Файл: Практикум по решению задач учебное пособие Красноярск 2007.pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ Кафедра общей физики
Л.М.Образцова, Л.Т.Сухов ОБЩАЯ ФИЗИКА ОПТИКА ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Учебное пособие Красноярск 2007

Предисловие Познание природы сложных и многообразных оптических явлений немыслимо без решения практических задач. Входе их решения углубляется понимание законов, прививаются навыки их использования, формируются представления о порядках физических величин и соотношениях между ними. Каждая задача представляет упрощенную модель, описывающую реальное физическое явление, поэтому анализ этих упрощений способствует восприятию законов. Предлагаемый практикум по решению задач максимально согласован с лекционным курсом, нов тоже время автономен по своим целями задачам. Пособие построено в соответствии с идеей модульного обучения. Весь материал курса Оптика разбит на организационно-методические структурные единицы. Каждая единица содержит
 Краткое изложение теоретического материала, которое предполагает самостоятельную работу с классическими учебниками и помогает ориентироваться в них.
 Анализ основных типов задачи методы их решения.
 Примеры решения задач различных типов, запись и оформление результатов, построение иллюстрирующих схем.
 Задачи для самостоятельной проработки. Содержание некоторых из них способствует формированию навыков работы со справочным материалом. Проведенный анализ типов задач позволяет упорядочить и освоить приемы их решения и выйти на самостоятельный уровень. Предлагаемые для самостоятельной проработки задачи носят разноуровневый характер, что дает возможность обучающимся выбрать индивидуальный план и темп прохождения курса. В целом содержание и структура практикума направлено на эффективную организацию и учет самостоятельной работы студентов. Учебное пособие предназначено для студентов физических и физико- технических специальностей университетов, оно также может быть полезно для начинающих преподавателей. Часть задач практикума являются оригинальными, условия остальных взяты, в основном, из книг
 И.Е.Иродов Задачи по общей физике,
 Сборник задач по общему курсу физики Ч. под редакцией
В.А.Овчинкина.

1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН
1.1. Теоретический материал Оптикой называют учение о физических явлениях, связанных с распространением коротких электромагнитных волн. Выделение узкой области от 0,4 до 0,7 мкм (видимого света) не имеет особого смысла. Несмотря на различие способов генерирования и регистрации электромагнитных волн разного типа законы их распространения задаются одними и теми же уравнениями Максвелла. Свойства среды учитываются введением материальных констант ε и μ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости,
 – удельная проводимость. Переход излучения из одной среды в другую определяется граничными условиями для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Метод Максвелла позволяет построить единую теорию распространения электромагнитных волн и применить ее для описания основных свойств света. Запишем уравнения Максвелла для волн, распространяющихся в однородном диэлектрике (
 = 0), не содержащем объемных зарядов (ρ = 0) и токов проводимости (j = 0).
0





B
di
t
B
E
rot




,
(1)
0




D
di
t
D
H
rot




,
(2)
,
0 0
E
D
H
B








(3) Дифференцируя первое уравнение (2) повремени и меняя порядок следования временной и пространственной производных, получим
2 2
0
t
E
t
H
rot














Выражая
t
H



из первого уравнения (1), имеем
2 2
0 Используя соотношение векторного анализа
,
E
E
di
grad
E
rot
rot







где Δ – оператор Лапласа в декартовой системе координат записывается
,
2 2
2 2
2
z
y
x










а
,
0

E
di


получаем уравнение
0 2
2 2





t
E
c
E



(4) Аналогично можно получить уравнение для
H

:
,
0 2
2 2





t
H
c
H



(5) здесь с

3·10 мс – скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная, связанная с электрической и магнитной постоянными соотношением

1 0
0



ñ
(6) Уравнения (4) и (5) называются волновыми уравнениями, они описывают распространение электрического и магнитного полей с одной и той же скоростью в пространстве и времени. Скорость распространения электромагнитной волны определяется соотношением
,


c

(7) величина


n
– показатель преломления среды. Волновому уравнению (4) удовлетворяют выражения
)
cos(
)
,
(
0
r
k
t
E
t
r
E









,
(8)
)]
/
(
cos[
)
,
(
0


r
t
r
E
t
r
E





(9) Аналогичные решения можно записать для уравнения (5). Эти уравнения представляют плоскую (8) и сферическую (9) монохроматические волны. Здесь
r
– радиус-вектор точки с координатами х, у, z, Е – амплитуда,

– круговая частота, k

– волновой вектор, определяемый как



k

,
(10) в вакууме

= си
с
k



Уравнения (8) и (9) описывают идеальные волны, которых в природе не существует, условие их применимости для описания реального волнового процесса зависит от характера решаемой задачи и требует специального рассмотрения в каждом конкретном случае. Небольшой участок сферической волны вдали от ее центра можно приближенно рассматривать как плоскую волну, если размеры этого участка малы по сравнению с расстоянием до центра. Кроме того, любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Поэтому изучению свойств плоских монохроматических волн уделяется большое внимание. Аргумент косинуса (8) называется фазой. Уравнение поверхности постоянной фазы (волновой поверхности)
const
r
k
t

 


определяет в пространстве плоскость, перпендикулярную вектору
k

. Эта плоскость фронт волны) перемещается в пространстве вдоль направления вектора k

со скоростью
k
/



, которая называется фазовой скоростью волны. Период изменения напряженности поля в пространстве – это длина волны λ:
λ = 2
,
2
/
T
k










то есть длина волны представляет расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное периоду колебаний
2



T
Для сферической волны (9) волновая поверхность представляет сферу. В расчетах удобно использовать комплексную форму записи уравнения волн
)
,
(
)
,
(
)
(
0
)
(
0
kr
t
i
r
k
t
i
e
r
E
t
r
E
e
E
t
r
E














(11) Здесь E
0
в общем случае может быть комплексной величиной, которую можно записать как
,
Re
Im
,
0 0
0 0
E
E
tg
e
E
E
i






(12) а фаза волны запишется



 r
k
t


Используя такое представление волн, надо понимать, что физический смысл имеет лишь вещественная часть комплексного числа, те. В бегущей электромагнитной волне происходит направленный перенос энергии электромагнитного поля в пространстве. Направление и интенсивность переноса энергии характеризуются вектором Пойнтинга
 
H
E
S




(13) Направление вектора в плоской волне, распространяющейся в вакууме, совпадает с вектором
k

, те. энергия переносится вдоль перпендикуляра к поверхностям постоянной фазы. Учитывая ортогональность векторов
E

,
H

и соотношение
2 0
2 0
H
E




, получаем для модуля плотности потока энергии в вакууме (μ = ε = 1) выражение
2 2
0 2
0
B
c
c
E
c
S




(14) Так как объемная плотность энергии электрического и магнитного полей в вакууме равна
),
(
2 1
)
(
2 1
2 1
2 1
)
(
2 1
2 0
2 2
0 0
2 2
0 2
0 2
0
B
c
E
B
E
H
E
w
w
w
ì
ý














(15) то плотность потока энергии w можно записать в виде произведения потока полной энергии электромагнитного поля и скорости волны
)
(
cw
w
w
c
S
ì
ý



(16) Для оптического диапазона частота колебаний потока энергии волны в каждой точке
1 15
c
10



ненаблюдаема и физический интерес представляет среднее повремени значение S, которое называют интенсивностью света. Так как в соотношение (14) входят мгновенные значения E(t) и B(t), то среднюю повремени плотность потока энергии можно определить как
,
2 1
cos
2 0
0 2
2 0
0
E
c
t
E
c
S





(17)

где Е – амплитуда напряженности электрического поля в световой волне, а
2 1
cos
1
cos
0 Процесс излучения света ограничен во времени и это приводит к его немонохроматичности. Реальную электромагнитную волну можно представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Математическим обоснованием этого является то, что уравнения Максвелла линейны, поэтому любая суперпозиция решений также является решением. Замена электромагнитной волны бесконечной суммой монохроматических составляющих математически означает разложение функции
)
,
( t
r
E 
вряд или интеграл Фурье. Целесообразность разложения именно на монохроматические составляющие связана с возможностью выделения в эксперименте отдельных монохроматических составляющих. Синусоидальная волна в спектральном приборе дает резкую отдельную линию.
1.2. Основные типы задачи решений
1-й тип Изучение свойств электромагнитных волн. Метод решения Воспользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны и записать уравнения Максвелла, провести их анализ. й тип По заданному уравнению волны через вектор
)
,
( t
r
E найти вектор как функцию времени в заданной точке пространства. Обратная задача. Метод решения Аналогичен первому типу. й тип Зная напряженности полей в плоской волне, найти поток энергии и, наоборот, по потоку вычислить напряженности полей. Описать физические явления, которые определяются действием электрической и магнитной составляющей волны. Метод решения Энергия, переносимая электромагнитной волной, определяется вектором Пойнтинга, который связывает напряженности электрического и магнитного полей. При рассмотрении оптических явлений учитывать частоту изменения полей. й тип Определение спектрального состава немонохроматического излучения. Метод решения Воспользоваться преобразованием Фурье ряд Фурье для периодической функции и интеграл Фурье для изолированного импульса. Примеры. Доказать поперечность электромагнитных волн
Решение
. Рассмотрим одномерную задачу, те. векторы
B
H
D
E




,
,
,
зависят только от z и t. Это не означает, что векторы
E

и
H

не имеют хи у- компонент, нов данный момент времени t и при z = const эти компоненты имеют вполне определенные значения, одинаковые на всей плоскости,

перпендикулярной оси z. Такое поле называют однородным. Распишем второе уравнение (2): Получаем
,
const
D
z

аналогично из второго уравнения (1) получим
,
const
B
z

то есть составляющие векторов
D

и
B

вдоль оси z постоянны во всех точках. Запишем выражение для
E
rot

: Компоненты волны
E

и
H

по условию задачи зависят только от z, а, как видно из найденного соотношения, компонента ротора
E
rot
z

зависит от хи у. Тогда из первого уравнения (1) получаем
0



t
B
z
, аналогично из (2) -
0



t
D
z
. Следовательно, D
z
и B
z
постоянны во времени. Таким образом, вдоль оси z может существовать лишь статическое поле (например, созданное каким-либо распределением зарядов, которое нас не интересует. Поэтому, не нарушая общности, полагаем
,
0


z
z
B
D
что свидетельствует острогой поперечности электромагнитной волны. Это одно из самых важных ее свойств. Поперечность световых волн следует из опытов Френеля и Араго. Структура плоской монохроматической волны приведена на рис. 1. Рис. 1. Мгновенная фотография распределения полей и как функции координаты z в некоторый момент времени t для волны, распространяющейся вдоль оси z
1.2.2. Плоская электромагнитная волна распространяется в вакууме. Считая векторы
0
E

и
k

известными, найти вектор H

как функцию времени t в точке с радиус-вектором Решение В соответствии с (11) представим векторы и
H

для плоской воны в комплексной форме
)
(
0
)
(
0
,
r
k
t
i
r
k
t
i
e
H
H
e
E
E

















и подставим их в уравнение Максвелла (1). Предварительно вычислим производные по координатам х, у, z. Так как
z
k
y
k
x
k
r
k
z
y
x





, то Таким образом, дифференцирование
E

по координате х сводится к умножению
E

на множитель
)
(
x
ik

, аналогично по другим координатам. Тогда
 Дифференцирование
H

повремени сводится к умножению на (iω): В соответствии с (1) получаем для μ = 1
 откуда
 
1 Полученное выражение показывает, что и для волны в вакууме фазы электрического и магнитного полей совпадают (при сдвиге фаз, например, на π/2, появился бы множитель i). Подставляя комплексное выражение для и взяв справа и слева реальную часть, получаем
 
).
cos(
1
)
,
(
0 Для
0

r
с учетом (10),
c
k



и
0 0
1



c
(6), получаем
 
).
cos(
1 0
0 0
)
,
0
(
kct
E
k
k
H
t
r









1.2.3. Мощность излучения гелий-неонового лазера непрерывного действия равна мВт, диаметр сечения пучка равен 1 мм. Какова амплитуда вектора напряженности электрического поля в этой волне?
Решение. Воспользуемся соотношением (17):

2 0
0 и выразим
2 0
0

c
S
E

Интенсивность излучения определим через мощность Р и сечение пучка
4 2
d

и получаем
,
8 1
2 м 6
10 1
10 8
85
,
8 10 3
10 4
6 2
8 12 0











E
1.2.4. Шар радиуса R = 50 см находится в немагнитной среде проницаемости ε = 4,0. В этой среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которой λ << и амплитуда электрической составляющей Е = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 60 с Решение. В изотропной среде вектор совпадает по направлению с волновым вектором и его среднее значение с учетом характеристик среды определится выражением
0 0
2 1
E
c
S




, по условию задачи μ = 1. Считая распределение интенсивности в потоке равномерным, энергию, падающую на шар, можно записать как





s
s
d
S
t
W


, здесь
S

- средний вектор
Пойнтинга, ds - малый элемент площади шара, S – поверхность, на которую падает электромагнитная волна. Для анализа решения используем рис. Возьмем на поверхности шара сферический пояс площадью





d
R
d
R
r
ds
sin
2 2
2


, для всех элементов которого угол
 между нормалью
n
и вектором
S

имеет одно значение. Энергия, падающая на эту площадку за время t, запишется в виде



2
/
0 2
2
cos Окончательно получаем
2 2
2 Подставляя численные значения в системе единиц СИ, получаем кДж.
5
Дж
10 5
2 60 10 25 10 4
10 3
10 85
,
8 2
3 2
4 8
12















W

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

1.2.5. Найти спектральный состав периодической последовательности прямоугольных импульсов, заданных функцией Рис








èíòåðâàëà
âíå
0 4
4
T
-
äëÿ
2
)
(
T
t
t
f
. Решение. Графическое представление заданной функции дано на рис. Рис. 3. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов Из математики известно, что периодическая функция f(t) с периодом Т может быть представлена рядом Фурье
),
sin cos
(
2
)
(
1 где
,
2
T



sin
)
(
2
,
cos
)
(
2 Преобразуем слагаемые ряда Фурье следующим образом















t
n
b
a
b
t
n
b
a
a
b
a
t
n
b
t
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n




sin cos sin cos
2 2
2 2
2 здесь
/
sin
,
/
cos
,
/
,
2 2
2 2
2 Таким образом, можно записать
)
cos(
2
)
(
1 0
n
n
n
t
n
A
A
t
f








, где А = а, совокупность А называется спектром амплитуд, множество φ
n
– спектром фаз. Как видно из условия и графика (рис. 3), данная функция – четная, поэтому b
n
= 0. Найдем аи аи запишем ряд
f(t)
T
4
1
2
t
T
2
T
T
4
O

cos
2
/
)
2
/
sin(
2 Выпишем начальные гармоники ряда
),
5
cos
5 1
3
cos
3 1
(cos
4 1
)
(






t
t
t
t
f




так как при n = 1, 3, 5,

,
,
1 2
sin



n
при n = 2, 4, 6,

,
0 2
sin


n
Спектры амплитуд и фаз имеют вид
0
,
2
/
)
2
/
sin(
2


n
n
n
n
A



На рис представлен дискретный спектр амплитуд. Рис. 4. Спектр амплитуд бесконечной последовательности прямоугольных импульсов
Число гармоник между нулями амплитуд зависит от отношения продолжительности импульса (τ) и периода Т .
/

T
n


Чем меньше τ по сравнению с Т, тем больше число гармоник.
1.2.6. Найти спектральный состав одиночного прямоугольного импульса продолжительности τ и амплитуды U
0
. Решение. Графическое представление этого импульса приведено на рис. 5. Непериодическую функцию можно представить в виде интеграла Фурье





,
)
(
2 где






dt
e
t
f
F
t
i


)
(
)
(
- Фурье-образ функции f(t), ее спектральная плотность. Найдем Фурье-спектр функции f(t):
,
2
/
)
2
/
sin(
2
sin
2
)
(
)
(
2
/
2
/
0 0
2
/
2
/
0 Рис. 5. Изолированный прямоугольный импульс о

Здесь использована формула Эйлера Функция
f(t) может быть представлена в виде


)
(
cos
)
(
2 1
)
(
0






d
t
A
t
f




Величины Аи) представляют амплитудный и фазовый спектры функции и определяются соотношениями Спектральная плотность F(ω) максимальна при ω = 0 и обращается в нуль, когда ωτ/2=nπ, те.
,
2
n




где n
= 1, 2, 3, … . Таким образом, спектр амплитуд данной функции непрерывный и определяется как рис. 6), спектр фаз φ
n
= 0. Под шириной спектра одиночного импульса понимают интервал частот от нуля до частоты, при которой амплитуда обращается в нуль. Из соотношения
n


2

для
1

n
получаем или для простой частоты
1






, то есть чем больше длительность импульса, тем уже спектр частот


. Если
,




то свет называют квазимонохроматичным (например, излучение разреженного газа – спектральные линии. В качестве меры монохроматичности берется величина



/
или
/



1.3. Задачи для самостоятельного решения
1.3.1. Определите разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче на расстоянии 1 м друг от друга, если длина волны излучения равна 0,5 м.
1.3.2. Определите длину волны, если числовое значение волнового вектора равно 0,02512 см 1.3.3. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль оси Х в среде, не поглощающей энергию, со скоростью υ = 10 мс. Две точки, находящиеся на расстояниях хм их мот источника, колеблются с разностью фаз
5
/
3




Амплитуда волны А = 5 см. Рис. 6. Амплитудный спектр одиночного прямоугольного
A(

)



n=


0
1
2

Определите 1) длину волны, 2) уравнение волны, 3) смещение второй точки в момент времени
t
2
= 2 с.
1.3.4. Скорость распространения электромагнитной волны в некоторой среде составляет 250 Мм/с. Определите длину волны в этой среде, если ее частота в вакууме
ν
0
= 1 МГц.
1.3.5. Покажите, что плоская монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению
1 2
2 2
2 2
t
E
x
E
y
y






1.3.6. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны 10 В/м. Определите амплитуду напряженности магнитного поля волны.
1.3.7. Энергетическая освещенность земной поверхности в среднем равна
1,3·10 3
Дж/(м
2
с). Каковы амплитуды напряженности электрического поля и индукции магнитного поля, если предположить, что земная поверхность освещается монохроматическим светом
1.3.8. Напишите выражение для плотностей энергии и импульса электромагнитного поля в вакууме.
1.3.9. Световая волна имеет частоту
ν = 4·10 Гц и длину волны
λ = м. Какова скорость распространения этой волны Чему равен показатель преломления среды n, в которой она распространяется Какова длина волны света
λ
0
, после того как он вышел изданной среды и стал распространяться в воздухе
1.3.10. Какому диапазону частот соответствует видимый участок спектра электромагнитных волн
1.3.11. Монохроматический пучок света падает из вакуума на среду с показателем преломления n. Как связаны между собой частоты падающей и преломленной волн Каково соотношение между длинами этих волн
1.3.12. Круговая частота плоской электромагнитной волны равна 10 с, а величина индукции магнитного поля – 10
-6
Тл. Найдите длину волны, величину напряженности электрического поля волны и средний поток энергии.
1.3.13. Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью

= 2 в вакуум. Определите приращение ее длины волны.
1.3.14. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от которой дошел до него за
t = 36 мкс. Определите расстояние от локатора до лодки, считая диэлектрическую проницаемость воды
ε = 81.

1.3.15. Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной на участке (Т) формулой
f(t) = t/T.
1.3.16. Найдите спектральный состав немонохроматической волны, представляющей собой отрезок синусоиды








/2
t
/2
-
äëÿ
2
/
ïðè
0
)
(
0




t
i
e
E
t
t
E
.
1.3.17. Запишите ряд Фурье для периодической функции с периодом Т, заданной формулой









T/2
t
0
ïðè
/
2 0
t
T/2
-
ïðè
/
2
)
(
T
t
T
t
t
f
1.3.18. Найдите энергию, которую переносит за t = 1 мин. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в вакууме, через площадку S = 10,0 см, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Амплитуда напряженности электрического поля Е = 1,0 мВ/м. Период Т << t.
2. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА. ЗАКОН МАЛЮСА
2.1. Теоретический материал
Уравнения Максвелла допускают решение, когда у вектора
E

во всех точках и вовсе моменты времени отлична от нуля только одна проекция, например,
E
x
(
z,t
). Вследствие поперечности электромагнитных волну вектора
B

отлична от нуля только одна проекция на ось у, те. Мгновенный снимок такой волны приведен на рис. 1 в разделе
1
. Такую волну называют линейной или плоско поляризованной. Плоскость, в которой лежит вектор напряженности электрического поля
E

и волновой вектор
k

, называют плоскостью поляризации. При распространении плоской гармонической волны в вакууме вектор
E

может иметь любое направление в плоскости х,у, а обе его компоненты
Е
х и
Е
у отличны от нуля. Электрическое поле волны
)
,
(
t
z
E

можно рассматривать как суперпозицию двух волн одинаковой частоты с ортогональными направлениями поляризации
,
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
)
(
)
(
0 2
1
kz
t
i
i
kz
t
i
y
y
kz
t
i
i
kz
t
i
x
x
e
be
e
E
t
z
E
e
ae
e
E
t
z
E


















(1) Здесь аи действительные части комплексных амплитуд
Е
0х и
Е
0у
, аи их фазы. Уравнение траектории, которую описывает конец вектора
E

в плоскости
z
=
const
, имеет вид

,
sin cos
2 2
2 2
2





b
E
ab
E
E
a
E
y
y
x
x
(2) где
1 2





- разность фаз слагаемых волн. Выражение (2) представляет уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник со сторонами аи, параллельными осям хи у (рис. 1). Ориентация эллипса и его эксцентриситет определяются отношением
a/b
и значением Рис. 1. Траектория, описываемая концом вектора в плоскости z = const Аналогично вектору
E

, конец вектора
B

описывает эллипс в плоскости
z
= const. Вышеизложенное представляет наиболее общий случай, а волна
)
,
(
t
z
E

называется эллиптически поляризованной. Рассмотрим частные случаи для
a = b
и различных

. Виды поляризации можно представить схематически (рис. 2).




 

 Рис. 2. Траектории, описываемые концом вектора
E

для a = b и различных Как видно из рис. 2, при разности фаз




0
наблюдается правая поляризация, при которой
)
,
( t
z
E
y
обгоняет
)
,
( t
z
E
x
. В реальной форме это запишется
)
cos(
)
,
(
)
cos(
)
,
(
1 1










t
a
t
z
E
t
a
t
z
E
y
x
(3) Для правой системы координат вектор
E

вращается почасовой стрелке, если смотреть навстречу бегущей волне, при
i
E
E
x
y

0 0
/
волна будет правой круговой поляризации. Разности фаз



2


соответствует левая поляризация, в этом случае
)
,
( t
z
E
y
отстает по фазе от
)
,
( t
z
E
x
:
,
)
cos(
)
,
(
)
cos(
)
,
(
1 1










t
a
t
z
E
t
a
t
z
E
y
x
(4) Вектор
E

в фиксированной плоскости вращается против часовой стрелки. Для левой круговой поляризации
i
E
E
x
y


0 0
/
. При одинаковых или отличающихся на

n
, где
n
= 1, 2, 3, …, фазах
1

и
2

комплексных
ó
õ
2à
2b

амплитуд
x
E
0
и
y
E
0
волна будет линейно поляризованной. Отношение
x
y
E
E
0 0
/
выражается вещественным числом и определяет угол

между направлением поляризации и осью
x
как
x
y
E
E
tg
0 0
/


(рис. 2). Из рассмотренного следует, что волну с произвольной поляризацией можно разложить либо на сумму двух линейно поляризованных волн с ортогональными направлениями поляризации, либо на сумму двух поляризованных по кругу волн с правой и левой поляризациями. Свет, испускаемый обычными источниками, не поляризован – это естественный свет. В нем колебания вектора
E

в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения света, не имеют преимущественной пространственной ориентации. Для получения поляризованных волн используются специальные устройства, например, поляроиды. Они представляют собой полимерную пленку с внедренными игольчатыми микрокристаллами удлиненной формы, которые хорошо ориентируются при механическом растяжении пленки. Чаще всего используется герапатид (соль йода и хинина. Эти кристаллы сильно поглощают свет, когда колебания происходят вдоль оси иглы и почти не поглощают его, когда колебания совершаются в перпендикулярном направлении. Направление, перпендикулярное оси ориентации кристаллов, называют осью пропускания поляроида, а соответствующую плоскость – плоскостью пропускания. Естественный свет можно представить состоящим из двух компонент с взаимно перпендикулярными направлениями колебания вектора
E

, поэтому интенсивность прошедшего через поляроид света уменьшается примерно в два раза. Поляроид можно использовать и для анализа характера поляризации света, в этом случае его называют анализатором. Если световая волна, входящая в анализатор, линейно поляризована с амплитудой
0
E

, то интенсивность
I
света, выходящего из анализатора, можно определить, используя рис. 3. Пусть П – ось (плоскость) пропускания анализатора, а φ – угол между Пи плоскостью поляризации падающего света. Разложим
0
E

на вектор
||
E

, параллельный оси пропускания, и вектор, перпендикулярный к ней. Составляющая

E

задерживается поляроидом и через него пройдет только
||
E

, величина этого вектора равна

cos
0
E
E

. Учитывая, что
2 0
0

E
I
, интенсивность света на выходе из поляроида определяется cos
2 0

I
I

(5) Для учета поглощения света веществом поляроида следует ввести еще коэффициент прозрачности
K
. Получим cos
2 0

KI
I

(6) Соотношения (5) и (6) выражают закон Малюса.
E
0
П
E
E

Рис.3

Для характеристики частично поляризованного света, который представляет, например, смесь естественного
I
0
с линейно поляризованным п, используется понятие степень поляризации Р min max min max
I
I
I
I
P



(7) При вращении анализатора вокруг оси светового пучка интенсивность света будет максимальной при совпадении плоскости пропускания анализатора с плоскостью поляризации света пи определится как
2 1
ï
0
max
I
I
I


(8) Если эти плоскости взаимно перпендикулярны, то интенсивность прошедшего через анализатор света будет минимальной и равной
2 1
0
min
I
I

(9) Используя выражения (8) и (9), степень поляризации можно записать через отношение интенсивностей естественного и поляризованного света
/
1 1
2
/
2
/
2
/
2
/
п
0
п
0
п
0
п
0 п (10)
2.2. Основные типы задачи решений
1-й тип Представление волн одного типа поляризации как результат сложения или разложения волн другого типа поляризации. Метод решения Записать уравнения волн в комплексной форме по проекциям на оси координат. Проанализировать полученные соотношения на основе принципа суперпозиции. й тип Определение характера поляризации плоской волны через уравнения ее проекций на оси координат. Метод решения Использовать уравнения (3), (4) ирис. й тип Вычисление интенсивности света, прошедшего через систему поляризаторов при известных углах между плоскостями пропускания. Обратная задача. Метод решения Воспользоваться законом Малюса (5), (6). й тип Нахождение степени поляризации частично поляризованного света. Вычисление отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющей. Метод решения Использовать определение понятия степень поляризации
(7), (10) и закон Малюса.

Примеры. Покажите, что линейно поляризованную волну с произвольным направлением поляризации можно представить как суперпозицию двух распространяющихся в том же направлении волн правой и левой круговой поляризации. Как связаны амплитуды этих волн с амплитудой исходной волны?
Решение
. Для такого представления линейно поляризованной волны запишем уравнения волн круговой поляризации, бегущих в направлении оси
z
, в проекциях на оси координат. Волна правой круговой поляризации
,
)
/
(
)
0
;
;
(
)
,
(
1 1
)
(
0
)
(
0 волна левой круговой поляризации
,
)
/
(
)
0
;
;
(
)
,
(
2 2
)
(
0
)
(
0 результирующая волна
0 Полученное уравнение описывает линейно поляризованную волну с амплитудой Е, бегущую вдоль оси
z
. Следует заметить, что такое разложение используется при анализе явления естественного вращения плоскости поляризации.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

2.2.2. Какой характер поляризации имеет плоская электромагнитная волна, проекции вектора
E

которой на оси хи у, перпендикулярные к направлению ее распространения, определяются следующими уравнениями а)
),
sin(
),
cos(
0 б)
),
4
cos(
),
cos(
0 в)
)
cos(
),
cos(
0 Решение. Представим
Е
у
в пункте (а) через функцию косинуса и запишем
).
2
cos(
),
cos(
0 Из анализа заданных уравнений видно, что все три волны распространяются вдоль оси
z
, имеют одинаковые амплитуды Е и частоты ω. Отличие между ними в том, что разности фаз между компонентами
Е
у
и
Е
х
неодинакова Используя рис. 2, легко сделать вывод, что (а) соответствует круговой левой поляризации, (б) – эллиптической правой, большая ось эллипса ориентирована вдоль прямой ух, (в) – линейной поляризации, плоскость поляризации лежит во втором и четвертом квадрантах.
2.2.3. При прохождении естественного света через два одинаковых, расположенных последовательно, поляроида интенсивность света падает до τ
2
= 8%. Найти угол φ между осями пропускания поляроидов, если каждый из них в отдельности пропускает τ
1
= 40% светового потока

Решение Так как отдельный поляроид пропускает τ
1
< 0,5 светового потока, то это означает, что он частично поглощает компоненту света, параллельную оси пропускания. Этот факт можно учесть, используя коэффициент прозрачности Рассмотрим изменение интенсивности света при последовательном прохождении света через первый и второй поляроиды, характеризующиеся одинаковым
k
(рис. 3). Рис. 3. Схема прохождения естественного света через два одинаковых поляроида В схеме используется закон Малюса (6), интенсивность естественного света обозначена
I
0
, Пи П – оси пропускания поляроидов. Решая совместно приведенные уравнения, определяем
60
;
2 1
16
,
0 2
08
,
0
cos
;
2
cos
2 1
2











2.2.4. Естественный свет падает на систему из трех последовательно расположенных одинаковых поляроидов, причем плоскость пропускания среднего поляроида составляет угол φ = 60
 с плоскостями пропускания двух других. Каждый поляроид обладает поглощением таким, что при падении на него линейно поляризованного света максимальный коэффициент пропускания k = 0,81. Во сколько раз уменьшится интенсивность света после прохождения этой системы?
Решение.
В основе решения задачи лежит закон Малюса (6) с учетом поглощения света. Представим схему последовательного прохождения света через три поляроида (рис. 4).

П
1
П
1
П
2
I
=
2
3
4

cos

П
1
П
2
П
3
k
2 k
2

cos
2
2 Рис. Уменьшение интенсивности света определится отношением интенсивностей падающего и прошедшего световых пучков
60 3
)
81
,
0
(
2 2
,
cos
2 4
4 Следует заметить, если в условии задачи не указано поглощение света, то можно полагать
k
= 1.
2.2.5. На пути частично линейно поляризованного света поместили поляризатор. При повороте поляризатора на угол φ = 60
 из положения, соответствующего

П
1
П
2
П
1
k
2
1
=

1

1

cos
2
=

2
k
I
0
I
0
I
0
I
0
I
0

максимуму пропускания, интенсивность прошедшего света уменьшилась в τ = 3,0 раза. Найти степень поляризации падающего света.
Решение.
Определение степени поляризации выражением (10)
Ï
0
/
1 сводит решение задачи к нахождению отношения интенсивностей естественной и поляризованной составляющих в световом пучке. Опишем первый и второй случаи прохождения света через поляризатор по закону Малюса (5):
I
0
/2 + П – интенсивность в максимуме пропускания
I
0
/2 + П – интенсивность после поворота поляризатора на угол φ. Согласно условию задачи составим уравнение


)
cos
2
/
(
2
/
2
П
0
П
0
I
I
I
I



, найдем и степень поляризации
8
,
0 120
cos
3 1
1 3
;
2
cos
1 1









P
P



2.3. Задачи для самостоятельного решения Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластинками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал бы отсвета фар встречных машин Интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, уменьшилась враз. Пренебрегая поглощением света, определить угол между плоскостями пропускания поляризаторов. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, плоскости пропускания которых образуют угол в 60
, если каждый поляризатор как поглощает, таки отражает 5% падающего света. Определить, во сколько раз ослабится интенсивность естественного света, прошедшего через два поляризатора, расположенных так, что угол между их осями пропускания φ = 60
, а в каждом из поляризаторов теряется 8% падающего на него света. Определить степень поляризации частично поляризованного света, если амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в три раза больше амплитуды, соответствующей его минимальной интенсивности. Степень поляризации частично поляризованного света составляет 75%. Определить отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.

Определить степень поляризации света, который представляет собой смесь естественного света с плоско поляризованным, если интенсивность поляризованной составляющей в пять раз больше интенсивности естественной. Частично линейно поляризованный свет рассматривается через поляроид. При его повороте на 60
 от положения, соответствующего максимальной интенсивности, интенсивность светового пучка уменьшилась в два раза. Найти степень поляризации пучка и отношение интенсивностей естественного и линейно поляризованного света. Определить, во сколько раз изменится интенсивность частично поляризованного света, рассматриваемого через поляроид, при повороте поляроида на 60
 по отношению к положению, соответствующему максимальной интенсивности. Степень поляризации света Р = 0,5. Один поляроид пропускает 30% света, если на него падает естественный свет. После прохождения света через два таких поляроида интенсивность падает до 9%. Найти угол φ между осями пропускания поляроидов
2.3.11.
Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Найдено положение поляроида, соответствующее максимальной интенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого положения на угол φ = 30
 интенсивность света уменьшилась на τ =
20%. Найти отношение интенсивности света к, поляризованного по кругу, к интенсивности линейно поляризованного
I
п
2.3.12.
Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Найдено положение поляроида, при котором интенсивность прошедшего света максимальна. При повороте поляроида от этого положения на некоторый угол вокруг оси пучка интенсивность прошедшего света уменьшилась в
n
= 2 раза по сравнению с максимальной и во столько же раз увеличилась по сравнению с минимальной. Найти отношение к света, поляризованного по кругу, к интенсивности света п
– линейно поляризованного. Для сравнения яркостей двух поверхностей, освещаемых неполяризованным светом, одну из них рассматривают непосредственно, а другую – через два поляроида. Каково отношение этих яркостей, если освещенность обеих поверхностей кажется одинаковой при угле между поляроидами φ = 60
? Считать, что потери света в каждом поляроиде на отражение и поглощение составляют τ = 10% отпадающего света.

3. ФОТОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ВЕЛИЧИНЫ
3.1. Теоретический материал Фотометрией называют раздел оптики, занимающийся измерением интенсивности излучения, те. совокупностью теоретических и экспериментальных вопросов, связанных с количественными сравнениями видимых и невидимых излучений, независимо от их положения в спектре. Физические приборы и человеческий глаз в оптическом диапазоне регистрируют средние значения измеряемых величин по большому числу периодов колебаний. Среднюю мощность энергии, переносимой электромагнитными волнами через площадку, нормальную к направлению их распространения, называют потоком лучистой энергии
Ф
Световое ощущение, вызываемое в человеческом глазе, зависит не только от энергии, но и от длины световой волны. Максимальной чувствительностью глаз обладает к зеленому свету (
 = 0,555 мкм. К границам видимого диапазона чувствительность уменьшается почти до нуля. Восприятие глазом излучения различных длин волн характеризуется кривой относительной спектральной чувствительности (рис. 1). Рис. 1. Кривая относительной спектральной чувствительности видности) глаза Она построена для среднего нормального глаза при дневном освещении и утверждена Международной осветительной комиссией. Область, доступная зрительному восприятию глаза, не обрывается резко на
 = 0,4 мкм и
 = 0,7 мкм. При  = 0,4 мкм V() – видность в 2.5 тысячи раза при  = 0,76 мкм – в 20 тысяч раз меньше, чем в максимуме, где V(
) принята за единицу. В условиях темновой адаптации глаз может видеть в очень слабой степени интенсивные инфракрасные лучи с длинами волн до 0,95 мкм, а ультрафиолетовые – до 0,30 мкм. Кроме того, для каждого человека характерно индивидуальное восприятие света. При сумеречном зрении кривая видности сохраняет общий видно максимум смещается в сторону коротких длин волн

max
0,51 мкм.
0,40 0,70 0,2 0,4 0,6 0,8
V(
)

ìêì
1,0

Исторически вначале был развит визуальный метод измерения энергии излучения, где приемником служил глаза затем – инструментальный. В связи с этим в фотометрии сложилось два подхода к оценке параметров излучения первый – фотометрический (световой, второй – энергетический. Энергетические величины именуются также, как и световые, нос добавлением прилагательного энергетические (за исключением потока. Поток лучистой энергии, измеренный в ваттах, можно преобразовать в световой поток, измеренный в люменах, через переводные множители А механический эквивалент света или К) – световая эффективность. Для максимальной чувствительности глаза при
 = 0,555 мкм эти множители равны
60
,
1

A
мВт/лм,
(1)
625

K
лм/Вт
(2) Для любой длины волны видимого спектра такое преобразование можно записать как
,
)
(
э
Ф
V
A
Ф


(3) здесь
Ф
э
– поток лучистой энергии, Ф – световой поток, воспринимаемый глазом. Основной фотометрической величиной является сила света, которая характеризует точечный источник света и определяется отношением светового потока к элементарному телесному углу Ф) Единица силы света – кандела – определяется с помощью светового эталона в виде абсолютно черного тела. Кандела – это сила света, излучаемого в направлении нормали с 1/60 см излучающей поверхности светового эталона при температуре затвердевания платины (К, находящейся под давлением 10325 Па. Фотометрические величины, соотношения между ними и единицы измерения удобно свести в таблицу. В табл. 1 в скобках указано дополнение, которое используется при определении энергетических величин. Если сила света, характеризующая элемент
dS
поверхности протяженного источника, пропорциональна видимой поданному направлению площади этого элемента (
dS

cos
), то источник удовлетворяет закону Ламберта. Яркость ламбертова источника одинакова по всем направлениям. Идеальным косинусным излучателем является абсолютно черное тело. Излучение Солнца близко к излучению ламбертова источника, поэтому оно выглядит как диск почти равномерной яркости. Для несамосветящихся поверхностей закону Ламберта удовлетворяют мутные среды или матовые поверхности.

Таблица Фотометрические величины
№ п/п Физическая величина Основные уравнения Единицы измерения Энергетические Световые
1 Сила света излучения) Для точечного источника Ф, Для изотропного

4
Ф
I

Вт/ср Кандела
(кд)
2 Световой поток (поток излучения)






 





2 0 0
sin
)
,
(
d
d
I
Id
Ф



S
E
с
S
S
d
S
Ф
2 0
0 Вт Люмен
(лм)
3 Освещенность облученность)
dS
dФ
E
пад

Для точечного источника
2
/
cos
r
I
E


Вт/м
2
Люкс
(лк)
4 Светимость Для протяженных источников
dS
dФ
M
исп

Вт/м
2
Люмен нам 2(лмм2)
5 Яркость



cos cos
)
(
dS
dI
dS
d
dФ
L






d
dФ
dI
сила света площадки dS
Вт/(м
2
ср) Кандела нам 2(кдм2) Для удобства анализа решения задач полезно выписать следующие выражения


,
cos
)
(
)
(
dS
L
I



(5) Ф)



cos
)
(
d
L
M


(7) Для источника Ламберта L = const и из (7) можно получить связь между светимостью и яркостью
n

dS
d


n







2
/
0 2
0
sin cos







L
d
d
L
M
(8) Для тел, светящихся отраженным светом, светимость можно выразить через освещенность
,
пад исп
E
dS
dФ
dS
dФ
M





(9) здесь
 – коэффициент отражения поверхности. Найдем соотношение между освещенностью Е, создаваемой протяженным источником, и его яркостью L(
). Введем обозначения dS – бесконечно малая площадка источника,
S
d 
– элемент освещаемой площадки,
r
– расстояние между ними,

и

– углы, образованные нормалями к площадками прямой, соединяющей их (рис. 2).
dS
И
П
dS'
r

'
d
d



'
Рис. 2. Схема расположения площадки источника И и освещаемой площадки П Световой поток, посылаемый площадкой
dS
внутрь телесного угла
,
cos
2
r
S
d
d





определится выражением
2
cos Фили Ф) где
2
cos
r
dS
d



– телесный угол, под которым из освещаемой площадки
dS

видна излучающая площадка
dS
. Поделив (10) на
dS

, найдем освещенность
dE
, создаваемую элементарным потоком Ф. Полная освещенность Е определится выражением





,
cos
)
(
d
L
E


(11) здесь интегрирование проводится по углу

, под которым виден весь источник И со стороны освещаемой площадки П (рис. 2).
3.2. Основные типы задачи решений й тип Нахождение потока лучистой энергии, соответствующего световому потоку. Обратная задача. Метод решения Воспользоваться кривой относительной спектральной чувствительности глаза (рис. 1) и выражением (3).

й тип Вычисление освещенности, создаваемой точечным источником. Определение оптимальных условий взаимного расположения источника и освещаемой поверхности. Метод решения На основе формулы (п табл. 1) записывается выражение для освещенности, далее функция исследуется на экстремум. й тип Получение закона излучения для данного источника (
I
(

),
L
(

)), если известна освещенность, создаваемая им, или светимость поверхности. Обратная задача. Метод решения Используются выражения (5-7) с учетом конкретных условий. й тип Расчет освещенности, создаваемой протяженным источником, если известна его яркость. Обратная задача. Метод решения Источник разбивается на множество точечных источников, оценивается вклад в освещенность элементарного источника, а затем проводится интегрирование по всей поверхности. Можно воспользоваться формулой (11). й тип Вычисление освещенности изображения светящегося объекта, создаваемого оптической системой. Метод решения При рассматривании изображения глазом задача сводится к сравниванию освещенности сетчатки невооруженного глаза и глаза, вооруженного оптическим прибором. Яркость изображения протяженного источника, созданного оптической системой, не может превысить яркость источника. При рассматривании изображения на белом экране его яркость будет зависеть от диаметра объектива системы. Примеры. Точечный изотропный источник силой света в 1000 кд излучает свет в желтой области спектра (
 = 589 нм. Найти световой потоки амплитуду напряженности электрического поляна расстоянии 5 мот источника.
Решение
. Для изотропного источника световой поток определяется соотношением

4

 Ф (табл. 1). Подставляя числовые значения, получим
10 6
,
12 4
10 3
3





Ф
лм. Амплитудное значение напряженности электрического поля можно найти из величины среднего значения вектора Пойнтинга
2 0
2 1
E
c
S
0


(17) раздела

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10