Файл: Мои лекции по Грачеву. РС-71.docx

Энергетические соотношения в системе виброизоляцииции.

Допустим, существует система cSстепенями свободы.

1. Кинематическая энергия системы «Т».

a_ij- инерционный (кинетический) параметр системы

- обобщенные скорости по соответствующим координатам (скорости абсолютные).

2. Потенциальная энергия объекта «П».

Сij– жесткостной параметр системы:

q_i,q_j– деформации упругих элементов (относительные).

3. Диссипативная функция «Ф».

b_ij – коэффициент демпфирования.

3. Уравнение Лагранжа (уравнение движения объекта).

IIIIII

L=T-П - функция Лагранжа.

i– число обобщенных координат, равное числу степеней свободы.

I- баланс кинетической и потенциальной энергии в системе.

II- потери энергии на диссипацию.

III- приток энергии за счет возмущающих сил.

В частных случаях Q(t) равно нулю:

1. при свободном движении объекта (смещение блока от положения равновесия)

2. кинематическое возмущение

Данное уравнение позволяет проанализировать движение системы с любой степенью свободы и в любой момент времени. Для системы cSстепенями свободы уравнение Лагранжа превращается в систему изSдифференциальных уравнений. ПриS=6 уравнение Лагранжа – система из 6-ти уравнений.

Решение в общем виде подобной системы – сложная задача даже при использовании ЭВМ.

При S= 1 - система решается.

При S> 1 – применяются упрощенные методы расчета системы.

1. Свободное движение объекта вязким трением с одной степенью свободы.

- частота собственных колебаний системы.

- коэффициент затухания.

с - жесткостной параметр системы.

а - инерционный параметр системы.

Существуют два случая:

1. Малое затухание системы

Т.к. обычно на практике логарифмический декремент Колебаний:

Примечания:

1. . Случай наиболее типичен для реальных виброизоляторов .

2. Затухание практически не искажает значение собственной частоты.

3. Затухание свободных колебаний происходит по экспоненте и амплитуда колебаний стремится к 0. Считают, что амплитуда колебаний равна 0 через 10…15 периодов собственных колебаний.

2. Значительные потери. Характер движения апериодический. В системах виброизоляцииции практически не встречается.

Рассмотренные случаи соответствуют установке виброизоляторов с вязким трением или гистерезисными потерями, для которых справедлива функция: .

2. Свободное движение объекта на амортизаторах с сухим трением.

T– период собственных колебаний.

Решение выглядит следующим образом:

Основные особенности движения систем на амортизаторах с сухим трением.

1. Частота собственных колебаний определяется по формуле и не зависит от величины диссипативных сил.

2. Собственные колебания затухающие и затухают по линейному закону (диссипативная сила не зависит от скорости, существует сухое трение).

3. Существует зона застоя для виброизоляторов с сухим трением: собственные колебания затухают до нуля. В зоне застоя объект не доходит до положения равновесия расстояние равное , т.е. существует некоторая амплитуда смещения блока относительно положения равновесия.

Остановка блока в зоне застоя происходит в момент времени t₁, для которогои(при);

.

Наличие зоны застоя объясняется малой величиной потенциальной энергии, которая не может преодолеть силы сухого трения амортизаторов; кинетическая энергия равна нулю. Говорят, что амортизатор для зоны застоя закрыт. Амортизаторы с сухим трением не работают при амплитудах смещения .

Вынужденные колебания системы при пассивной виброизоляции.

Блок установлен на условном амортизаторе.

При вибрации основания происходит перемещение блока. Нам необходимо определить параметры колебания блока: D= ?;=?;

Рассмотрим систему с одной степенью свободы. Решение получается при помощи уравнения Лагранжа.

Уравнение Лагранжа имеет следующий вид:

Вынужденные колебания системы виброизоляцииции описываются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка. Искомая амплитуда Dявляется решением этого уравнения. Это сумма решений однородного и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

D=D₀+D₁

D₀– решение однородного дифференциального уравнения.

D₁– частное решение неоднородного уравнения.

Для получения D₀правая часть уравнения приравнивается к нулю. Т.о. получаем уравнение, которое описывает свободное движение объекта. Ввиду быстрого затухания свободных колебаний в практических случаях можно не учитыватьD₀, тогдаD=D₁и искомое решение получается в виде частного решения этого уравнения:

введем обозначения:

- коэффициент динамичности.

- коэффициент виброизоляции.