Файл: voprosy_po_matanu.docx

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Пусть задана числовая функция с неограниченной сверху областью определения, то есть иТогданаывается пределом функциипристремящемся к бесконечности, если

Пишут:

Аналогично пусть иЧислоназывается пределом функциипристремящемся к минус бесконечности, если

Пишут:

, если r нечётно, и , еслиr чётно.

2. Односторонние пределы .

Пусть переменная x стремится к a, оставаясь больше a, и при этом . Тогда число A называют правосторонним пределом (или пределом справа) функциии обозначают любым из символических выражений

Понятие левостороннего предела (или предела слева) вводится аналогичным образом. В этом случае при x → a со стороны меньших значений:

Для существования обычного (двустороннего) предела функции в точке a необходимо и достаточно равенство между собой односторонних пределов:

Например, в точке x = 3 односторонние пределы функции

отличаются друг от друга:

Поэтому в рассматриваемой точке предел функции не существует.3. Теоремы о пределах функции

Приведем без доказательства основные теоремы о пределах функций. Эти теоремы вполне аналогичны тем, которые мы рассматривали (также без доказательства) ранее при изучении пределов числовых последовательностей.

1. Предел константы равен самой этой константе:

с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k • f (х)] = k • f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] = f (х) ±g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] = f (х) •g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

4. Первый классический предел

 Первый замечательный предел:

5 второй класс предел .

Второй замечательный пределимеет вид:

или в другой записи

В случае второго

замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

6. Бесконечно малая функция

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестноститочки,, за исключением, быть может, самой точки. Функцияназывается бесконечно малой при, стремящемся к, если. Если— бесконечно малая в точке, то для любого положительного числа, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, справедливо неравенство. Неравенствадля всех, эквивалентные неравенствам,, означают, что для любогосуществует такое, что дляграфик функции расположен на плоскости в прямоугольнике. Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию. При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.

7.Сравнение бесконечно малых функций

Пусть и— две функции, бесконечно малые в точке. Если, то говорят, чтоболее высокого порядка малости, чеми обозначают. Если же, тоболее высокого порядка малости, чем; обозначают. Бесконечно малые функциииназываются бесконечно малыми одного порядка малости, если, обозначают. И, наконец, еслине существует, то бесконечно малые функцииинесравнимы.