Файл: Лекция 20.doc

получим:

(14.54)

Решение последнего уравнения запишем в общем виде:

. (14.55)

Произвольные постоянные C_i (i = 1,2,3,4) должны быть опреде­лены из граничных условий закрепления балки.

Предположим, что рассматриваемая балка закреплена в обоих концах шарнирно. Тогда на каждой опоре прогиб y и изгибающий момент обращаются в нуль, следовательно, учитывая решение (14.55), имеем:

.

Из первых двух условий вытекает, что C₂ = C₄ = 0. Из двух дру­гих получим:

Приравниваем нулю определитель этой системы:

,

откуда имеем .

Но так как, гиперболический синус обращается в нуль только при = 0, то остается= 0 или(i = 1,2,...), или соглас­но (14.53) выражение частоты собственных колебаний принимает вид:

. (14.56)

В зависимости от значения i = 1,2,... по формуле (14.56) опреде­ляется спектр частот собственных колебаний соответствующий соб­ственным формам, показанным на рис.14.13, б, в, г. Упругая линия балки, учитывая, что C₂ = C₃ = C₄ = 0, при i-ой форме колебаний имеет вид:

.

Окончательная формула по определению прогиба балки, соглас­но (14.52), записывается в виде:

,

здесь C₁- определяется из начальных условий задачи, в зависи­мости от способа возбуждения колебаний балки.

14.8. Определение основной частоты собственных колебаний консольной балки

Рис.14.14

Требуется определить основную частоту собственных колебаний консольной балки с постоянным поперечным сече­нием (рис.14.14).

Для определения функции Z в данном случае имеем следующие граничные условия:

откуда получим:

(14.57)

Подставляя выражение (14.55) в граничные условия (14.57), будем иметь:

;

;

.

Приравнивая нулю определитель этой системы, получим:

отсюда имеем .

Наименьший корень этого трансцендентного уравнения прини­мает значение: .

Учитывая соотношение (14.53), находим частоту основного (наи­меньшего) тона колебаний:

.

НАЗАДНА ОГЛАВЛЕНИЕДАЛЕЕ

23