Файл: П11-2.doc

Раздел 4. Устойчивость сооружений

4.1. Предмет и задачи устойчивости

Устойчивостью называется способность сооружений сохра­нять свое первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при действии внеш­них сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость поло­жения сооружения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются устойчивыми, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, сооружение отклоняется от исследуемо­го положения или равновесного состояния, однако после исчезно­вения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упруго-пластических систем).

Положение сооружения или форма равновесия в нагруженном состоянии считаются неустойчивыми, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесном сос­тоянии и после исчезновения возмущения сооружение не проявля­ет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее - до нового положения или новой формы равновесного состояния.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к дру­гому равновесному состоянию называется потерей устойчи­вости системы. Состояние перехода называется критиче­ским состоянием. При этом, величины внешних сил, действую­щие на сооружение называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различа­ют два вида потери устойчивости сооружения: потерю устой­чивости положения и потерю устойчивости, вызван­ной сменой формы равновесного состояния.

В качестве примера потери устойчивости положения соору­жения рассмотрим равновесное положение жесткой пластинки, изображенной на рис. 4.1, расположенной на двух опорах при действии собственного веса величиной G и силы P.

Учитывая, что левая подвижная опора способна развить реак­цию только вверх, т.е. представляет собой одностороннюю связь, следовательно, при условии состояние пластинки явля­ется устойчивым. В данном случае левая опорная реакция- вели­чина конечная и направлена вверх.

---

Рис. 4.1

С ростом силы P, при левая опорная реакция прини­мает нулевое значение, а равно­действующая силP и G пройдет через правый шарнир. Это при­знак того, что наступило крити­ческое состояние. Поэтому зна­чение силы P считается критиче­ским и обозначается P_кр .

Очевидно, что даже при незначительном росте величины силы P произойдет опрокидыва­ние пластины и она займет новое равновесное положение. То есть произойдет потеря устойчивости положения пластины.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанная со сменой формы деформированного состояния в строительной меха­нике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивос­ти первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято назы­вать первое предельное состояние системы по несущей способ­ности системы, т.е. состояние системы, когда при дальнейшем уве­личении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в опреде­лении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

---

4.2 Критерии определения устойчивости упругих систем

В теории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетиче­ский, динамический и статический.

В основе энергетического критерия заложен известный прин­цип Лагранжа-Дирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потен­циальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия - то максимумом; а если в безразличном, т.е. кри­тическом - то потенциальная энергия является постоянной вели­чиной.

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциаль­ной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU = dV - dT,

где dV - вариация потенциальной энергии внутренних сил; dT -вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энер­гетического критерия, определяется из условия

dU = 0   или   dV = dT.

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предположения, что колеблющаяся система около свое­го положения равновесия, не способна возвращаться к первона­чальному положению. Данное предположение равносильно утверж­дению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стремится к нулю, т.е. w_i = 0 (i = 1, 2, 3, ...). Здесь w_i - собственная частота рассматриваемой системы при i-ой форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому крите­рию составляется уравнение собственных колебаний заданной си­стемы, далее определяется выражение частот собственных колеба­ний и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так например, для сжатого осевой продольной силой P стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, часто­та основного тона поперечных колебаний выражается формулой

,

где w₀ - собственная частота поперечных колебаний при отсутст­вии сжимающей силы, т.е. при P = 0.

Очевидно, что при Р ® P_кр , w ® 0 и период колебаний Т = = 2 p/w ® Ґ, т.е. стержень, колеблющийся около своего положения равновесия, не способен возвращаться к первоначальному состоя­нию.

---

Суть статического критерия заключается в следующем. Иссле­дуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпада­ющая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой рав­новесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состоя­ния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных усло­вий по исходному состоянию, является критическим.

В дальнейшем, здесь рассматривается решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практиче­ских расчетов упругих консервативных систем.

4.3. Задача Эйлера

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня, постоянного поперечного сечения, расположенной на двух шар­нирно опертых концах, при действии продольной силы перемен­ной величины Р  (рис. 4.2).Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине XVIII века.

Рис. 4.2

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р, очевидно, что в попереч­ных сечениях стержня во­зникают только продольно сжимающие силы и стер­жень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая дан­ную форму деформирован­ного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р = P_кр  стержень изогнется, т.е. в некотором новом равновесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис. 4.2.

Обозначая величину прогибов стержня через y (z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат y z, значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения

М = -Р y.

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продоль­ными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

E J_x y^¢¢ = М = -Р y. (4.1)

Принимая обозначение

, (4.2)

---

уравнение (4.1) можно представить в следующем виде:

. (4.3)

Решение (4.3) имеет следующий вид:

. (4.4)

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий закрепления балки, т.е. y (0) = 0; y (l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С₂ = 0, а из второго

. (4.5)

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С₁ = = 0, либо же .

В первом случае получается, что С₁ = С₂ = 0 и перемещения согласно (4.4) тождественно равны нулю, т.е. y = 0. Это решение очевидно соответствует первоначальному равновесному сос­тоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. пред­полагая, что С₁ ¹ 0, из (4.5) следует, что . Откуда следует, чтоkl = np, где n = 1,2,3,... С учетом выражения (4.2), получим Наименьшая критическая силаполучается приn=1:

(4.6)

Эта сила носит название первой критической или эйлеровой силы. Решение (4.4) при С₁ ¹ 0 C₂ = 0 принимает вид .

связи. Рис. 4.3

Графики функции y (z) при различных значениях n, или так

называемые формы по­тери устойчивости стер­жня изображены на рис. 4.3.

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. Поэтому мы далее будем рассматривать решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.

---