Добавлен: 12.12.2023
Просмотров: 895
Скачиваний: 29
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Министерство транспорта Российской ФедерацииФедеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образованияРОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)Институт транспортной техники и систем управленияКафедра «Электропоезда и локомотивы»МатематикаКурсовая работа на тему:«Линии и поверхности второго порядка»Выполнил:ст.гр. ТПЭ-141Калядин А.А.Проверил:доцентГиоргадзе М.Г.Москва 2022
Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Так как на основании равенства a b, то 2а ‑ длина большой оси симметрии эллипса, 2b – малой оси. Следовательно, числа а и b являются длинами соответственно большой и малой полуосей эллипса.Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем: .Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси. В случае окружности b=a и ε=0.Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид . Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравненийПолагая = m; = n, приходим к системерешив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид 3 ГиперболаГиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними — через 2с.
Рисунок 2 - ГиперболаУравнение , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид: х2 – у2 = а2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим: .Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. (в направлении оси, соединяющей вершины). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.Пример 2. Дано уравнение гиперболы 3х2 – 4у2 = 12. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.Решение: Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду: или откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось b = √3. Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения у = , фокусы – координаты (-с; 0) и (с; 0) эксцентриситет , а с = = , то для данной гиперболы получаем: координаты фокусов (-√7; 0) и (√7; 0);Эксцентриситет
Уравнения асимптот у =
Множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы величина постоянная, равная ε, это эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.
1 Общее уравнение линии второго порядка
Важной задачей аналитической геометрии является исследование общего уравнения линии второго порядка и приведение его к простейшим (каноническим) формам.Определение: Кривой второго порядка называется множество точек М (х; у) на плоскости ХОУ, координаты которых удовлетворяют следующему общему уравнению кривой второго порядка:Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, (1)где коэффициенты А, 2В, С, 2D, 2E и F – любые числа и, кроме того, числа А, В и С не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 + С2 0.2 Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F1 и F2.Рисунок 1 - Эллипс - это уравнение называется каноническим уравнением эллипса, где а и b - длины большой и малой полуосей эллипса. При a = b фокусы F1 и F2 совпадают, и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса.Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Так как на основании равенства a b, то 2а ‑ длина большой оси симметрии эллипса, 2b – малой оси. Следовательно, числа а и b являются длинами соответственно большой и малой полуосей эллипса.Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой ε, получаем: .Эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1— ε2, тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут вдоль большей оси. В случае окружности b=a и ε=0.Эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки М1 (2; 3) и М2 (1; ).Решение: Пусть искомое уравнение эллипса имеет вид . Координаты данных точек удовлетворяют этому уравнению. Подставив вместо х и у сначала координаты точки М1, а затем координаты точки М2, получим систему уравненийПолагая = m; = n, приходим к системерешив которую, найдем m = , n = , откуда а2 = 16, b2 = 12. Следовательно, искомое уравнение эллипса имеет вид 3 ГиперболаГиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению; кроме того, требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через F1 и F2, а расстояние между ними — через 2с.
Рисунок 2 - ГиперболаУравнение , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) – центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (а = b) называется равносторонней, и ее каноническое уравнение имеет вид: х2 – у2 = а2. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами; обозначив эксцентриситет буквой ε, получим: .Эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы. (в направлении оси, соединяющей вершины). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник.Пример 2. Дано уравнение гиперболы 3х2 – 4у2 = 12. Найти ее действительную и мнимую полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения ее асимптот.Решение: Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду: или откуда находим, что действительная полуось а = 2, а мнимая полуось b = √3. Так как асимптоты гиперболы имеют уравнения у = , фокусы – координаты (-с; 0) и (с; 0) эксцентриситет , а с = = , то для данной гиперболы получаем: координаты фокусов (-√7; 0) и (√7; 0);Эксцентриситет
Уравнения асимптот у =
4 Директрисы эллипса и гиперболы
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами эллипса. (а – большая полуось, ε – эксцентриситет эллипса).Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид: и .Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой. Так как для эллипса ε<1, то Рисунок 3 – Директриса эллипсаДве прямые, перпендикулярные к той оси гиперболы, которая ее пересекает, и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него, называются директрисами гиперболы.Уравнения директрис в выбранной системе координат имеют вид и .Первую из них мы условимся называть левой, вторую — правой.Так как для гиперболы ε >1, то Рисунок 4 – Директриса гиперболыТеорема 1. Если r – расстояние от произвольной точки М эллипса до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.Теорема 2. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.Множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы величина постоянная, равная ε, это эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.