Файл: П7.doc

Так например, однопролетная балка, изображенная на рис. 2.14, б, трижды статически неопределима. А балка, изображен­ная на рис. 2.14, в, один раз статически неопределима. Для удоб­ства, результаты расчетов эпюры моментов однопролетных стати­чески неопределимых элементах, с различными граничными усло­виями их закрепления, от действия наиболее часто встречающихся силовых и температурных нагружений, обобщены в таблице 2.4 (пп. 1,2,5,6,7,10).

При неравномерном нагреве по высоте поперечного сечения балки и при равномерном нагреве по ее длине, изгибающие мо­менты и поперечные силы определяются согласно общеизвестных выражений:

,

где a - температурный коэффициент линейного расширения; h -высота поперечного сечения; х - независимая переменная 0 £ x £ l; l - длина элемента.

В заключении заметим, что применяя метод перемещений, сле­дует твердо придерживается какого-либо определенного правила знаков. Принять, что углы поворота опорного сечения, а также реактивный момент, действующий на балку со стороны заделки, положительны, если в результате оси поворачиваются по часовой стрелке. Линейное смещение узла принято положительным, если оно совпадает по направлению с положительной реакцией, вызыва­ющей растяжение опорного сечения стержня.

2.8. Пример расчета плоской рамы методом перемещений (задача 8)

Рассчитаем плоскую раму (рис. 2.15, а) методом перемещений и выполним при этом все необходимые проверки. Последователь­ность расчета следующая.

1. Определение степени кинематической

неопределимости

Степень кинематической неопределимости определяем по формуле:

n = n_y + n_л ,

где n_у - число неизвестных углов поворота, равное всегда коли­честву жестких узлов рамы, исключая опорные; n_л - число незави­симых линейных перемещений узлов рамы, равное степени геомет­рической изменяемости шарнирной схемы рамы, полученной из заданной путем введения во все жесткие узлы, включая опорные, полных шарниров.

В заданной раме n_у = 1. Для определения n_л вводим во все жесткие узлы, включая опорные, полные шарниры и находим сте­пень геометрической изменяемости полученной шарнирной схемы рамы (рис. 2.15, б) по формуле:

n_л = W = 2 У - C - C_оп ,

где У = 5 - число узлов в шарнирной схеме рамы, включая и опор­ные; С = 4 - число стержней в шарнирной схеме рамы; С_оп = 5 -число опорных связей с землей шарнирной схемы рамы.

n_л = 2×5 - 4 - 5 = 1.

Полученное значение говорит о том, что шарнирная схема один раз геометрически изменяема. Действительно, под действием силы P узлы A, B и D могут переместиться влево, так как левый конец ригеля AB этой системы опирается на шарнирно-подвижную опору А, не препятствующую этому перемещению.

Таким образом, заданная рама имеет одно угловое и одно ли­нейное неизвестное перемещение, а общее количество неизвестных будет равно двум:

n = n_y + n_л = 1 + 1 = 2.

Заданная рама дважды кинематически неопределима.

2. Получение основной и эквивалентной систем метода перемещений

Основную систему метода перемещений получаем путем поста­новки дополнительной заделки в узле В, препятствующей неизвест­ному угловому перемещению, и дополнительного горизонтального опорного стержня в опоре А, препятствующего неизвестному ли­нейному перемещению (рис. 2.15, в).

Загрузив основную систему внешней нагрузкой и неизвестными перемещениями Z₁ и Z₂ , равными по величине действительным перемещениям заданной системы, получим эквивалентную систе­му, деформирующуюся тождественно заданной (рис. 2.15, г).

3. Составление канонических уравнений метода перемещений

Как было указано выше, суммарная реакция в каждой дополни­тельно введенной связи от всех действующих в эквивалентной системе факторов равна нулю, так как эквивалентная система пол­ностью совпадает с заданной (в которой эти связи отсутствуют) и реакций в них быть не может.

В развернутом виде канонические уравнения имеют вид:

(2.29)

4. Вычисление коэффициентов канонических уравнений и проверка правильности их вычисления

4.1. Определение коэффициентов канонических уравнений

Для определения коэффициентов необходимо построить еди­ничные и грузовые эпюры изгибающих моментов в основной сис­теме метода перемещений. Для их построения используются таб­лицы эпюр изгибающих моментов и реакций статически неопре­делимых балок (см. табл. 2.4).

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, постро­енные в основной системе для рассматриваемого примера, показа­ны на рис. 2.16, а, в, д.

Для определения реактивного момента r₁₁, возникающего в до­полнительно поставленной заделке узла В от поворота этого узла на угол Z₁ = 1, вырезаем узел В из эпюры M₁ (рис. 2.16, б) и решаем уравнение равновесия SM_уз = 0:

r₁₁ - 1.5 EJ_с - 1.5 EJ_с - EJ_с = 0, откуда r₁₁ = 4 EJ_с .

Реактивный момент в дополнительно поставленной заделке уз­ла В от линейного смещения Z₂ = 1 узлов В и С определяем из ус­ловия равновесия SM_уз = 0 узла В, вырезанного из эпюры М₂  (рис. 2.16, г):

r₁₂ - 0.375 EJ_с = 0,    r₁₂ = 0.375 EJ_с .

Такая же по величине, согласно теореме о взаимности реакций, будет и реактивная сила r₂₁, возникающая в дополнительно постав­ленном горизонтальном стержне опоры А от поворота заделки уз­ла В на угол Z₁ = 1:

r₁₂ = r₂₁ = 0.375 EJ_с .

Реактивный момент R_1Pq , возникающий в заделке узла В от внешних нагрузок Р и q, найдем из уравнения равновесия SM_уз = 0 узла В, вырезанного из эпюры М_Pq (рис. 2.16, е):

R_1Pq - 40 + 10 = 0;     R_1Pq = 30 кН×м.

Реактивное усилие r₂₂, возникающее в горизонтальном опор­ном стержне опоры А от перемещения узлов В и С на величину Z₂ = 1, найдем проведя разрез I-I на эпюре M₂ (см. рис. 2.16, в) и определив действующие в местах сечения элементов горизон­тальные усилия (рис. 2.17,а) из уравнения равновесия SZ = 0:

-r₂₂ + 0.18×5 EJ_с + 0.0468×5 EJ_с = 0,    r₂₂ = 0.02344 EJ_с .

Проведя разрез II-II на эпюре M_Pq (рис. 2.16, д) и определив горизонтальные усилия в рассеченных элементах, из уравнения SZ = 0 найдем реактивное усилие R_2Pq , возникающее в дополни­тельно поставленном опорном стержне опоры А от действия внеш­ней нагрузки (рис. 2.17, б):

-R_2Pq + 10 -20 = 0;    R_2Pq  = -10 кН.

Определяя реактивные усилия, всегда следует иметь в виду, что они считаются положительными, если направления их действия совпадают с принятым направлением действия неизвестных пере­мещений Z₁ и Z₂.

4.2. Проверка правильности вычисления коэффициентов

Проверка правильности вычисления главных и побочных коэф­фициентов канонических уравнений метода перемещений выпол­няется аналогично проверке коэффициентов уравнений при рас­чете методом сил, то есть проверяется удовлетворение равенства Sr = r_ss; где Sr = r₁₁ + r₁₂ + r₂₁ + r₂₂ - сумма всех найденных еди­ничных коэффициентов; - интеграл, опреде­ляемый по правилу Верещагина, т.е. умножением суммарной еди­ничной эпюры M_s (M_s = M₁ + M₂) на себя.

Удовлетворение этого равенства свидетельствует о правильнос­ти вычисления главных и побочных коэффициентов.

Таким образом, для выполнения этой проверки, называемой универсальной, необходимо построить суммарную единичную эпю­ру изгибающих моментов в основной системе метода перемещений M_s = M₁ + M₂ . Эта эпюра обычно строится путем сложения еди­ничных эпюр M₁ и M₂.

Для данного примера она представлена на рис. 2.18, а.

Определив

видим, что равенство удовлетворяется. Таким образом, коэффици­енты вычислены верно.

4.3. Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов

Проверка правильности вычисления грузовых коэффициентов заключается в определении суммы всех найденных грузовых коэф­фициентов SR = R_1Pq + R_2Pq и величины , определяемой по правилу Верещагина, т.е. сопряжением суммар­ной единичной эпюрыM_s = M₁ + M₂  с эпюрой изгибающих мо­ментов , построенной в основной статически определимой си­стеме метода сил от действия только внешних нагрузокP и q. При правильном определении грузовых коэффициентов величины SR и R_sPq должны быть равны, т.е. SR = R_sPq .