Файл: Введение в математику лекции.doc

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.07.2020

Просмотров: 2429

Скачиваний: 10

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление

Свойства дробей

Задания для решения

Значения независимой переменной образуют область определения функции (дэ от игрек). Значения зависимой переменной образуют область значений функции .

Функция .

Область определения , область значений E

Способы задания функции

Задать функцию значит указать, как по каждому значению находить значение функции .

Рассмотрим три основных способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

  1. Аналитический способ, т.е. с помощью формулы . Формула задаёт функцию с областью определения и такой же областью значений. Формула задаёт функцию с областью определения и областью значений

  2. Табличный способ. Значения аргумента и соответствующие значения функции показаны в таблице:

    x

    0

    0

    0

  3. Графический способ. Функция задаётся графиком.

Свойства функций

  1. чётная функция, если ,

нечётная функция, если ,

График чётной функции симметричен относительно оси (рисунок 11.4). График нечётной функции симметричен относительно начала координат – точки (рисунок 11.5).

Рисунок 11.4

Рисунок 11.5

возрастает, если

убывает, если

    1. Функции

Функция

– прямая пропорциональная зависимость.

График функции

– прямая (линия).

График проходит через начало координат – точку .

– угловой коэффициент прямой.

Область определения – вся числовая ось: .

Область значений – вся числовая ось: .

Функция нечётная, так как .

Пример 1. В системе координат начертим графики функций Для построения прямой линии необходимо две точки. Зададим таблицы значений.









Функция возрастает, т.к.

Функция убывает, т.к. .

Рисунок 11.9

Функция

для любого x

Функция чётная, т.к. .

область определения, область значений.

График функции симметричен относительно оси

Построение графиков методом преобразований

Функция , , – график функции .

смещение на a вправо.

смещение на a влево.

смещение на b вверх.

смещение на b вниз.

смещение на a вправо и на b вверх

Пример 2. Построим графики функций и .

  1. . Смещение графика функции на 3 влево и на 2 вверх. Функция убывает при и возрастает при .

Рисунок 11.11

  1. Постройте график функции:

Функция задаёт обратную пропорциональную зависимость.

область определения.

точка разрыва функции.

область значений.

График функции называется гипербола.

Рисунок 11.12

Пример 3. Построим график функции по точкам. Зададим таблицу значений:

Функция убывает. Функция нечётная.

График функции симметричен относительно начала координат – точки .

Задания для решения

  1. На одной координатной плоскости методом преобразований постройте графики функций , , .

  1. Линейная функция

линейная функция.

График линейной функции – прямая (линия). обозначение прямой.

Прямая пересекает ось в точке b. k – угловой коэффициент прямой.

две прямые.

  1. Прямые параллельны, если .

  2. Прямые пересекаются, если .

прямые и пересекаются в точке A.

  1. Прямые перпендикулярны, если .

Пример 1. В системе координат построим прямые и .





– точка пересечения прямых.

Прямые перпендикулярны, т.к. , , .

Рисунок 12.2

Задания для решения

  1. Найдите угловой коэффициент прямой и точку пересечения прямой с осью :

    а) ;

    б) ;

    в) ;

    г) ;

    д) ;

    е) .

  2. Постройте графики функций:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;

д) и ;

е) и .

Какие графики пересекаются? Сколько точек пересечения?

  1. Функции , ,

Задание 5. Смотрите, слушайте, повторяйте.

целая рациональная функция (многочлен степени n), натуральное число.

Область определения функции – множество действительных чисел: ;+

квадратичная функция.

Пример 5. Построим график функции .

Зададим таблицу значений и построим график по точкам:




График функции изображён на рисунке 14.1.

Свойства функции

  1. Функция чётная:

  2. при при и при

  3. Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке Функция имеет наименьшее значение

График функции называется парабола.

парабола.

Точка вершина параболы.

Ветви параболы направлены вверх.

Парабола симметрична относительно оси .

Графики функций построим методом преобразований.

  1. График функции при получается из графика функции растяжением от оси в раз, а при сжатием к оси в раз.

График функции это парабола, полученная из параболы растяжением от оси в 2 раза (рисунок 14.3).

График функции это парабола, полученная из параболы сжатием к оси в 2 раза (рисунок 14.4).

Рисунок 14.3

Рисунок 14.4

Можно построить графики функций и по точкам. Зададим таблицу значений.

  1. График функции это зеркальное отражение графика функции относительно оси График функции изображён на рисунке 14.2.

  2. . График функции . Сместим график функции на n единиц вверх вдоль оси .

. Сместим график функции на n единиц …......

График функции парабола с вершиной в точке

График функции изображён на рисунке 14.5. это парабола с вершиной в точке …….

Рисунок 14.5

Рисунок 14.6

  1. . График функции парабола с вершиной в точке

График функции изображён на рисунке 15.6. это парабола с вершиной в точке ……

Задания для решения

  1. Постройте в одной системе координат графики функций , и .

Найдите промежутки возрастания и убывания для каждой из функций.

  1. Постройте в одной системе координат графики функций:

В какой точке находится вершина параболы? В какой точке парабола пересекает ось Oy?

  1. Постройте график функции:

.

  1. График и свойства квадратичной функции

– квадратичная функция

Квадратичную функцию можно задать формулой вида .

Доказательство. Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

.

Обозначим и . Получим

График функции – парабола с вершиной в точке . Значит, график функции – парабола с вершиной в точке .

Ось симметрии параболы – прямая .

Парабола пересекает ось Oy в точке (0;с)

Пример 6. Построим график функции .

Решение. Выделим полный квадрат:

парабола с вершиной в точке (2; –3). Ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке (0;5).

Задания для решения

  1. Найдите вершину параболы, точку пересечения параболы с осью , точки пересечения с осью (если такие есть). Схематически постройте параболу по полученным точкам:

  1. Найдите координаты точек пересечения графиков функций:

  1. Системы уравнений с двумя переменными

Пример 7. Сумма квадратов двух чисел равна 25. Разность чисел равна 1. Найдём числа.

Решение. x – первое число, y – второе число.

Нужно решить систему уравнений:

График уравнения – окружность радиуса с центром в начале координат. График уравнения – прямая линия.

Окружность и прямая пересекаются в двух точках (рисунок 14.7). Значит, система уравнений имеет два решения.

Рисунок 14.7

– корни уравнения .

Найдём соответствующие значения переменной y:

Ответ: .

Пример 8. Найдите количество решений системы уравнений графически.

Рисунок 14.8

Решение. Графики функций построим схематически. Гипербола получается смещением гиперболы вправо на 1 и растяжением от оси в 2 раза. Вершина параболы находится в точке . Парабола пересекает ось в точке (0;–5) и симметрична относительно прямой .

Гипербола и парабола пересекаются в трёх точках. Значит, система уравнений имеет три решении.

Ответ: 3 решения.

  1. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

    1. Показательная функция

– число е.

экспонента.

Пример 1. Построим графики функций и по точкам.



x

-2

-1

0

1

2


x

-2

-1

0

1

2

y

0,25

0,5

1

2

4


y

4

2

1

0,5

0,25

Рисунок 15.1

Графики функций пересекают ось Oy в точке (0;1). Графики функций и симметричны относительно оси Oy. Функция возрастает на всей числовой оси, функция …..

Задания для решения

  1. Постройте графики функций методом преобразований или с помощью таблицы значений:

1) , ; и .

2) , , ; и ;

3) , и , и ;

4) , , .

    1. Показательные уравнения

Свойства функции ,

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. .

Пример 2. Решим показательные уравнения:

    1. Логарифмическая функция ,

логарифм x по основанию а.

Логарифм существует только для положительных чисел.

десятичный логарифм x.

натуральный логарифм x

Пример 2. Построим графики функций и по точкам. Зададим таблицы значений:

x

0,125

0,25

0,5

1

2

4

–3

–2

–1

0

1

2

x

0,125

0,25

0,5

1

2

4

3

2

1

0

–1

–2

Рисунок 15.2

Функция возрастает, функция ….

Функция пересекает ось Ox в точке (1;0).

Задания для решения

  1. Постройте графики функций:

    а) ;

    б) ;

    б) ;

    в) .

  2. Постройте графики функций

а) , б) , в) .

Чем отличаются эти графики?

    1. Показательные и логарифмические уравнения

Свойства функции ,

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. ;

  1. .

Свойства функции ,

  1. ;

  2. логарифм единицы равен нулю;

  3. степень выносим из-под знака множителем;

  4. логарифм произведения равен сумме логарифмов;

  5. логарифм частного равен разности логарифмов.

  6. ;

  7. ;

Пример 4. Решим логарифмические уравнения:

Задания для решения

  1. Решите показательные уравнения:

а) . Отв.: 35.

б) . Отв.: 5,2 и 2,5.

в) . Отв.: 1.

г) . Отв.: – 1.

  1. Решите логарифмические уравнения:

а) . Отв.: 1

б) . Отв.: 2.

в) . Отв.: 9.

  1. ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

    1. Таблица значений тригонометрических и
      обратных тригонометрических функций

Таблица 7.1
Значения тригонометрических функций

Пример 1. Найдём значения , .

Решение. В таблице 16.1 в строке найдём число и соответствующее ему значение угла , т.е. . В строке найдём число 1 и соответствующее ему значение угла , т.е. .

  1. Найдите значение выражения:

а)

г)

б)

д)

в) ;

е) .

    1. Графики тригонометрических функций

Пример 2. Используя таблицу 16.1, построим графики функций и по точкам.

Рисунок 16.1

На рисунке 16.2 изображён график функции .

Рисунок 16.2

Задания для решения

  1. Постройте график функции .

  2. Методом преобразований постройте графики тригонометрических функций.

А) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

  1. Найдите значение выражения

1) ;

3) ;

5) ;

2) ;

4) ;

6) .

    1. Тригонометрические преобразования и уравнения

Тригонометрические формулы

1) ;

6) ;

2) ;

7) ;

3) ;

8) ;

4) ;

9) ;

5) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) .

Пример 3. Преобразуем выражение и вычислим его значение, если .

Решение. По формулам 4) и 6)

, .

По формуле 5) .

По формулам 1) и 16) .

Задания для решения

  1. Преобразуйте выражение и вычислите его значение:

    а) ,если ;

    б) , если ;

    в) , если ;

    г) , если ;

    д) , если .

  2. Упростите выражение:

    а) ;

    б) ;

    в) ;

    г) ;

    д) ;

    е) ;

    ж) .

  3. Решите уравнения:

    1) . Отв. .

    2) .

    Отв. .

    3) .

    Отв. .

    4) . Отв. .

  4. Найдите значение выражения

1) ;

3) ;

5) ;

2) ;

4) ;

6) .

  1. Арифметическая и геометрическая прогрессии

    1. Арифметическая прогрессия

– арифметическая прогрессия.

, – формулы n-го члена арифметической прогрессии.

D – разность арифметической прогрессии.

– сумма n первых членов арифметической прогрессии.

– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

арифметическая прогрессия.

первый член арифметической прогрессии,

второй член арифметической прогрессии,

десятый член арифметической прогрессии,

эн плюс первый член арифметической прогрессии.

сумма десяти первых членов арифметической прогрессии.

?

Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если её четвёртый член равен 11, а седьмой член равен 20.

Решение. .

. Разность арифметической прогрессии . Найдём первый член: , .◄

Задачи.

  1. Найти арифметическую прогрессию, если сумма второго и пятого членов равна 14, а сумма третьего и восьмого членов равна 6.

  2. Найти арифметическую прогрессию, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма их квадратов равна 8.

  3. Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых трёх её членов равна 15, а произведение этих же членов равно 80.

  1. В арифметической прогрессии найти:

    1. Геометрическая прогрессия

– геометрическая прогрессия

– формула n-го члена геометрической прогрессии.

– первый член геометрической прогрессии,

– n-ый (энный) член геометрической прогрессии,

q – знаменатель геометрической прогрессии,

– сумма n первых членов геометрической прогрессии,

– формула для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Если – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пример 2. геометрическая прогрессия: первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,

, , .

Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:

.

Пример 3. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,

первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии, , .

Смотрите также файлы