Гладышева И.Ю.

Введение в математику

Оглавление

1. Числовые выражения

Свойства дробей

1. Основное свойство дроби

.

2. Действия с дробями

2.1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

.

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Приведение дробей к общему знаменателю:

2. Сокращение дроби. Если в дроби числитель , знаменатель , то можно сократить числитель и знаменатель дроби на число k: .

2. Умножение дроби на число.

3. Умножение дробей. Умножим числитель на числитель. Умножим знаменатель на знаменатель.

2. Деление дробей. Разделить на дробь – значит умножить на обратную дробь .

2. Линейные уравнения и системы линейных уравнений

   1. Линейное уравнение с одной переменной

тождество, верное равенство.

линейное уравнение с одной переменной х.

– корень уравнения, если .

Если , то уравнение не имеет корней.

Корень уравнения – это значение переменной, при котором уравнение обращается в тождество.

уравнение

В линейном уравнении переменные в первой степени. Иначе уравнение называется нелинейным.

– линейное уравнение, – переменная.

– корень уравнения.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что корней нет.

---

Уравнение имеет два корня – числа Уравнение также имеет корни Такие уравнения называются равносильными уравнениями.

Задания для решения

1. Решите уравнения с одной переменной:

2. Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(1)

СЛУ – система линейных уравнений.

При решении СЛУ по формулам Крамера необходимо найти 3 определителя:

определитель системы.

Возможны 3 случая:

1. Единственное решение системы (1) находим по формулам Крамера:

2. Решений нет.

3. При система имеет множество решений.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Решение. Найдём определители:

По формулам Крамера получаем решение системы:

3. Алгебраические выражения

   1. Формулы сокращённого умножения

1. квадрат суммы a и b равен квадрату первого члена плюс удвоенное произведение первого члена на второй плюс квадрат второго члена;

2. квадрат разности a и b;

3. разность квадратов;

4. разность кубов;

5. сумма кубов;

6. куб суммы;

7. куб разности.

2. Тождественные преобразования рациональных выражений

Пример. Найдём и из тождества:

Приведём дроби к общему знаменателю:

Дроби и равны, их знаменатели равны. Значит, равны числители:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

Пример 4. Выполним деление многочленов с остатком: .

Пример 5. Выполним деление многочленов без остатка:

Задания для решения

1. Упростите выражение:

2. Найдите и из тождества:

3. Выполните деление многочленов с остатком:

а) б)

4. Сократите дроби:

3. Квадратное уравнение и его корни

квадратное уравнение

приведённое квадратное уравнение,

Рассмотрим квадратное уравнение

Получим равносильное приведённое квадратное уравнение

Выделим полный квадрат:

Уравнения (1) и (2) имеют одинаковые корни.

дискриминант.

1. уравнение имеет 2 различных действительных корня.

(3) – формула корней квадратного уравнения.

то уравнение (2) принимает вид:

В этом случае уравнение (1) имеет два одинаковых корня

то уравнение

не имеет действительных корней.

квадратный трёхчлен.

Квадратный трёхчлен можно разложить на множители вида:

,

корни уравнения

Задания для решения

1. Разложите квадратный трёхчлен на множители:

4. Теорема Виета

Теорема Виета: приведённое квадратное уравнение. Тогда сумма корней произведение корней

Доказательство: .

Если то уравнение имеет два корня:

Найдём сумму и произведение корней:

Задания для решения

2. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

5. Уравнения, сводящиеся к квадратным

биквадратное уравнение.

новая переменная.

Получим квадратное уравнение .

Пример 3. Решим биквадратное уравнение

новая переменная.

Получим квадратное уравнение

– корни квадратного уравнения,

– корни биквадратного уравнения.

Пример 4. Решим уравнение

---

ОДЗ: . (1)

Выполним умножение в знаменателях дробей и получим:

Введём новую переменную . Получим уравнение.

, (2)

ОДЗ: . (3)

Умножим уравнение (2) на . Получим

Корни этого уравнения удовлетворяют условиям (2). Значит,

или .

Уравнение не имеет корней.

Уравнение имеет корни , которые условиям (1). Значит, исходное уравнение имеет два корня:

Ответ: :

Задания для решения

3. Решите уравнение с помощью замены переменной:

4. Множества

   1. Числовые множества

множество натуральных чисел

множество целых чисел

множество рациональных чисел.

множество иррациональных чисел.

множество действительных чисел.

, - отношения включения между множествами.

2. Операции над множествами

Рассмотрим множества:

множество B равно множеству C , т.к. B и C состоят из одинаковых элементов.

D подмножество A, т.к. элементы множества D принадлежат множеству A.

_ пустое множество.

Пустое множество _ не содержит элементов.

1. П
   ересечение множеств

пересечение множеств A и B равно Х.

знак пересечения

Множество Х содержит одинаковые элементы A и В.

пересечение множеств пусто, т.к. A и M не содержат одинаковых элементов.

2. Объединение множеств

объединение множеств A и B равно Y.

знак объединения

2. Разность множеств

разность множеств и .

Из множества A убираем одинаковые элементы A и B.

разность множеств

Из множества B тоже убрали элементы 2 и 4.

отрезок ab

интервал ab

полуинтервал ab

полуинтервал ab

Пример 1. Даны множества .

, , , .

Задания для решения

1. Даны множества A и B. Найдите пересечение, объединение и разность множеств А и В.

.

4. Прямоугольная система координат

   1. Прямоугольные координаты точки

Две взаимно перпендикулярные оси и , имеющие общее начало О и одинаковую масштабную единицу, образуют прямоугольную систему координат (рисунок 3.1).

О сь называется осью абсцисс, ось – осью ординат. Обе оси называются осями координат. Плоскость, в которой расположены оси и , называется координатной плоскостью и обозначается .

Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из нее перпендикуляры МА и МВ на оси и соответственно.

Прямоугольными координатами и точки М будем называть соответственно величины ОА и ОВ направленных отрезков и : , (рисунок 3.1). Координаты и точки M называются соответственно её абсциссой и ординатой. Запись обозначает точку М с координатами , , причём первой всегда указывают абсциссу, а второй – ординату. Точка О имеет координаты (0;0).

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке М плоскости соответствует единственная пара чисел – ее прямоугольные координаты. И, обратно, любой паре чисел соответствует единственная точка М плоскости такая, что ее абсцисса равна , а ордината равна . Это означает, что между точками плоскости и множеством пар чисел существует взаимно однозначное соответствие, что даёт возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

---

Оси координат разбивают плоскость на четыре координатных угла (рисунок 3.2). На рисунке 3.2 показаны знаки координат точек в зависимости от их расположения.

2. Векторы на плоскости и в пространстве

Вектором называется направленный отрезок с началом в точке и концом в точке . Вектор можно перемещать параллельно самому себе. Векторы можно обозначать двумя прописными буквами или одной строчной буквой (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка .

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым.

Координаты вектора. Перенесём вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат.

Координатами вектора называются координаты его конца: (рисунок 3.4).

Если , – две произвольные точки плоскости, то координаты вектора находим вычитанием из координат конца координат его начала:

.

- мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел
( ), записываемых в виде , где – i-тая координата вектора. Множество n-мерных векторов называют векторным пространством и обозначают . Мы будем рассматривать только векторы на плоскости (пространство ) и в трёхмерном пространстве . Рассмотрим два вектора и из пространства .

Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор, координаты которого равны сумме (разности) соответствующих координат векторов и :

,

.

Складывать и вычитать можно только векторы одинаковой размерности. Например, если даны векторы , , , , то можно сложить векторы и или и :

; .

Произведением вектора на число называется новый вектор , координаты которого равны координатам вектора , умноженным на число :

.

Векторы и называются коллинеарными, если их соответствующие координаты пропорциональны:

.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Пример 3.1. При каких значениях х, у векторы и коллинеарны?

Решение. Координаты векторов в этом случае пропорциональны, т.е.

. Тогда

Таким образом, получаем векторы , которые коллинеарны.

4. Геометрические фигуры на плоскости

   1. Треугольники

– точка пересечения прямых и

O – точка пересечения биссектрис – радиус вписанной окружности Площадь треугольника: – полупериметр треугольника

Задания для решения

1. Разность двух смежных углов равна 20⁰. Найдите больший угол.

2. Углы треугольника пропорциональны числам 3:7:8. Найдите больший угол.

3. Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60⁰ больше угла при основании. Найдите угол при основании треугольника.

4. В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине треугольника, равен 70⁰. Найдите угол при основании треугольника.

5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся как 5:12. Найдите больший катет треугольника.

6. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 25 см.

7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 6. Другой катет равен 8. Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе.

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе.

9. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, равна одному из катетов. Найдите меньший угол треугольника.

10. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1:2. Больший катет равен . Найдите радиус описанной окружности.

11. В прямоугольном треугольнике АВС известно, что , . Около треугольника описана окружность с центром О. Найдите угол .

12. Катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике равны соответственно 10 и 26. Найдите радиус вписанной окружности.

13. Найдите радиус круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной .

14. Найдите площадь правильного треугольника со стороной .

15. В равностороннем треугольнике высота равна 9. найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

16. Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана СМ и высота СК. Найдите длину отрезка МК, если катеты равны 6 и .

---

Ответы: 1. 100 . 2. 80 . 3. 40 . 4. 35 . 5. 24 см. 6. 150. 7. 5. 8. 5. 9. 30 . 10. 4. 11. 100 . 12. 4.13. 12. 14. 27. 15. 3. 16. 0,5.

2. Четырёхугольники

	Параллелограмм АВСD – диагонали, , , ,
	ромб ABCD, AB=BC=CD=AD , диагонали ромба
	Трапеция АВСD, AD – большее основание DC – меньшее основание AB и CD – боковые стороны трапеции h – высота трапеции

Задания для решения

1. Сторона ромба равна пяти, а меньшая диагональ равна шести. Найдите большую диагональ.

2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны шести и восьми.

3. Сторона ромба равна 17 см, одна из диагоналей равна 30 см. найдите длину второй диагонали.

4. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 10, а диагонали относятся как 3:4.

5. В прямоугольнике ABCD проведена диагональ AC. Угол в 8 раз меньше, чем угол . Найдите угол .

6. Площадь прямоугольника равна 400 см². Стороны относятся как 4:1. Найдите большую сторону прямоугольника.

7. Периметр параллелограмма равен двадцати восьми. Большая сторона равна восьми. Найти меньшую сторону параллелограмма.

8. Сумма противоположных углов параллелограмма равна 94 . Найдите больший угол параллелограмма.

9. Боковые стороны и меньшее основание прямоугольной трапеции равны соответственно 8,10 и 10. Найдите большее основание.

Ответы. 1. 8. 2. 5. 3. 16 см. 4. 96. 5. 80 . 6. 40 см. 7. 6. 8. 133 . 9. 16.

3. Окружность и круг

	Окружность О – центр окружности OA = R – радиус окружности АВ – диаметр окружности, АВ = 2R AD – хорда , BD – дуга C=2R длина окружности
 – центральный угол. Дуга BD стягивает угол  длина дуги BCD – вписанный угол. BCD опирается на дугу BD
	AB – касательная AD – секущая BE – хорда
	Круг. площадь круга BOC – круговой сектор – площадь сектора

Задания для решения

1. Длина окружности равна . Найдите площадь круга.

2. Радиусы кругов относятся как 1:2. Длина окружности большего круга равна . Найдите площадь меньшего круга.

3. Площади кругов относятся как 1:16. Радиус меньшего круга равен 4/. Найдите длину окружности большего круга.

4. Во сколько раз увеличится длина окружности, если её радиус увеличить в 3 раза?

5. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его радиус увеличить в 2 раза?

6. Во сколько раз увеличится длина окружности, если площадь её круга увеличить в 16 раз?

7. Площадь кругового сектора с центральным углом 20^о равна 2. Найдите радиус сектора.

8. Дана окружность радиуса 26 см. Длина хорды равна 48см. Найдите расстояние от центра окружности до хорды.

Ответы:

1. 4. 2. 4. 3. 32. 4. 3. 5. 4. 6. 4. 7. 6. 8. 10см.

4. Функции

1. Основные понятия

–функция

– независимая переменная, – зависимая переменная. Независимую переменную называют аргументом. Зависимая переменная – это функция аргумента .

---