Файл: Лекція 1.doc

Лекція 1

Нарисна геометрія вивчає всі геометричні форми, що нас оточують. Це математична дисципліна. Вона є розділом геометрії, в якому просторові фігури (оригінали) вивчаються за допомогою їх зображень (графічних моделей) на площині креслення. Тому як наука вона має прикладний характер.

Предметом НГ є розробка методів побудови та читання креслень, методів розв’язання на них геометричних задач, а також методів геометричного моделювання, тобто створення предмету чи оригіналу, який відповідав би наперед заданим умовам.

Метод проекцій

Основний метод НГ – це метод проекцій, який передбачає проекціювання геометричних форм об’єктів на площину. Отримане плоске зображення внаслідок проекціювання називається проекцією.

Формоутворюючими елементами простору є основні геометричні образи – точка, пряма, площина (поверхня), з яких утворюються геометричні фігури.

Точка зображається білим коло діаметром 1,5…2 мм та вважається, що точка є центром цього кола. Позначаються точки великими літерами латинського алфавіту або арабськими цифрами: A, B, C, D…чи 1, 2, 3…

Пряма уявляє собою сукупність всіх послідовних положень точки, яка рухається у просторі. Позначається маленькими літерами латинського алфавіту a, b, c, d… Виключення складають лінії рівня: h – горизонталь, f – фронталь, p – профільна пряма.

Поверхня (площина) уявляє собою сукупність послідовних положень лінії, яка рухається у просторі. Позначаються поверхні великими літерами грецького алфавіту: Г, Δ, Θ, Ψ, Ω, Σ, Τ, Λ,...Для площин проекцій прийняті такі позначення : П₁ – горизонтальна площина проекцій; П₂ – фронтальна площина проекцій; П₃ – профільна площина проекцій.

Центральні проекції

Розглянемо схему апарату проекціювання.

Т очка S, з якої виходять проекціювальні промені, називається центром проекцій або полюсом. Площина П₁, на яку проекціюється геометричний образ, називається площиною проекцій. Площина П₁ і точка S формують апарат центральної проекції. Точку А, яку проекціюють, називають оригіналом. Її проекцію на площину П₁ позначають А₁.

Д ля того, щоб отримати проекцію довільного геометричного образу необхідно провести проекціювальні промені із центру проекцій S через всі точки даного геометричного образу.

Візьмемо у просторі криву l. Вона уявляє собою сукупність послідовних положень точок. Спроекціюємо кожну точку цієї кривої на площину П₁. Отримаємо криву l₁, яка є проекцією кривої l на площину П₁.

Оскільки пучок проекціювальних променів виходить з однієї точки, то таке проекціювання називається центральним, а отримані проекції – центральними.

Такий спосіб проекціювання знайшов своє використання в архітектурі при побудові перспектив зданій та різних технічних споруд; а також в образотворчому мистецтві.

Паралельні проекції

Якщо центр проекціювання віддалити у нескінченність, то проекціювальні промені стануть взаємно паралельними (рис. 1.3). Замість центра проекцій S задають напрям проекціювання s.

---

Т
акий спосіб проекціювання, коли проекціювальні промені паралельні називається паралельним проекціюванням. Площина проекцій П₁ і напрям s утворюють апарат паралельної проекції.

Якщо напрям проекціювання не є перпендикулярним до площини проекцій, то проекціювання називається косокутним.

Якщо проекціювальні промені перпендикулярні до площини проекцій, то проекціювання називається прямокутним або ортогональним.

Ортогональне проекціювання має безперечну перевагу перед центральним або паралельним косокутним проекціюванням, воно знаходить широке застосування в технічному кресленні.

Оборотність креслення. Комплексне креслення

Властивость креслення давати однозначне уявлення про геометричний образ називається оборотністю креслення.

У
явимо собі проекцію m₁ будь-якої кривої лінії. Спробуємо відтворити геометричний образ, зображений на П₁. Для цього необхідно з кожної точки кривої провести проекціювальні промені. Але ми не можемо отримати однозначне рішення, оскільки в кожну точку на площині проекціюється множина точок, що належать одному й тому ж проекціювальному променю.

Тому за однією проекцією геометричної фігури, що складається з множини точок, не можна визначити її форму та положення в просторі. Подібне креслення називають необоротним.

Для забезпечення оборотності креслення застосовують сумісно дві взаємно перпендикулярні площини проекцій. Першу з них П₁ називають горизонтальною площиною проекцій, другу П₂ – фронтальною площиною проекцій (рис. 1.5,а). Площину П₂ розташовують вертикально. Лінію 0х перетину площин П₁ і П₂ називають віссю проекцій.

Спроекціюємо деяку точку А за напрямами s₁ і s₂, перпендикулярними до площин проекцій П₁ та П₂. Одержимо проекції А₁ та А₂, які називаються, відповідно, горизонтальною та фронтальною проекціями точки А.

Для отримання плоского зображення повернемо площину П₁ навколо осі 0х до її суміщення з площиною П₂.

К
реслення, яке складається з кількох (мінімум двох) зв’язаних між собою проекцій геометричної фігури, називається комплексним. або епюром Монжа.

Звичайно на комплексному кресленні межі площин проекцій та осі не показують. Вертикальна лінія А₁А₂ називається вертикальною лінією сполучення.

Таке креслення є оберненим, тому що можна однозначно уявити собі геометричний образ.

Ортогональна система трьох площин проекцій

Але бувають випадки, коли двох проекцій недостатньо для уявлення форми предмету. Тоді введемо третю площину проекцій П₃, яка перпендикулярна до двох перших та називається профільною площиною проекцій.

Спроекціюємо геометричний образ на три площини проекцій (рис. 1.7).

Позначими відповідні осі координат: Оx – вісь абсцис, Оy – вісь ординат, а Оz – вісь аплікат.

Для отримання плоского креслення профільну площину проекцій П₃ разом із зображенням обертають навколо осі 0z у напрямі стрілки до суміщення з площиною П₂, а площину проекцій П₁ обертають навколо осі 0x. Отримаємо трьохкартинне комплексне креслення, яке є оборотним (рис.1.8).

---

Фронтальна та профільна проекції кожної точки (наприклад, точки А) знаходяться на горизонтальній лінії сполучення, а фронтальна та горизонтальна – на вертикальній лінії сполучення.

Точка на комплексному кресленні

Розглянемо наочне зображення точки А та її проекцій.

Розріжемо умовно вздовж осі Оy та повернемо П₁ та П₃ до суміщення з П₂. Отримаємо трьохкартинне комплексне креслення точки А.

Положення точки у просторі задають її координатами: x – абсциса, y – ордината, z – апліката.

Координата х показує відстань від точки до площини проекцій П₃; координата y показує відстань від точки до площини проекцій П₂ ; координата z показує відстань від точки до площини проекцій П₁.

Побудова проекцій точки за відомими її координатами А (x,y,z) показано на рис.2.4 б.

Лекція 2

ОРТОГОНАЛЬНІ ПРОЕКЦІЇ ПРЯМОЇ

Пряму в нарисній геометрії розглядають як лінію, що утворюється під час прямолінійного руху точки у просторі; пряма в просторі необмежена. Її проекції в загальному випадку прямі. Обмежену частину прямої називають відрізком. Ортогональна проекція прямої лінії на площину проекцій є пряма, за винятком випадку, коли пряма перпендикулярна до площини проекцій.

Прямі загального положення

Пряма, яка не паралельна або не перпендикулярна до жодної з площин проекцій, називається прямою загального положення. Проекції такої прямої нахилені до всіх осей проекцій.

Відрізок прямої загального положення проекціюється на всі площини проекцій у вигляді відрізків, кожна з проекцій якого має довжину меншу ніж сам відрізок. Чим більше кут нахилу відрізка до площини, тим коротша проекція цього відрізка.

На комплексному кресленні пряма може бути задана: а) своїми проекціями; б) проекціями відрізка; в) проекціями двох її точок.

Визначення натуральної величини відрізка загального положення

Натуральна величина відрізка загального положення дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника, катетами якого є одна з проекцій відрізка та різниця відстаней кінців другої проекції відрізка до осі проекцій.

Гострий кут між проекцією відрізка та його натуральною величиною є натуральна величина кута нахилу відрізка до площини проекцій.

Н
а рис.3.3,а показано відрізок АВ і дві площини проекцій П₁ та П₂. Якщо з точки А провести відрізок АС паралельно його горизонтальній проекції А₁В₁, то утвориться прямокутний трикутник АВС. Гіпотенуза цього трикутника – це відрізок АВ.

Побудуємо в площині П₁ трикутник А₁В₁В₀, рівний трикутнику АВС. В точці В₁ катета А₁В₁ проводимо перпендикуляр В₀В₁ за довжиною рівний відрізку ВС, який відповідає різниці координат z точок В і А. Із рівності трикутників А₁В₁В₀ і АВС випливає, що гіпотенуза А₁В₀ трикутника А₁В₁В₀ дорівнює натуральній величині відрізка АВ прямої загального положення.

Звертаючись до комплексного креслення (рис.3.3,б), бачимо, що всі необхідні елементи для розв’язання задачі визначення натуральної величини відрізка прямої загального положення мають місце. Дійсно, є катет А₁В₁ (горизонтальна проекція відрізка АВ) і відома довжина другого катета В₁В₀ (перевищення Δz одного кінця відрізка над іншим). Виконавши необхідні побудови, отримуємо натуральну величину відрізка АВ прямої загального положення безпосередньо на комплексному кресленні.

---

Дивлячись на рис. 3.3,а, відмічаємо, що кут  між гіпотенузою А₁В₀ і катетом-проекцією А₁В₁ дорівнює куту нахилу відрізка АВ до горизонтальної площини проекцій П₁. Отже, в цій задачі одночасно визначені натуральна величина відрізка та кут його нахилу до площин проекцій П₁.

Для знаходження кута нахилу прямої до фронтальної площини проекцій, тобто кута , відповідну побудову треба виконати на площині проекцій П₂ (рис. 3.3,в). Відзначимо, що при побудові прямокутного трикутника у площині П₂ застосовано різницю координат у кінців відрізка.

Розглянутий спосіб визначення натуральної величини відрізка прямої називають способом прямокутного трикутника.

Прямі лінії окремого положення

Це прямі, які паралельні або перпендикулярні до площин проекцій.

Прямі рівня. Пряма, яка паралельна одній з площин проекцій, називається прямою рівня.

Горизонталь– це пряма h (рис. 3.4,а), яка паралельна горизонтальній площині проекцій П₁. Фронтальна проекція h₂ (рис. 3.4,а) горизонталі паралельна осі проекцій 0х, а горизонтальна h₁ – дорівнює натуральній величині відрізка. Кут  між проекцією h₁ і віссю 0х дорівнює натуральній величині кута нахилу прямої h до площини проекцій П₂

Фронталь (фронтальна пряма) – це пряма f (рис. 3.4,б), яка паралельна фронтальній площині проекцій П₂. На рис. 3.4,б горизонтальна проекція f₁ фронталі паралельна осі 0х, а фронтальна f₂ дорівнює натуральній величині відрізка прямої. Кут  між фронтальною проекцією f₂ і віссю 0х дорівнює натуральній величині кута нахилу прямої f до площини проекцій П₁.

Пряма p (рис.3.4,в), паралельна профільній площині проекцій П₃, називається профільною прямою рівня.

Фронтальна проекція профільної прямої розташовується паралельно осі 0z, горизонтальна – паралельно осі 0y. Проекція р₃ дорівнює натуральній величині та встановлює з осями 0y та 0z кути a і b, які відповідають кутам нахилу прямої до площин проекцій P₁ та P₂, відповідно (рис. 3.4,в).

Проекціювальні прямі. Пряма, перпендикулярна до однієї з площин проекцій, називається проекціювальною прямою.

Пряма, перпендикулярна до площини проекцій П₁, називається горизонтально–проекціювальною прямою (пряма s на рис. 3.6,а); пряма, перпендикулярна до площини проекцій П₂, називається фронтально–проекціювальною прямою (пряма t на рис. 3.6,б); пряма, перпендикулярна до площини проекцій П₃, називається профільно–проекціювальною прямою (пряма q на рис. 3.6,в).

Н а одній з площин проекцій проекціювальна пряма зображується у вигляді точки, а на інших – у вигляді відрізків, які займають горизонтальне або вертикальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка.

Взаємне розташування двох прямих

Дві прямі у просторі одна відносно другої можуть бути взаємно паралельними, перетинатися або перехрещуватися (мимобіжні прямі).

Паралельні прямі. Якщо прямі у просторі паралельні, їх однойменні проекції на будь-яку площину також взаємно паралельні. І навпаки, якщо однойменні проекції прямих паралельні, то прямі паралельні між собою.

---

П

рямі, що перетинаються. Якщо прямі в просторі перетинаються, на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються у точках, розташованих на одній вертикальній лінії сполучення.

Мимобіжні прямі. Якщо дві прямі не паралельні між собою і не перетинаються, то вони перехрещуються в просторі. Подібні прямі називають мимобіжними. Вони не мають спільної точки. Однойменні проекції двох мимобіжних прямих можуть перетинатися, але точки перетину кожної пари проекцій цих прямих не лежать на одній лінії сполучення.

Визначення видимості геометричних образів

Пару точок, розташованих на одному перпендикулярі до площини проекцій, називають конкуруючими точками. За їх допомогою визначається видимість геометричних фігур на епюрі. Такий спосіб визначення видимості геометричних елементів називається способом конкуруючих точок.

Точки 1 і 2 розташовані на горизонтально-проекціювальній прямій. Точка 1 розташована далі від площини П₁, ніж точка 2. Тому, для спостерігача, який дивиться в напрямку на П₁зверху, видимою буде точка 1.

Т
очки 3 і 4 розташовані на фронтально-проекціювальній прямій. Відповідно точка 3 буде видимою, а 4 – невидимою.

Проекції прямого кута

Прямий кут проекціюється на площину проекцій в натуральну величину, якщо прямі, які його утворюють, паралельні цій площині.

Якщо прямі, які формують прямий кут, є прямими загального положення, то такий кут проекціюється на площину проекцій із спотворенням.

Якщо одна із сторін прямого кута паралельна площині проекцій, то його проекція на цю площину проекцій є також прямим кутом.

Взаємні положення точки та прямої

Т очка та пряма у просторі можуть займати такі положення по відношенню одна до другої:

– точка лежить на прямій;

• точка не лежить на прямій.

Точка належить прямій, якщо її проекції належать тим же проекціям прямої та знаходяться на одній лінії сполучення, і не належить прямій, коли хоча б одна з її проекцій не належить тій же проекції прямої.

Лекція 3.

ПЛОЩИНА НА КОМПЛЕКСНОМУ КРЕСЛЕННІ.

Площина – це поверхня нульової кривини. Пряма, що проходить через дві будь-які точки цієї поверхні належить цій поверхні рештою своїх точок.

Площина у просторі може бути заданою:

а) трьома точками, що не лежать на одній прямій (рис. 4.1,а);

б) прямою і точкою, розташованою поза прямою (рис. 4.1,б);

в) двома прямими, що перетинаються (рис. 4.1,в);

г) двома паралельними прямими (рис. 4.1,г);

д ) трикутником або іншою n-кутною плоскою фігурою (рис. 4.1,д).

Площина у просторі може займати різні положення відносно площин проекцій.

Площину, яка не перпендикулярна та не паралельна жодній площині проекцій, називають площиною загального положення.

Проекції елементів, якими задана така площина (точки, прямі, сліди, плоскі фігури), розташовуються довільно і не вироджуються у простіший геометричний образ.

---