Файл: ШПОРЫ ВЫШКА.docx

21.Линейная регрессия

Распределение системы СВ характеризуется числовыми параметрами: математическими ожиданиями компонент,; дисперсиями,; корреляционным моментом (ковариацией);коэффициентом корреляции ,.

Здесь и дальше, будем считать, что двумерная СВ распределена нормально, тогдауравнения линейной регрессии на и на имеют вид [3]:

.По корреляционной таблице 1, найдем оценки параметров линейной регрессии, (см. лаб. раб. №3):

; ;;;;- выборочный коэффициент корреляции . (7) Выборочный коэффициент корреляциихарактеризует тесноту линейной связи междуи. Если, то элементы выборки,, лежат на прямой линии, аисчитаются практически линейно зависимы. Чем ближек 1, тем связь сильнее; чем ближек 0, тем связь слабее. Еслиинезависимы, то.

Эмпирическая функция линейной регрессии наинасоответственно задаётся уравнениями.

22.Примеры производственных задач лесного комплекса, приводящие к задачам линейного программирования

Важной задачей в лесной промышленности является задача оптимального раскроя материала (бревен, досок, брусков и т.д.). От этой операции во многом зависит эффективность производства.

Познакомимся с решением задач линейного программирования на примере задачи оптимальной раскряжевки брёвен[5].

На предприятии имеются бревна длиной 6 м, которые необходимо разрезать на заготовки длиной 2,8 м в количестве 800 шт., 2,1 м − 900 шт., 1,8 м − 6000 шт. Необходимо составить оптимальный план раскроя материала, который обеспечивает минимальные отходы, при условии выполнения плана по выходу заготовок.

Решение. Сначала составим математическую модель нашей задачи. Возможные варианты раскроя и отходы при каждом из них запишем в виде табл. 2.

26. М –задача. Свойства решений м- задачи

Метод искусственного базиса. (М-задача).

Если каноническая ЗЛП не имеет единичного базиса, то вводится искусственный базис. К левым частям равенств добавляют искусственные переменные и переходят к расширенной задаче (М-задаче) :

,

,

где М − произвольное достаточно большое положительное число.

Единичные векторы , соответствующие искусственным переменным, образуют базис.

Решая М-задачу симплекс-методом, через конечное число итераций, придем к оптимальному плану, либо установим неразрешимость М-задачи.

М-задача имеет следующие особенности.

1. Искусственные векторы находятся лишь в столбце базисных векторов и могут не записываться в саму таблицу. Искусственные базисные векторы исчезают из таблицы по мере их исключения.

2. Последняя индексная строка разделяется на две строки: в верхнюю записываются свободные слагаемые оценок, а в нижнюю коэффициенты при .

3. Критерий оптимальности сначала проверяется по коэффициентам , и при их полном исключении задача решается обычным образом.

4. Если в оптимальном плане М-задачи все искусственные переменные равны нулю, то данный план будет решением исходной задачи.

5. Если в оптимальном плане М-задачи хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля, то исходная задача не имеет допустимых планов, т. е. система ограничений несовместна.

23.Постановка задачи линейного программирования

Задачей линейного программирования (ЗЛП) в нормальной форме называется задача максимизации (минимизации) целевой функции

(1)

по переменным удовлетворяющим неравенствам, где постоянные числа. Записьозначает, что.В матричной форме задача имеет вид, (4),, ,. x называется вектором-переменной, − вектор ограничений,c − вектор стоимости, векторы условий,матрица условий, символозначает транспонирование.Наряду с нормальной формой задачи линейного программирования (4)−(6), широкое распространение получила каноническая форма, под которой понимается следующая задача,где все компоненты вектора x неотрицательны.Две формы ЗЛП отличаются лишь типом ограничений. В нормальной форме ограничения типа неравенств, в канонической − типа равенств. Ограничения типа неравенств можно свести введением неотрицательных свободных переменных к ограничениям типа равенств. В первое неравенство ограничений (2) добавим свободную переменную , второе −, последнее −. Коэффициенты, соответствующие свободным переменным, равны нулю.

Одним из основных аналитических методов решения ЗЛП является симплекс-метод[6-8]. Теория и алгоритм симплекс-метода строится только для канонической формы (7) − (9) ЗЛП.

Планом или допустимым решением ЗЛП называется вектор , удовлетворяющий системе ограничений (8)-(9). План задачи (7)−(9), для которого линейная форма достигает максимума, называется оптимальным. План называетсябазисным (опорным), если вектора условийсоответствующие

ненулевым компонентам, линейно независимы. Базисный план называется невырожденным, если он содержит ровно m положительных компонент.

Решение ЗЛП состоит из трех основных этапов: 1) построение первоначального невырожденного базисного плана; 2) проверка плана на оптимальность; 3) в случае неоптимальности плана указание процедуры перехода к новому плану.

2 этап. Критерий оптимальности базисного плана. Критерием оптимальности рассматриваемого решения (плана) является выполнение условия.Если это условие не выполняется для некоторого номераj и все элементы этого столбца неположительные, то целевая функция не ограничена на множестве допустимых планов. Если же существуют столбцы с, но в каждом из них имеются положительные элементытогда следует искать новый план, при котором значение функцииz было бы больше. Для этого переходим к новому базису. Чтобы определить, какой вектор следует ввести в базис, просматривают последнюю строку. Вектор, соответствующий минимальному отрицательному , вводится в базис (если имеется несколько таких одинаковых, то берется любой). Пуст, тогда векторнужно ввести в базис. Столбец, содержащий число, называетсяразрешающим столбцом симплексной таблицы. Чтобы определить, какой вектор нужно вывести из базиса, вычисляют минимальное отношение координат векторак положительным элементамразрешающего столбца, т. е. находятся симплексные отношениядляи помещают их в столбец, затем среди них выбирают наименьшее −. Пусть, тогда векторнужно исключить из базиса. В симплексной таблице строка, содержащая число, называетсяразрешающей, а элемент , стоящий на пересечении разрешающих столбца и строки, −разрешающим (ключевым) элементом.