Файл: Вышка.docx

Ч

Пусть – произвольная точка параболы. Пусть – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда

По определению параболы . Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

(20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 ( = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой .

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

24. Гипербола и ее основные свойства.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть заданная постоянная величина меньшая, чем расстояние между фокусами

Пусть фокусы гиперболы лежат на оси Ох, причем т. е. Заметим, что

Пусть – произвольная точка гиперболы. Как и ранее, – фокальные радиусы точки М.

По определению гиперболы:

где

Следовательно,

(10)

Умножим (10) на

(11)

Сложим уравнения (10) и (11):

(12)

Возведем (12) в квадрат:

Пусть

(13)

(13) – каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат. Соответственно, уравнение

– каноническое уравнение гиперболы с центром в точке

Числа a и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид:

Точки называются вершинами гиперболы.

Заметим, что если уравнение гиперболы имеет вид

(14)

то фокусы гиперболы находятся на оси Оу, а ветви гиперболы будут направлены не влево и вправо, а вверх и вниз.

Так как , то (15)

Как и в случае с эллипсом, эксцентриситетом гиперболы называется отношение межфокусного расстояния к длине действительной оси :

(16)

Следовательно,

Выразим фокальные радиусы точки через эксцентриситет. Из (12)

(17)

Прямые называются директрисами гиперболы.

– левая директриса,

– правая директриса.

Директрисы гиперболы обладают тем же свойством, что и директрисы эллипса

(18)

т. е. отношение расстояния от любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.

Для гиперболы важную роль играют также прямые

(19)

которые являются ее асимптотами, т. е. прямыми к которым график гиперболы неограниченно близко приближается, но не пересекает их. Заметим, что асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями прямоугольника (если их продолжить)

Следует отметить, что если уравнение гиперболы имеет вид (14), т. е. ее фокусы находятся на оси Оу, то изменятся формулы для вычисления фокальных радиусов, эксцентриситета, директрис. Так – эксцентриситет, – уравнения директрис.

25. Угол между прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

26. Комплексные числа и действия над ними.

27. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

28. Угол между двумя прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

29. Понятие квадратичной формы. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичной формой от п переменных называется сумма (функция) вида ,

где – вещественные числа (коэффициенты), .

Матричная запись квадратичной формы ,

где – матрица квадратичной формы, .

Квадратичная форма называется положительно (отрицательно) определенной, если для всех значений переменных, не равных нулю одновременно.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны, т. е.

(критерий Сильвестра).

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы чередовали знак с минуса на плюс, т. е. .

Примеры

17. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной:

.

Р е ш е н и е. Запишем матрицу квадратичной формы:

.

Найдем главные миноры:

,

.

Согласно критерию Сильвестра, квадратичная форма положительно определенная.