Файл: П7.doc

Построив эпюру (рис. 2.18,б), определяем величины SR и R_sPq :

SR = R_1Pq + R_2Pq = 30 —10 = 20.

Сопрягая эпюру M_s с эпюрой по правилу Верещагина и взяв полученное выражение со знаком «минус», определяем:

Равенство SR = R_sPq свидетельствует об отсутствии ошибок при вычислении грузовых коэффициентов. Здесь же следует еще раз отметить, что при сопряжении эпюр всегда надо помнить, что эле­менты рамы имеют различные жесткости (J_р = 2 J_с). 

5. Решение системы канонических уравнений и проверка правильности вычисления неизвестных

Подставив найденные значения коэффициентов в канониче­ские уравнения, получим:

Решив эту систему уравнений, находим:

Проверку правильности решения системы уравнений произве­дем путем подстановки найденных значений Z₁ и Z₂ в оба уравне­ния. В результате оба уравнения должны обратиться в тождества. Это будет свидетельствовать о правильности решения системы ка­нонических уравнений: 

Оба уравнения обратились в тождества. Следовательно, система решена верно.

6. Построение окончательной эпюры изгибающих моментов Мок для заданной системы

Построение окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок для заданной системы производим на основании принципа незави­симости действия сил по формуле: 

М_ок = M₁ Z₁ + M₂ Z₂ + M_Pq ,

т.е. путем сложения «исправленных» единичных эпюр М₁, М₂ и грузовой эпюры М_Pq , построенных в основной системе метода перемещений. 

Значения ординат «исправленных» эпюр M Z₁ и M Z₂ получим путем умножения ординат единичных эпюр M₁ и M₂, соответст­венно, на значения Z₁ и Z₂, найденные в результате решения системы канонических уравнений метода перемещений, с учетом их знака. Исправленные эпюры M₁ Z₁ и M₂ Z₂, полученные таким образом, представлены на рис. 2.19, а и 2.19, б. 

Ординаты окончательной эпюры изгибающих моментов М_ок определяем по вышеуказанной формуле в табличной форме (см.  табл. 2.5), предварительно приняв для этого нумерацию характер­ных сечений рамы и правило знаков для ординат эпюр изгибающих моментов (рис. 2.18, в). В ригеле 0-2 эпюра изгибающих моментов изменяется по закону квадратной параболы, так как действует рав­номерно распределенная нагрузка. Поэтому в ригеле может иметь место экстремальное значение изгибающего момента. Для выясне­ния этого рассмотрим ригель 0-2, вырезанный из статически неоп­ределимой рамы, на который действуют равномерно распреде­ленная нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты в сечении 0 М₀ = = 0 и в сечении 2 М₂ = -19.71 кН×м (рис. 2.19, в). 

Таблица 2.5

Аналитическое выражение изменения изгибающего момента в зависимости от текущей абсциссы z для рассматриваемого элемен­та имеет вид: 

. (2.30)

Для нахождения положения сечения, в котором может возник­нуть экстремальное значение изгибающего момента, приравняем первую производную изгибающего момента нулю:

. (2.31)

Определив из уравнения равновесия SM₂ =0 величину опорной реакции Q₀ и решив (2.31), найдем z₀, т.е. абсциссу сечения, где возникает экстремальное значение момента:

Таким образом: z_ext = Q₀/q = 35.07/20 = 1.75 м.

Подставив найденное значение z₀ = 1.75 м в аналитическое вы­ражение изменения момента (2.30), определяем величину:

кН×м.

По найденным значениям ординат строим окончательную эпю­ру изгибающих моментов для заданной системы (рис. 2.19, г).

7. Проверка правильности построения окончательной эпюры изгибающих моментов Мок

Для того, чтобы убедиться в правильности построения эпюры М_oк , производим статическую и деформационную проверки.

Для статической проверки, как и в методе сил, вырезаем неза­крепленный жесткий узел В из эпюры М_oк , прикладываем действу­ющие в нем изгибающие моменты и проверяем удовлетворение уравнения равновесия SM_уз = 0 (рис. 2.19, д):

SM_уз = 0, 20.29 - 19.71 - 0.59 = 0, 20.29 - 20.3 = 0.

Следовательно, узел В находится в равновесии, что свидетель­ствует о правильности построения эпюры М_oк . Однако, как и в методе сил, уравнения равновесия жестких незакрепленных узлов системы иногда удовлетворяются и при неправильно построенных в основной системе единичных и грузовых эпюрах, а также непра­вильном вычислении величин неизвестных перемещений. Поэтому для полной гарантии правильности построения эпюры М_oк  сделаем деформационную проверку, физический смысл которой состоит в проверке отсутствия перемещений в сечениях заданной системы, в которых заведомо они отсутствуют. 

Проверим отсутствие перемещений по направлению опорного стержня опоры А заданной системы. Выбрав основную систему ме­тода сил и приложив единичную сосредоточенную силу Х = 1 в сечении А по направлению опорного стержня, строим единичную эпюру изгибающих моментов М_X=1 (рис. 2.19, е); после чего вычис­ляем интеграл Мора по правилу Верещагина. Сопрягая эту эпюру с эпюрой М_oк , получим: 

Вертикальное перемещение сечения А отсутствует, следователь­но, эпюра М_oк  построена верно.

8. Построение эпюры q по эпюре Мок

Эпюру Q для заданной системе по эпюре М_oк  строим, как и в методе сил, используя для определения ее ординат формулу (2.31). 

Учитывая принятое правило знаков при построении эпюры М_oк , обход рамы производим слева направо, начиная с опоры А и находясь все время лицом к оси каждого участка рамы. Последова­тельность обхода показана на рис. 2.18, в пунктиром со стрелками. 

Участок 0-2. На этом участке действует распределенная внешняя нагрузка q = 20 кН/м и опорные моменты М_пр = М₂ = -19.71 кН×м и М_лев = М₀ = 0:

, где 0 £ z £ l₁ = 4 м.

Откуда, при z = 0

кН,

a при z = 4

кН.

Участок 3-4. На этом участке нагрузка отсутствует, поэтому:

кН.

Участок 4^¢-5. Аналогично:

кН.

Участок 6-7. Аналогично:

кН.

Участок 8-9. На этом участке нагрузка также отсутствует, по­этому:

кН.

По найденным ординатам строим эпюру Q для заданной рамы (рис. 2.20, а).

9. Построение эпюры n для заданной рамы

Ординаты эпюры N определяем из уравнений равновесия Sz = 0 и Sy = 0 вырезанных из эпюры Q узлов рамы. К вырезан­ным узлам прикладываем действующие в них поперечные силы Q и искомые продольные силы N, составляем уравнения равновесия узлов и решив их, вычисляем ординаты эпюры N. При этом нор­мальные силы направляем от узла, предполагая, что все элементы рамы растянуты, а направление поперечных сил принимаем соглас­но следующему правилу: если поперечная сила положительная, то она должна вращать узел по ходу часовой стрелки, а если отрица­тельная - то против хода часовой стрелки. 

Узел D (рис. 2.20, а): 

Sz = -N_7-6 + 3.015 = 0;    N_7-6 = 3.015 кН (растяжение); 

Sy = N_8-9 + 5.0×2 = 0; N_8-9 = -5.072 кН (сжатие). 

Узел В: 

Sz = 3.015 - 3.014 - N_2-0 = 0; N_2-0 = 0; 

Sy = -5.072 - 44.93 - N_3-5 = 0; N_3-5 = 50.02 кН (сжатие).