Файл: сопромат.doc

                   

Рис. 5 а, б, в.

 

Примерами таких конструкций могут быть: армированные уголками стойки (рис.5, а); панель крыла самолета, состоящая из обшивки 1 с продольными ребрами 2 (рис. 5, б); составной цилиндр, полученный путем напряженной посадки двух труб из различных материалов (рис. 5, в). В других случаях, с целью повышения жесткости и надежности системы, вводятся дополнительные связи сверх тех минимально необходимых, которые обеспечивают ее кинематическую неизменяемость. Наложение на систему дополнительных связей превращает ее в статически неопределимую. Напомним, что кинематическая неизменяемость плоской системы обеспечивается тремя, а пространственной – шестью связями.

Конструкции, состоящие из стержней, соединенных шарнирами, называются шарнирно-стержневыми. В этих конструкциях есть стержни, которые обеспечивают геометрическую неизменяемость конструкции и при удалении которых система превращается в механизм. Такие стержни будем называть необходимыми. Если же при удалении некоторых стержней геометрическая неизменяемость конструкции не нарушается, то такие стержни назовем лишними. Лишними такие связи называются только потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости, хотя постановка их дикту­ется условиями эксплуатации. По условиям прочности и жесткости конструкции лишние связи могут оказаться необходимыми.

В статически определимой системе есть только необходимые стержни, в статически неопределимой – число лишних стержней равно степени статической неопределимости.

                                                               

а)                                                    б) в)

                                                   Рис. 6

 

На рис.6 приведены схемы 3-х плоских систем с «лишними» связями: а – стержневой подвески; б – стержня, закрепленного обоими концами; в – стержневого кронштейна. В схеме, показанной на рис. 6, в, вся система состоит из упругих звеньев. Подсчет числа наложенных связей производится в этом случае следующим образом. Каждый стержень связан с опорной поверхностью двумя связями. Всего таких связей 8. Шарнир, соединяющий концы стержней, снимает связи, ограничивающие относи тельный или взаимный их поворот. При соединении двух стержней од ним шарниром снимается одна связь, трех стержней – две связи, четырех – три и т.д. В данном случае снимаются три связи. Следовательно, всех связей, наложенных на эту систему оказывается пять, две из которых мо гут считаться «лишними».

---

Статически неопределимые конструкции характеризуются рядом особенностей, по сравнению со статически определимыми системами. Заключаются они в том, что в элементах статически неопределимых систем напряжения возникают не только от действия внешних сил, но и в результате изменения температуры, неточности изготовления деталей, не точностей их сборки, смещения мест опорных креплений и ряда других причин. Объясняется это тем, что деформация одного из элементов в статически неопределимой системе приводит к деформации и других ее элементов.

Например, если один из стержней системы (рис. 6, в) изготовлен по длине неточно, то соединение концов стержней одним шарниром возможно только путем деформации всех стержней.

Сила, возникающая при деформации одного из стержней, вызывает усилия в других стержнях, находящихся с ним в шарнирном соединении. Смонтированная система приходит в равновесие, следовательно, сово­купность сил системы обеспечивает ее равновесие. Эти силы вызывают соответствующие, называемые начальными, напряжения в стержнях.

В статически неопределимых конструкциях при изменении температуры ее элементов по сравнению с температурой, при которой осуществлялась сборка, возникают дополнительные усилия и напряжения, кото­рые принято называть температурными.

Распределение усилий между элементами системы зависит от их жесткости. Если увеличить жесткость какого- либо элемента, то он примет на себя большее усилие. Изменяя соотношение жесткостей элементов конструкций, можно менять распределение усилий между ними.

Эти особенности статически неопределимых конструкций должны учитываться при проектировании или применении таких систем.

Статически неопределимые системы обладают повышенной «живучестью». Разрушение одного или нескольких элементов (в зависимости от числа дополнительных связей) не вызывает потерю несущей способности конструкции в целом. Так разрушение даже двух стержней в системе, показанной на рис. 6, в не приводит к потере способности воспринимать силу P оставшимися двумя стержнями, конечно, при условии их достаточной прочности.

---

1.8 Степень статической неопределимости. Методика ее определения.

Статически неопределимые системы характеризуются степенью статической неопределимости, которая равна числу «лишних» связей и может быть вычислена как разность между числом неизвестных сил и чис лом независимых уравнений равновесия. По числу единиц этой разности системы бывают 1,2,3….n раз статически неопределимыми.

Для расчетов составляется силовая схема заданной системы, на которой указываются все известные и неизвестные силовые факторы.

При составлении силовой схемы в случае определения внутренних силовых факторов применяется метод сечений, согласно которому каждое звено системы разделяется на две части в произвольном сечении, затем отбрасываются части, примыкающие к опорным элементам, а их действие на оставшиеся части заменяется продольными силами. После этого на схеме показываются все заданные внешние силы и реакции опор.

Затем по этой схеме устанавливается возможное число независимых уравнений равновесия. Степень статической неопределимости подсчитывается, как разность между числом неизвестных сил и числом независимых уравнений равновесия.

2 Решения задач по методу сечений

2.1 Решение задачи №1. Растяжение-сжатие. Статически определимая система.

Дано:

Р₁=-150кн;

Р₃=130кн;

Р₅=60кн;

Р₆=80кн;

а=0,5м

F₁=16см²

F₂=24 см²

F₃=22 см²

Е=2*10⁵МПа;

[]=160МПа;

Решение:

Находим значение продольных сил на участках элементов конструкции.

N₁=-p₁=-150кн

N₂=-р₁+р₃=-150+130=-20кн

N₃= -р₁+р₃+р₅=-20+60=40кн

N₄= -р₁+р₃+р₅+р₆=40+80=120кн

Находим нормальные напряжения. Строим эпюру нормальных напряжений.

_N₁/F₁=-150/16=-9,375кн/см²

₂=N₂/F₂=-20/24=-0,833кн/см²

---

₃=N₃/F₃=40/22=1,818кн/см²

₄=N₄/F₃=120/22=5,454кн/см²

Выполняем проверку условия прочности:

-9,37516 – выполнено.

Находим полное удлинение стержня. Строим эпюру продольного перемещения.

Расчет предельной деформации начинаем выполнять от заделки стержня АА, которое остается неподвижным.

Δl_A-A=0см

Δl_В-В= Δl_A-A+(N₄*a)/(E*F)₃=0+(120*0,5)/(2*10⁵*22)=0,0013см

Δl_C-C= Δl_В-В+(N₃*a)/(E*F)₃=0,0013+(40*0,5)/( 2*10⁵*22)=0,0018см

Δl_D-D= Δl_C-C+(N₂*2a)/(E*F)₂=0,0018+(-20*0,5)/( 2*10⁵*24)=0,0014см

Δl_E-E= Δl_D-D+(N₁*2a)/(E*F)₁=0,0014+(-150*0,5)/( 2*10⁵*16)=-0,00328см

Вывод: Свободный край стержня сместился на -0,00328см.

2.2 Решение задачи №2. Растяжение-сжатие. Статически неопределимая система.

Дано:

Р₁=100кн;

Р₂=150кн;

Р₅=60кн;

Р₆=80кн;

а=1м

F₁=10см²

F₂=15 см²

F₃=20 см²

Е=2*10⁴МПа;

[]=160МПа;

Решение:

∑z=z_B-p₁+p₃+p₅+p₆₊z_A=0

z_A+z_B=p₁-p₃-p₅-p₆ (1)

В данном случае присутствуют 2 неизвестные величины, для их определения недостает одного уравнения. Система является один раз статически неопределимой. Для определения неизвестных, необходимо дополнительно составить уравнение совместности деформаций. Для этого выбираем основную систему. Основной - называется статически определимая система, которая получается из заданной путем отбрасывания лишних связей. Для этого отбросим связь В. Для того, чтобы основная система деформировалась точно так же, как заданная необходимо потребовать, чтобы сечение ВВ оставалось на месте, т.е. Δ_В-В=0 (2). Это и есть необходимое уравнение совместимость деформации. В общем случае:

Δ_В-В=0 (2)

Δ_В-В= Δ_В-В(z_B)+ Δ_В-В(p₁)+ Δ_В-В(p₃)+ Δ_В-В(p₅)+ Δ_В-В(p₆)=0

---

Δ_В-В(p₆)=-p₆*a/E*F₃

Δ_В-В(p₅)=(p₅*2a/E*F₃)

Δ_В-В(p₃)=(p₃*2a/E*F₂)+( 2a/E*F₃)

Δ_В-В(p₁)= (p₁*a/E*F₁)+( p₁*2a/E*F₂)+(p₁*2a/E*F₃)

Δ_В-В(z_B)=(z_B*2a/E*F₁)+ (z_B*2a/E*F₂)+ (z_B*2a/E*F₃)

Δ_В-В=(p₆*a/E*F₃)+ (p₅*2a/E*F₃)+(p₃*2a/E*F₂)+ (p₃*2a/E*F₃)+( p₁*a/E*F₁)+(p₁*2a/E*F₂)+( p₁*2a/E*F₃)+ (z_B*2a/E*F₁)+ (z_B*2a/E*F₂)+ (z_B*2a/E*F₃)

z_B((2a/E*F₁)+ (2a/E*F₂)+ (2a/E*F₃))= (p₁*a/E*F₁)- (p₃*2a/E*F₂)-(p₁*2a/E*F₃)- (p₃*2a/E*F₂)-( p₃*2a/E*F₃)+ (p₅*2a/E*F₃)+(p₆*a/E*F₃)

z_B0,0007481=0,009429

z_B=12,6 кн (из этого следует, что направление выбрано верно)

z_А=р₁-р₃-р₅-р₆=100-150-60-80=-126,428 (из этого следует, что направление

выбрано не верно)

Находим продольные силы.

N₁= z_B=12,6 кн

N₂= z_B- р₁=12,6-150=-137,4 кн

N₃= z_B- р₁+р₃=-137,4+130=-7,4 кн

N₄= z_B- р₁+р₃+ р₅=-7,4+60=52,6 кн

N₅= z_B- р₂+р₃+ р₄-+р₆=52,6+80=132,6 кн

Находим нормальные напряжения.

₁=N₁/F₁=12,6/16=0,78кн/см²

₂=N₂/F₁=-137,4/16=-8,58кн/см²

₃=N₃/F₂=-7,4/24=-0,3кн/см²

₄=N₄/F₃=52,6/22=2,39кн/см²

₅=N₄/F₃=132,6/22=6,02кн/см²

Проверка условия прочности:

_max≤[]

_max=6,02<16=>условие выполняется

Для проверки правильности решения задачи определим перемещение стержня.

Δ_A-A=0см

Δ_C-C= Δ_А-А+(N₅*a) /(E*F)₃=0+(132,6*50)/(2*10⁴*20)=0,01507 см

Δ_D-D= Δ_C-C+(N₄*a)/(E*F)₃=0,01507 +(52,6*50)/( 2*10⁴*20)=0,02105 см

Δ_E-E= Δ_D-D+(N₃*2a)/(E*F)₂=0,02105 +(-7,4*50)/( 2*10⁴*15)=0,01951 см

Δ_F-F= Δ_E-E+(N₂*a)/(E*F)₁=0,01951 +(-137,4*50)/( 2*10⁵*15)=-0,00196 см

Δ_G-G= Δ_F-F+(N₁*a)/(E*F)₁=-0,00196+(12,6*50)/( 2*10⁵*15)=0,00001 см

---