Файл: Гипотегы о средних. Сравнение средней с М(Х).doc

^{ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ}

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

^{«МАТИ» - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ}

^{ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ}

^{имени К.Э. ЦИОЛКОВСКОГО}

^{Кафедра «Моделирование систем и информационные технологии»}

Проверка статистических гипотез.

Гипотезы о средних (о математических ожиданиях).

Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием.

^{Методические указания к практическим занятиям}

^{по дисциплине «Математическая статистика»}

^{Составители: Егорова Ю.Б.}

^{Мамонов И.М.}

^{МОСКВА 2009}

^{Проверка статистических гипотез. Гипотезы о средних (о математических ожиданиях).} Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием^{: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Математическая статистика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов. М.: МАТИ, 2009. – 16 с.}

^{ Егорова Ю.Б.,}

^{Мамонов И.М.,}

^{составление, 2009}

^{ МАТИ, 2009}

^{ВВЕДЕНИЕ}

^{Методические указания предназначены для студентов дневного отделения факультета №14 специальностей 230102, 220231 и являются учебным руководством при выполнении индивидуального задания. В настоящее время существует достаточно большое количество статистических программ, предназначенных для работы на персональном компьютере. Однако для лучшего понимания изучаемого материала индивидуальное задание рекомендуется выполнить «вручную» (с помощью калькулятора).}

---

1. ^{ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О СРАВНЕНИИ ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ С ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ}

^{(С МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ)}

^{1.1. Генеральная дисперсия известна (большая выборка n≥30)}

^{Пусть генеральная совокупность исследуемой случайной величины Х распределена нормально: Х~N(m,σ). Предположим, что генеральная дисперсия D(X)=σ2 известна, например, по многолетним наблюдениям, или задана по проекту, или найдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (n≥30).}

^{Из генеральной совокупности Х сделаем выборку объемом n. Найдем выборочное среднее .}

^{При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочное среднее и математическое ожидание различаются незначимо, т.е. математическое ожидание (генеральное среднее) равно значению m0:}

^{Но: М(Х)= m0.}

^{Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия U, имеющего нормированный нормальный закон распределения с параметрами М(U)=mu=0, σ(U)=1:}

^{Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.}

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)≠ m₀.

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

---

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)> m₀.

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

1. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Третий случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)< m₀.

В этом случае строят левостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

ПРИМЕР 1. Техническая норма предусматривает в среднем 21 сек. на выполнение определенной технологической операции на конвейере по сборке часов. От работающих на этой операции поступили жалобы, что в действительности они затрачивают на нее больше времени. Для проверки были проведены измерения времени выполнения этой операции у 36 работниц. Получено среднее время выполнения операции 21,6 сек, выборочное среднее квадратическое отклонение 0,36 сек. Можно ли по данным выборки считать, что среднее время выполнения операции соответствует норме?

---

РЕШЕНИЕ. По условию n=36; сек;σ≈σ*(X)=100 сек, m₀=21 сек. Выберем уровень значимости α=0,05.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀. Относительно альтернативной гипотезы возможны два случая: а) М(Х)≠m₀; б) Н₁: М(Х)> m₀ (так как ). Рассмотрим эти случаи.

а) Н_о: М(Х)=21 сек.

Н₁: М(Х)≠21 сек.

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия:

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

б) Н_о: М(Х)=21 сек.

Н₁: М(Х)>21 сек.

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия

2. по таблице функции Лапласа (см. Приложение 1) определяем критическое значение критерия =1,645 из равенства

3) Так как , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что выборочное среднее и математическое ожидание (генеральное среднее) различаются значимо и, следовательно, жалобы работниц обоснованы.

^{1.2. Генеральная дисперсия неизвестна (малые выборки n<30)}

---

^{Пусть генеральная совокупность исследуемой случайной величины Х распределена нормально: Х~N(m,σ). Пусть генеральная дисперсия D(X) неизвестна. Из генеральной совокупности Х сделаем выборку объемом n. Найдем выборочную среднюю и «исправленную» дисперсию.}

^{При заданном уровне значимости α необходимо проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что выборочная средняя и математическое ожидание различаются незначимо, т.е. математическое ожидание (генеральное среднее) равно значению m0:}

^{Но: М(Х)= m0.}

^{Сравнение производится с помощью специально подобранной случайной величины – статистического критерия Т, имеющего закон распределения Стьюдента с k=n-1 степенями свободы:}

^{Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.}

Первый случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)≠ m₀.

В этом случае строят двустороннюю критическую область.

Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем наблюдаемое значение критерия .

2. по таблице критических точек распределения Стьюдента (см. Приложение 2) определяем критическое значение критерия для двусторонней критической области в зависимости от уровня значимостиα и числа степеней свободы k=n-1.

3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная.

Второй случай.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: М(Х)= m₀.

Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: М(Х)> m₀.

---