Файл: Лаб_практикум.doc

Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вблизи начала координат фазового пространства, то говорят, что она устойчива (неустойчива) в “малом”. Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вдали от начала координат, то говорят, что такая система устойчива (неустойчива) в “большом”. Оба эти состояния - и “большое”, и “малое” - разделяет граничная поверхность, которая может характеризовать или границу области устойчивости по возмущениям, или автоколебательный процесс.

Поведение нелинейной САУ в фазовом пространстве отображается так называемой фазовой траекторией. Под ней понимают графическое изображение пути из любого начального состояния САУ в любое её конечное состояние. Совокупность фазовых траекторий часто называютфазовым портретом. На рисунке 2 представлен фазовый портрет устойчивой в “малом” (из- в ноль) и неустойчивой в “большом” (из- в бесконечность) нелинейной системы.

4.1.3. Метод фазового пространства

Основу метода фазового пространствасоставляют все способы, позволяющие изобразить траекторию движения САУ из одного состояния в другое в соответствующем фазовом пространстве. Особенно наглядно представляется движение САУ на фазовой плоскости, если известны аналитические формулы для некоторых видов процессов.

Пусть САУ переходит из одного состояния в другое по экспоненте

. (3)

Следовательно,

. (4)

Рисунок 3 - Фазовые траектории

Найдём теперь траекторию движения характеристической точки на фазовой плоскости, если процесс имеет форму синусоиды

. (5)

При этом для скорости процесса справедливо соотношение

. (6)

После возведения в квадрат выражений (5),(6) и несложных преобразований (с учётом тождества ) можно получить выражение

. (7)

Это уравнение эллипса с полуосями и. Как следствие, при представлении синусоиды (5) на фазовой плоскости будет наблюдаться движение характеристической точкипо эллипсу (7). Его же часто называютциклом.

Циклы могут быть устойчивые и неустойчивые. Если характеристическая точка стремится удалиться от цикла (7), то его называют неустойчивым.Если эта точка стремитсяк циклу(7) и из “малого”, и из “большого”, то его называютустойчивым. Частные случаи устойчивых и неустойчивых циклов представлены на рисунке 4.

В случае устойчивого цикла фазовые траектории «навиваются» на эллипс, а в случае неустойчивого - уходят от него в ноль или в бесконечность.

4.2. Моделирования процессов в линейных нестационарных и нелинейных динамических системах с использованием подсистемы MatLab simulink

4.2.1. Приведение линейного дифференциального уравнения к канонической форме

Исследованию нестационарных процессов предшествует предварительное преобразование системы дифференциальных уравнений к стандартному виду – к форме Коши.

Покажем один из способов такого преобразования. В результате такого преобразования система уравнений приводится к канонической форме, удобной для представления в виде эквивалентной структурной схемы, привычной при исследовании систем автоматического управления.

Пусть дифференциальное уравнение порядка nв операторной форме, описывающее процессы в системе, представлено в виде:

(20)

где p = d/dt– символ дифференцирования;

x(t), y(t)– вход и выход системы;

a_{i ,} b_j– коэффициенты полиномов, в общем случаефункции времени;i = [1 – n]; j = [1 – m]; m  n.

Правую часть выражения (20) умножим и поделим на pⁿ (pⁿ/pⁿ) и получим:

(21)

где

(22) или (23)

Полученные зависимости (21) - (23) являются представлением исходного уравнения (20) в канонической форме.

Используя эти зависимости, а именно - (21) и (23) – легко может быть получена эквивалентная структурная схема, моделирующая данную систему, которая представлена на рисунке 5.

Приведем примеры использования описанного метода представления дифференциальных уравнений.

Пример 1.

Интегро - дифференцирующее динамическое звено описывается следующим операторным уравнением (первого порядка):

(24)

Приведем его к стандартной форме (20)

(25)

где

Соответствующая структурная схема, реализующая данное уравнение и получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид:

Пример 2.

Дано операторное уравнение второго порядка:

(26)

Этим уравнением моделируются динамические характеристики инерционного и форсирующего звеньев второго порядка.

Преобразуя, приведем его к стандартной форме и получим

(27)

где

Соответствующая структурная схема, получаемая из схемы для общего случая (см. рисунок 5), имеет вид, представленный на рисунке 7.

4.2.2. Пример исследования нестационарных и нелинейных процессов

4.2.2.1. Постановка задачи

Провести исследование нестационарной системы, замкнутая структурная схема которой представлена на рисунке 8.

При этом:

• оценить переходные процессы при задании на вход контура слежения скачкообразного, а такжесинусоидального сигналов;

• построить фазовые траектории ошибки Δ.

; ,T2 = 0.05 c.

Таблица 1. Исходные данные

Как следует из рассмотрения приведенных данных, большинство параметров системы является функцией времени. Кроме того, в системе присутствует нелинейность.

Синусоидальный входной сигнал имеет вид: x=A sin (2 f t + ₀), A = 0.3, f=0.5 Гц, а скачкообразный сигнал – единичную ступеньку.

4.2.3. Методика формирования модели в системе MatLab

1).В командном окнеMatLab (CommandWindow) зададим все исходные данные модели, представленные выше, как переменные во времени (из таблицы), так и постоянные:

>> t=[0 3 10 20 35 50]

>> K0=[10 9 7 5 5 5 ]

>> T1=[1 0.8 0.6 0.5 0.5 0.5]

>> K1=[1 0.9 0.7 0.5 0.4 0.4]

>> T2=2.5

2). Используя подсистемуSIMULINK системыMatLab, “наберем” каждое звено исходной структурной схемы.

• Усилительное звено с переменным передаточным коэффициентом K₀ (t)

Для этого понадобятся следующие блоки библиотеки:

- из раздела блоков Look-Up Table (блоки задания таблиц):

- блок Look-Up Table- для задания одномерной таблицы (в виде функции одной переменной);

- из раздела блоков Math Operations (блоки элементов, определяющих математические операции):

- блок GAIN, Matrix Gain – усилитель (выполняет умножение входного сигнала на постоянный коэффициент)

;

- блок Product - блок умножения и деления (выполняет вычисление произведения текущих значений сигналов)

;

– блок Sum – сумматор (выполняет вычисление сумы текущих значений)

;

-из разделаSources (блоки источников сигналов):

- Clock- источник времени (формирует сигнал, величина которого на каждом шаге равна текущему времени моделирования)

.

Схема имеет вид, представленный на рисунке 9.