Значения независимой переменной образуют область определения функции (дэ от игрек). Значения зависимой переменной образуют область значений функции .

Функция .

Область определения , область значений E

Способы задания функции

Задать функцию значит указать, как по каждому значению находить значение функции .

Рассмотрим три основных способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

1. Аналитический способ, т.е. с помощью формулы . Формула задаёт функцию с областью определения и такой же областью значений. Формула задаёт функцию с областью определения и областью значений

2. Табличный способ. Значения аргумента и соответствующие значения функции показаны в таблице:

   x	0
   	0								0

3. Графический способ. Функция задаётся графиком.

Свойства функций

1. чётная функция, если ,

нечётная функция, если ,

График чётной функции симметричен относительно оси (рисунок 11.4). График нечётной функции симметричен относительно начала координат – точки (рисунок 11.5).

Рисунок 11.4

Рисунок 11.5

2. 

возрастает, если

убывает, если

2. Функции

Функция

– прямая пропорциональная зависимость.

График функции

– прямая (линия).

График проходит через начало координат – точку .

– угловой коэффициент прямой.

Область определения – вся числовая ось: .

Область значений – вся числовая ось: .

Функция нечётная, так как .

Пример 1. В системе координат начертим графики функций Для построения прямой линии необходимо две точки. Зададим таблицы значений.

Функция возрастает, т.к.

Функция убывает, т.к. .

Рисунок 11.9

Функция

для любого x

Функция чётная, т.к. .

область определения, область значений.

График функции симметричен относительно оси

Построение графиков методом преобразований

Функция , , – график функции .

смещение на a вправо.

смещение на a влево.

смещение на b вверх.

смещение на b вниз.

смещение на a вправо и на b вверх

Пример 2. Построим графики функций и .

1. . Смещение графика функции на 3 влево и на 2 вверх. Функция убывает при и возрастает при .

Рисунок 11.11

6. Постройте график функции:

Функция задаёт обратную пропорциональную зависимость.

область определения.

точка разрыва функции.

область значений.

График функции называется гипербола.

Рисунок 11.12

Пример 3. Построим график функции по точкам. Зададим таблицу значений:

---

Функция убывает. Функция нечётная.

График функции симметричен относительно начала координат – точки .

Задания для решения

1. На одной координатной плоскости методом преобразований постройте графики функций , , .

3. Линейная функция

линейная функция.

График линейной функции – прямая (линия). обозначение прямой.

Прямая пересекает ось в точке b. k – угловой коэффициент прямой.

две прямые.

1. Прямые параллельны, если .

2. Прямые пересекаются, если .

прямые и пересекаются в точке A.

3. Прямые перпендикулярны, если .

Пример 1. В системе координат построим прямые и .

– точка пересечения прямых.

Прямые перпендикулярны, т.к. , , .

Рисунок 12.2

Задания для решения

2. Найдите угловой коэффициент прямой и точку пересечения прямой с осью :

   а) ;	б) ;	в) ;
   г) ;	д) ;	е) .

3. Постройте графики функций:

а) и ;	б) и ;
в) и ;	г) и ;
д) и ;	е) и .

Какие графики пересекаются? Сколько точек пересечения?

3. Функции , ,

Задание 5. Смотрите, слушайте, повторяйте.

целая рациональная функция (многочлен степени n), натуральное число.

Область определения функции – множество действительных чисел: ;+

квадратичная функция.

Пример 5. Построим график функции .

Зададим таблицу значений и построим график по точкам:

График функции изображён на рисунке 14.1.

Свойства функции

1. Функция чётная:

2. при при и при

3. Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке Функция имеет наименьшее значение

График функции называется парабола.

парабола.

Точка вершина параболы.

Ветви параболы направлены вверх.

Парабола симметрична относительно оси .

Графики функций построим методом преобразований.

1. График функции при получается из графика функции растяжением от оси в раз, а при сжатием к оси в раз.

График функции это парабола, полученная из параболы растяжением от оси в 2 раза (рисунок 14.3).

График функции это парабола, полученная из параболы сжатием к оси в 2 раза (рисунок 14.4).

Рисунок 14.3

Рисунок 14.4

Можно построить графики функций и по точкам. Зададим таблицу значений.

2. График функции это зеркальное отражение графика функции относительно оси График функции изображён на рисунке 14.2.

3. . График функции . Сместим график функции на n единиц вверх вдоль оси .

---

. Сместим график функции на n единиц …......

График функции парабола с вершиной в точке

График функции изображён на рисунке 14.5. это парабола с вершиной в точке …….

Рисунок 14.5

Рисунок 14.6

4. . График функции парабола с вершиной в точке

График функции изображён на рисунке 15.6. это парабола с вершиной в точке ……

Задания для решения

9. Постройте в одной системе координат графики функций , и .

Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.

9. Постройте в одной системе координат графики функций:

В какой точке находится вершина параболы? В какой точке парабола пересекает ось Oy?

9. Постройте график функции:

.

3. График и свойства квадратичной функции

– квадратичная функция

Квадратичную функцию можно задать формулой вида .

Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

.

Обозначим и . Получим

График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .

Ось симметрии параболы – прямая .

Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)

Пример 6. Построим график функции .

Решение. Выделим полный квадрат: парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5).

Задания для решения

9. Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:

9. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

3. Системы уравнений с двумя переменными

Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.

Решение. x – первое число, y – второе число.

Нужно решить систему уравнений:

График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.

_{Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.}

Рисунок 14.7

– корни уравнения . Найдём соответствующие значения переменной y: Ответ: .

Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.

Рисунок 14.8

Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой . Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении. Ответ: 3 решения.

8. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

   1. Показательная функция

– число е.

экспонента.

Пример 1. Построим графики функций и по точкам.

x	-2	-1	0	1	2		x	-2	-1	0	1	2
y	0,25	0,5	1	2	4		y	4	2	1	0,5	0,25

---

Рисунок 15.1

Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..

Задания для решения

1. Постройте графики функций методом преобразований или с помощью таблицы значений:

1) , ; и .

2) , , ; и ;

3) , и , и ;

4) , , .

2. Показательные уравнения

_{Свойства функции ,}

;	;
;	;
.

Пример 2. Решим показательные уравнения:

3. Логарифмическая функция ,

логарифм x по основанию а.

_{Логарифм существует только для положительных чисел.}

десятичный логарифм x.

натуральный логарифм x

Пример 2. Построим графики функций и по точкам. Зададим таблицы значений:

x	0,125	0,25	0,5	1	2	4
	–3	–2	–1	0	1	2

x	0,125	0,25	0,5	1	2	4
	3	2	1	0	–1	–2

Рисунок 15.2

Функция возрастает, функция ….

Функция пересекает ось Ox в точке (1;0).

Задания для решения

2. Постройте графики функций:

   а) ;	б) ;
   б) ;	в) .

3. Постройте графики функций

а) , б) , в) .

Чем отличаются эти графики?

4. Показательные и логарифмические уравнения

_{Свойства функции ,}

;	;
;	;
.

Свойства функции ,

1. ;

2. логарифм единицы равен нулю;

3. степень выносим из-под знака множителем;

4. логарифм произведения равен сумме логарифмов;

5. логарифм частного равен разности логарифмов.

6. ;

7. ;

Пример 4. Решим логарифмические уравнения:

Задания для решения

4. Решите показательные уравнения:

а) . Отв.: 35.

б) . Отв.: 5,2 и 2,5.

в) . Отв.: 1.

г) . Отв.: – 1.

5. Решите логарифмические уравнения:

а) . Отв.: 1

б) . Отв.: 2.

в) . Отв.: 9.

8. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

   1. Таблица значений тригонометрических и
      обратных тригонометрических функций

Таблица 7.1
Значения тригонометрических функций

Пример 1. Найдём значения , .

Решение. В таблице 16.1 в строке найдём число и соответствующее ему значение угла , т.е. . В строке найдём число 1 и соответствующее ему значение угла , т.е. .

1. Найдите значение выражения:

а)	г)
б)	д)
в) ;	е) .

2. Графики тригонометрических функций

Пример 2. Используя таблицу 16.1, построим графики функций и по точкам.

Рисунок 16.1

На рисунке 16.2 изображён график функции .

Рисунок 16.2

Задания для решения

2. Постройте график функции .

3. Методом преобразований постройте графики тригонометрических функций.

А) ;	б) ;
в) ;	г) ;
д) ;	е) .

4. Найдите значение выражения

1) ;	3) ;	5) ;
2) ;	4) ;	6) .

3. Тригонометрические преобразования и уравнения

Тригонометрические формулы

1) ;	6) ;
2) ;	7) ;
3) ;	8) ;
4) ;	9) ;
5) ;	10) ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;		16) .

---

Пример 3. Преобразуем выражение и вычислим его значение, если .

Решение. По формулам 4) и 6)

, .

По формуле 5) .

По формулам 1) и 16) .

Задания для решения

4. Преобразуйте выражение и вычислите его значение:

   а) ,если ;

   б) , если ;

   в) , если ;

   г) , если ;

   д) , если .

5. Упростите выражение:

   а) ;	б) ;
   в) ;	г) ;
   д) ;
   е) ;
   ж) .

6. Решите уравнения:

   1) . Отв. .

   2) . Отв. .

   3) . Отв. .

   4) . Отв. .

7. Найдите значение выражения

1) ;	3) ;	5) ;
2) ;	4) ;	6) .

10. Арифметическая и геометрическая прогрессии

1. Арифметическая прогрессия

– арифметическая прогрессия.

, – формулы n-го члена арифметической прогрессии.

D – разность арифметической прогрессии.

– сумма n первых членов арифметической прогрессии.

– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

арифметическая прогрессия.

первый член арифметической прогрессии,

второй член арифметической прогрессии,

десятый член арифметической прогрессии,

эн плюс первый член арифметической прогрессии.

сумма десяти первых членов арифметической прогрессии.

?

Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если её четвёртый член равен 11, а седьмой член равен 20.

Решение. .

. Разность арифметической прогрессии . Найдём первый член: , .◄

Задачи.

1. Найти арифметическую прогрессию, если сумма второго и пятого членов равна 14, а сумма третьего и восьмого членов равна 6.

2. Найти арифметическую прогрессию, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма их квадратов равна 8.

3. Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых трёх её членов равна 15, а произведение этих же членов равно 80.

4. В арифметической прогрессии найти:

9. Геометрическая прогрессия

– геометрическая прогрессия

– формула n-го члена геометрической прогрессии.

– первый член геометрической прогрессии,

– n-ый (энный) член геометрической прогрессии,

q – знаменатель геометрической прогрессии,

– сумма n первых членов геометрической прогрессии,

– формула для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Если – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 2. геометрическая прогрессия: первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,

, , .

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

.

Пример 3. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,

первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии, , .

---