Файл: ШПОРЫ ВЫШКА.docx

Точечной называют статистическую оценку, которая определяется одним числом. Например, выборочное среднее , выборочная дисперсия и т. д.Выборочное среднее—несмещенная и состоятельная оценка

математического ожидания.

Выборочная дисперсия является состоятельной, носмещенной оценкой дисперсии.

Исправленная выборочная дисперсия —несмещенная и состоятельная оценка дисперсии.

9.Непрерывные функции распределения

Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

Функцию распределения также называют интегральной функцией.

Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

Свойства функции распределения..

1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].

2) F(x) – неубывающая функция.

при

3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.

4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.

5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.

Определение. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.

Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:

Свойства плотности распределения.

1) Плотность распределения – неотрицательная функция.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -  до  равен единице.

10 Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

17 Интервальные оценки параметров распределения при известном

Эмпирическая функция распределения выборки являетсянесмещенной состоятельной оценкой теоретической функции распределения .

Точечные оценки неизвестного параметра хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений. Недостатком является то, что неизвестно с какой точностью они дают оцениваемый параметр.

Оценка неизвестного параметра называется интервальной, если она определяется двумя числами — концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным интервалом для параметра называется интервал, который покрывает неизвестный параметрс заданной надежностью, т.е.Числоназываетсядоверительной вероятностью, а значение − уровнем значимости. На практике обычно используют уровни значимости: 0.1, 0.05, 0.01.

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при данном уровне значимостии известной дисперсииимеет вид

, (5)

где определяется из условия, илии

−функция Лапласа

11, Законы распределения

Равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.

Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения.

Получаем .

Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a,b].

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью

где  - положительное число.

Найдем закон распределения.

Графики функции распределения и плотности распределения:

Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению.

Результат получен с использованием того факта, что

Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х²).

Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:ТогдаИтого:

Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны.

Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

13. Двумерные случайные величины

Система случайных величин.

Рассмотренные выше случайные величины были одномерными, т.е. определялись одним числом, однако, существуют также случайные величины, которые определяются двумя, тремя и т.д. числами. Такие случайные величины называются двумерными, трехмерными и т.д.

В зависимости от типа, входящих в систему случайных величин, системы могут быть дискретными, непрерывными или смешанными, если в систему входят различные типы случайных величин.

Более подробно рассмотрим системы двух случайных величин.

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x, Y<y.

Отметим следующие свойства функции распределения системы двух случайных величин:

1) Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.

2) Если оба аргумента стремятся к бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице.

3) При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю.

4) Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу.

5) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

Функцией распределения(интегральной функцией.)

называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.

Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:

Плотностью распределения (дифференциальной функцией) вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).