Файл: voprosy_po_matanu.docx

Физическая интерпретацию теоремы Лагранжа. Пусть функция описывает смещение частицы из начального положения в зависимости от времени x ее движения по прямой. Тогда разностное отношение

представляет собой среднюю скорость движения частицы за промежуток времени , а производная –мгновенную скорость движения частицы в момент времени c. Существует такой момент времени, в который мгновенная скорость движения равна средней скорости.

Отметим, что формула (13) сохраняет свою справедливость и при b < a. Если применить теорему Лагранжа к промежутку и представить значение c в виде

где то формула (13) примет вид(14)

Равенство (14) дает точное значение для приращения функции при конечном значении приращения аргумента и называется формулой конечных приращений. Единственным недостатком этой замечательной формулы является присутствие в ней неопределенного числа θ. 20. Теорема Коши

21. Правила лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность

типа или.

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и, то ;

Если и, то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенностиможно свести к типуилис помощью алгебраических преобразований. А неопределенностисводятся к типус помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

22. Признаки монотонности функции

Функция монотонна повсюду, если она непрерывна, а её производная в существует в любой точке и не равна нулю, либо равна нулю повсюду. Что равносильно тому, что функция повсюду возрастает, убывает или является константой.

Пусть функция у = f(x) определена и дифференцируема в интервале ]а, Ь[.

Для того чтобы функция f(x) была неубывающей (невозраста-ющей) в интервале ]а, Ъ[, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0 (/'(*) < 0).

Для того чтобы функция f(x) была строго возрастающей (строго убывающей) в интервале ]а,Ь[, достаточно, чтобы во всех точках интервала ]а, Ь[ производная f'(x) > 0

23.Достаточные условия локального экстремума

1. Случай функции одной переменной. Заметим, что максимум или минимум дифференцируемой функции может находиться лишь в ее критической точке (необходимое условие экстремума).

Пусть х0 – критическая (стационарная) точка функции y = f(x) (т.е. внутренняя точка области ее определения, в которой производная равна нулю). Тогда можно сформулировать следующие достаточные условия существования экстремума в этой точке:

а) Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности U точки х0, не содержащей других критических точек. Тогда:

если при переходе через точку х0 производная f ' меняет свой знак с плюса на минус, х0 – точка (локального) максимума функции;

если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с минуса на плюс, х0 – точка (локального) минимума функции;

если при переходе через точку х0 производная не меняет свой знак, в точке х0 нет экстремума.

б) Пусть в точке х0 существует вторая производная функции f, f ''(x0), не равная нулю. Тогда:

если f’’(x0) > 0, х0 – точка (локального) минимума функции;

если f’’(x0) < 0, х0 – точка (локального) максимума функции.

в) Пусть в точке х0 функция дифференцируема n раз, причем f' (x0)= f ''(x0)= f '''(x0)……,

а f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:

– если n четно и f(n)(x0) < 0, то х0 – точка (локального) максимума функции;

– если n четно и f(n)(x0) > 0, то х0 – точка (локального) минимума функции;

– если n нечетно, в точке х0 нет экстремума.

Конечно, в любой ситуации применяется наиболее удобный признак.

2. Случай функции двух переменных. Пусть функция двух переменных z = f(x; y) дифференцируема в некоторой окрестности точки М(х0; у0), дважды дифференцируема в самой точке М и при этом точка М – стационарная (критическая), т.е. полный дифференциал функции в этой точке равен нулю (что эквивалентно равенству нулю обеих частных производных функции, z'x и z'y, в этой точке).

Введем следующие обозначения:

Тогда:

– если АС – В2 > 0, то функция имеет в точке М локальный экстремум, причем в случае А > 0 минимум, а при A < 0 – максимум;

– если АС – В2 < 0, в точке М экстремума нет;

– случай АС – В2 = 0 требует дополнительного исследования.

24. Необходимое условие локального экстремума Необходимые условия существования локальных экстремумов[править]

• Из леммы Ферма вытекает следующее:

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .

Тогда либо производная не существует, либо .

(Математический Анализ. Том 1. Л. Д. Кудрявцев. Москва «Высшая Школа» 1973 г.)

25. Направление выпуклости и вогнутости графиков функции 26. Точка перегиба графика функции. Необходимое и достаточное условие точки перегиба 27. Асимптоты графика функции

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim_x a+0f(x) или lim_x a-0f(x)

равен + или -.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_{x 2+0}1/(x-2) = +, lim_{x 2-0}1/(x-2) = - (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x, если f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+ (x),

где lim_{x} (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim_xf(x)/x = k, lim_x(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+(x),

тогда

lim_xf(x)/x = (kx+b+(x))/x = k,

lim_x(f(x)-kx) = lim_x(b+(x)) = b.

2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x. Обозначив f(x)-kx-b = (x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5x/(x-3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim_x 3 05x/(x-3) = .

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_xy/x = lim_x5x/x(x-3) = 0. b = lim_x(y-kx) =lim_x5x/(x-3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.

Общая схема исследования функций и построение их графиков

Для построения графика функции нужно провести следующие исследования:

1. Найти область определения функции.

2. Найти область значения функции.

3. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов.

5. Найти асимптоты графика функции.

6. Найти точки экстремума функции, установить интервалы монотонности функции.

7. Найти точки перегиба графика функции, определить интервалы выпуклости.

8. Найти точки пересечения с осями координат.

По полученным данным можно построить эскиз графика данной функции. Для примера построим график функции y = 2x³/(x²-4).

1. Функция определена и непрерывна при всех x R, кроме точек x =  2.

2. Область значения функции -  y R.

3. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести ииследование в интервале [0,).

4. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.

lim_x 2 02x3/(x2-4) = .

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim_xy/x = lim_x2x2/(x2-4) = 2, b = lim_x(y-2x) = lim_x8x/(x2-4) = 0,

то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.

5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную

y' = (6x2(x2-4)-4x4)/(x2-4)² = 2x2(x2-12)/(x2-4)².

В промежутке [0,) y обращается в нуль в точках x = 0, x = 2и обращается в бесконечность в точке x = 2. Отметим, что в интервале [0,2) и (2,2) y' меньше нуля и функция убывает, а в интервале (2,) больше нуля и следовательно, функция возрастает. Очевидно, что точка x = 2является точкой минимума.