Файл: Лекция 20.doc

(14.32)

где  - перемещение i-ого сечения от статической единичной силы, приложенной в k-ом сечении (i = 1,2; k = 1,2) по направле­нию соответствующей инерционной силы; ,- перемеще­ния сечений 1 и 2 от всех динамических нагрузок. При этом: 

(14.33)

где

(14.34)

С учетом выражений (14.33) и (14.34) и m₁ = m₂ = m уравнение (14.32) в стационарном режиме колебаний можно переписать в виде: 

(14.35)

где .

Решая систему уравнений (14.35) определяют амплитудные зна­чения инерционных нагрузок (способом Крамера): 

,    (i = 1,2), (14.36)

где приняты следующие обозначения:

.

Учитывая, что в данном случае P₁ = P₂, амплитуды динами­ческого прогиба и изгибающего момента в произвольном i-ом (i = 1,2,...) сечении могут быть определены по формулам: 

(14.37)

Уравнения движения (14.32) при свободных колебаниях рамы, т.е. при P₁ = P₂ = 0, принимают вид 

(14.38)

Относительно амплитуды перемещения последняя система уравнений преобразуется в виде:

---

(14.39)

где .

Здесь - частота собственных колебаний рамы.

Система алгебраических уравнений (14.39) относительно ампли­туды перемещения сосредоточенных масс имеет различные реше­ния. Очевидное решение свидетельствует об отсутст­вии движения системы и не подходит по смыслу поставленной задачи.

Система (14.39) может иметь решения, отличные от нулевого, лишь в том случае, когда ее определитель равен нулю, т.е. когда выполняется условие:

. (14.40)

Раскрыв определитель (14.40), получим квадратное уравнение относительно . После определения с учетом (14.39) вычисляются собственные частоты.

Первая частота называется частотой основного тона собст­венных колебаний. Каждой частоте соответствует определенная форма колебаний системы. Форму колебания можно изобразить графически. Для этого в уравнения (14.39) следует подставить зна­чение (i = 1, 2), причем:

. (14.41)

При этом одно из двух уравнений (14.39) становится лишним. Пренебрегая первым уравнением (14.39), из второго получим:

,   (i = 1,2). (14.42)

После чего, задавая значение y_ii (i = 1,2), можно вычислить в долях , а  - в долях и изобразить графический характер возможной формы колебаний первого и второго тона колебаний.

---

Формы колебаний должны быть ортогональны. Условие ортого­нальности собственных форм записывается в виде:

,   (r,k = 1,2;   r ¹ k). (14.43)

Определив собственные частоты  и и вычислив частоту вынужденных колебаний , необходимо сопоставитьс ближай­шей из  или . Во избежание наступления резонансных колеба­ний рекомендуется, чтобы отличалась от любой из частот , не менее чем на 30%. Если при решении задачи окажется, что это требование не выполняется, то следует изменить значение или . Этого можно достичь путем:

- изменения геометрических или физико-механических характеристик материалов элементов рамы;

- уменьшения или увеличения частоты вращения вибратора.

При этом во всех случаях напряжения в опасных сечениях ра­мы должны удовлетворять условиям прочности.

Переходим к численной реализации решения в соответствии с постановкой задачи.

1. Определение частот и периодов собственных колебаний рассматриваемой системы

Предварительно определим изгибную жесткость элементов заданной системы:

кН×м².

Заданная система один раз статически неопределима. Основная система метода сил представлена на рис.14.7, а. Эпюра моментов в основной системе от действия силы Х₁ = 1 показана на рис.14.7, б, а от единичных внешних сил - на рис.14.8, а, б.

---

Сначала рассчитываем раму на действие силы . Канони­ческое уравнение метода сил в данном случае записывается в виде:

. (14.44)

Рис.14.7

Рис.14.8

Коэффициенты инаходим перемножением эпюрипо формуле Мора.

Здесь определяется как результат перемножения эпюры(рис.14.7, б) самой на себя,как результат перемножения эпюры(рис.14.7, б) с(рис.14.8, а).

(14.45)

С учетом (14.45) из решения (14.44) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов в заданной системе от действия сил Р₁ =1 и Х₁ = 5/16 изображена на рис.14.9, a.

Рис.14.9

Рассчитываем раму на действие силы Р₂ = 1. Каноническое уравнение метода сил в данном случае принимает вид:

. (14.46)

Здесь определяется как результат перемножения эпюры моментов, изображенных на рис.14.7,б и 14.8, б, в соответствии с формулой Мора:

---

. (14.47)

С учетом значения из (14.45) и значенияиз (14.47) и из (14.46) получим:

.

Эпюра изгибающих моментов от действия сил Р₂ = 1 и Х₁ = = 7/4 в заданной системе изображена на рис.14.9, б.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюрысамой на себя, применяя формулы умножения двух эпюр моментов в виде двух трапеций на произвольном участке. Получим:

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора перемножением эпюрысамой на себя (рис.14.9,б):

м/кН.

Единичное перемещение определяется по формуле Мора в результате перемножения эпюри, изображенных соот­ветственно на рис.14.9,а, б:

м/кН.

Решив уравнение (14.40), получим:

,

откуда

.

Окончательно =166,75×10^-6 м/кН; =10,.35×10^-6 м/кН.

---