= d/
. Отсюда

1000
max max






D
L
Dd
L
d
N
k
R




6.2.13. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,2 мкм, если угол между направлениями на фраунгоферовы максимумы первого и второго порядков Δφ = Решение. Углы дифракции φ для главных максимумов определяются из соотношения Для первого максимума Для второго максимума Сложим и вычтем значения
1
sin

и
2
sin

:
,
3 2
cos
2
sin
2
sin sin
2 1
1 2
d

















2
sin
2
cos
2
sin sin
2 1
1 Отсюда
2
sin
2
cos
,
2
cos
3 2
sin
2 1
2 Возведем уравнения в квадрат и сложим
1 2
sin
4 1
2
cos
4 9
2
cos
2
sin
2 2
2 2
2 1
2 2
1 2





































d
1
sin
)
1 2
cos
1
(
8
sin
1 2
sin
8 2
sin
2
cos
4
)
2
cos
2
sin
9
(
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2



























d
d
d
ìêì.
55
,
0
cos
4 5
sin
,
1
sin cos
4 5
2 2
2
















d
d
6.2.14. Камера-обскура длиной L = 10 см с малым отверстием предназначена для фотографирования удаленных предметов. Оценить диаметр D отверстия камеры, при котором она имеет наибольшую разрешающую способность. Длина волны

=
500 нм.
Решение. Наибольшая четкость изображения будет в случае, когда дифракционные изображения близко расположенных предметов не будут перекрываться. То есть при условии равенства дифракционного радиуса предмета углу дифракционной расходимости пучка света

,
22
,
1 отсюда
L
D

44
,
2

=0,35 мм.
6.2.15. На отражательную дифракционную решетку с числом штрихов на 1 мм N
0
=
600 падает наклонно параллельный пучок монохроматического света (

= 500 нм. Определить угол падения, при котором можно наблюдать максимальный порядок
дифракции.
Решение. Максимальный порядок дифракции будет иметь место при максимальной разности хода лучей, то есть при условии, что угол падения и угол дифракции лежат по одну сторону от нормали к решетке. Тогда основное уравнение дифракционной решетки примет вид
,
)
sin
(sin
2 где d – периода и φ
2
– углы падения и дифракции. Отсюда
2 Подставим данные из условия Положим, что углы падения и дифракции равны 1





Имеем
65 9
,
0 3
sin
,
6
sin
2
,
6
sin
2 0
0














N
N
d
6.2.16. Современные фотопленки способны разрешать до Z = 10
4
линий/см. Какую светосилу (то есть отношение квадратов диаметров D и фокусного расстояния f) должен иметь объектив фотоаппарата, чтобы полностью использовать разрешающую способность пленки?
Решение. Размер r минимально разрешимого объекта равен
1
z
r
 Угловой φ размер этого объекта
1
zf
f
r


Угол дифракционной расходимости для объектива α не должен превосходить φ, то есть
1
zf
D




Отсюда
z
f
D


и
25
,
0
)
ëèíèé/ìì
1000 10 5
(
)
(
2 4
2 2












z
f
D

6.3. Задачи для самостоятельного решения
6.3.1. Непрозрачный экран, имеющий форму полудиска, помещен между точечным источником S и точкой наблюдения А таким образом, что точка О располагается на одной прямой с точками S и А. Экран
6 10 5
600 2
4
max





k
закрывает небольшое нечетное число полузон Френеля. Какова освещенность в точке А Ответ Если
3 2
1
,
,
E
E
E
- поля, создаваемые в точке А представится рядом
).
(
2 1
)
(
2 1
2 1
÷èñëî
÷åòíîå
1 2
1






















N
N
N
N
E
E
E
E
E
E
E
При небольшом N первая скобка близка к нулю, а последняя – к
,
2
/
1

N
E
так что
0
)
(
2 1
1




N
N
E
E
E
В точке А будет минимум освещенности.
6.3.2. Между точечным источником S и точкой наблюдения A помещен диск, центр которого расположен на одной прямой с точками S и A см. рис. Одна половина диска прозрачна, другая непрозрачна. Диск закрывает первые три зоны Френеля. Толщина прозрачной части диска
,
)
1
(
2


n
N
l

где n - показатель преломления прозрачной части диска, N – целое число. Какова освещенность в точке А при четном и нечетном N? Ответ При четном N в точке А будет минимум освещенности (Е = 0), при нечетном N – максимум, приблизительно такой же, как приоткрытой центральной зоне.
6.3.3. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) увеличивается таким образом, что его радиус от радиуса одной зоны возрастает до радиуса двух зон, то освещенность в точке P (точка Р – изображение источника света, даваемое диафрагмой) падает почти до нуля. Как согласовать этот факт с увеличением всего светового потока через диафрагму в два раза Ответ Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изображения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь поток через плоскость изображения возрастает в два раза.
6.3.4. Симметрично между источником (

= 4900 Å) и точкой наблюдения расположен непрозрачный экран с круглым отверстием (r = 0,35 мм. Расстояние от источника до экрана а = 1 м. Во сколько раз изменится интенсивность в точке наблюдения, если источник сместить вдоль оси к отверстию на расстояние а = 0,8 м Ответ
,
9 50
;
2
(
9 25 0
0
I
I
I
I
I
I





где I
0
– интенсивность в точке наблюдения в отсутствие экрана.
O
S
A

6.3.5. Между источником S (

= см) и точкой наблюдения Р расположен непрозрачный экран с круглым отверстием на оси SP. Расстояние от источника до экрана а = 3 м, между экраном и точкой наблюдениям. Во сколько раз изменится интенсивность сигнала, если точку наблюдения удалить вдоль осина расстоянием от экрана Ответ
,
3 4
;
3
(
9 4
0 0
I
I
I
I
I
I





где I
0
– интенсивность в точке наблюдения в отсутствие экрана)
6.3.6. В непрозрачной пластинке имеется отверстие диаметром d = 1 мм. Оно освещается монохроматическим светом с длиной волны

= 500 нм от удаленного точечного источника. Найти расстояние L
max от отверстия, на котором будет наблюдаться наибольшая освещенность. Ответ
,
)
1 2
(
4 2



m
d
L
m = 0, 1, 2, …; прим. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны
 =
6000 Å нормально падает на непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром D = 1,2 мм. На расстоянии b
 = 18 см за экраном на оси отверстия наблюдается пятно. На какое минимальное расстояние Δb нужно сместиться от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины вновь наблюдалось темное пятно Ответ
18 8
8 1
2 2
1






b
D
b
b
см.
6.3.8. Непрозрачный диск, радиус которого R = 0,55 см, освещается плоской монохроматической волной (

=5
10
-5
см. Оказалось, что если в центре диска проделать маленькое отверстие, то интенсивность света в точке наблюдения, находящейся за диском на оси отверстия на расстоянии L
= 1,5 м учетверится. Определить минимальный радиус отверстия. Ответ
15
,
1
min


L
m
r

мм, где m = 1 .
3 2
6.3.9. В плоскопараллельной стеклянной пластинке с показателем преломления n, на которую нормально падает плоская волна, вырезано круглое отверстие размером в одну зону Френеля для некоторой точки Р, лежащей на оси системы. Определить, при какой толщине пластинки
h интенсивность I колебаний в точке Р будет максимальной. Найти I
max
, если в отсутствие пластинки интенсивность равна I
0
. Длина волны падающего света равна
. Ответ
9
;
,
2
,
1
,
0
,
)
1
(
2
)
1 2
(
0
max
I
I
m
n
m
h








6.3.10. Интенсивность света в некоторой точке на оси за отверстием в непрозрачном экране, на который нормально падает параллельный пучок монохроматического света, равна
I
0
, если в отверстии укладывается одна зона Френеля. С помощью векторной диаграммы найти интенсивность света в той же точке, если радиус отверстия уменьшить на а = 1/3 первоначальной величины. Ответ .
41
,
0 0
I
I

Если r – радиус отверстия, то разность хода между лучами, приходящими от его края и от центра, равна r
2
/(2L), где L – расстояние от центра отверстия до точки наблюдения. Положим сначала r = r
1
, а затем ),
1
(
1
a
r
r


где r
1
– радиус центральной зоны Френеля. Тогда соответствующие разности фаз будут

и Как видно из векторной диаграммы, амплитуды колебаний Аи А в рассматриваемых двух случаях связаны соотношением ),
2
/
sin(
0

A
A

а интенсивности – соотношением
)
2
/
(
sin
2 0

I
I

. При
/3 41
,
0 40
sin
)
9
/
2
(
sin
0 2
0 2
0
I
I
I
I





6.3.11. Точечный источник света с двумя монохроматическими линиями

1
=
6600 Å и

2
= 4400 Å одинаковой интенсивности расположен на расстоянии l = 1 мот экрана. Перед экраном на расстоянии а = 0,2 м располагается непрозрачный лист с отверстием диаметром D = 0,92 мм так, что источник света, центры диска и экрана расположены на общей оси системы. Как отличаются освещенности в центре экрана при наличии ив отсутствии листа Ответ Освещенность при наличии листа в два раза больше.
6.3.12. Между точечным источником и приемником излучения установлен непрозрачный экран с круглым отверстием, размер которого соответствует внешнему краю зоны Френеля. Всю систему заполняют водой, показатель преломления которой n = 1,33. Определить интенсивность излучения I, которую зарегистрирует приемник, если известно, что в отсутствие экрана интенсивность была равна Ответ I = 3I
0 6.3.13. На пути плоской световой волны с

= 0,54 мкм поставили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием f = 50 см, непосредственно за ней – диафрагму с круглым отверстием и на расстоянии b = 75 см от диафрагмы – экран. При каких радиусах отверстия центр дифракционной картины на экране имеет максимальную освещенность Ответ мм, где m = 1, 3, 5, ….




A
0
A

6.3.14. Точечный источник света и точка наблюдения Р расположены симметрично на расстоянии 2L на оси круглого отверстия в непрозрачном экране. Отверстие оставляет открытой одну зону Френеля для точки Р. Во сколько раз изменится интенсивность света в точке Р, если к отверстию без нарушения осевой симметрии приложить тонкую линзу с фокусным расстоянием
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Смотрите также файлы