ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.07.2020
Просмотров: 1014
Скачиваний: 6
Министерство образования и науки Российской Федерации
Архангельский государственный технический университет
ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Методическое пособие
к выполнению курсовой работы
Архангельск
2010
Рассмотрено и рекомендовано к изданию методической комиссией
химико-технологического факультета
Архангельского государственного технического университета
24 декабря 2009 г.
Рецензенты
Ю.И. Берлин, ст. преп., кафедры бухгалтерского учета, аудита и статистики, канд. экон. наук, Всероссийский заочный финансово-экономический институт
А.Н. Шкаев, доцент, канд. хим. наук, Архангельский государственный технический университет
Планирование эксперимента: методическое пособие к выполнению курсовой работы [Текст] / авт. – сост. С.А. Кабаков. – Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2010. – 101 c.
Подготовлено на кафедре “Стандартизация, метрология и сертификация”.
Выполнение курсовой работы по дисциплине “Планирование и организация эксперимента” позволит получить навыки при планировании эксперимента с расчетом реализованного полного факторного плана, получением уравнения регрессии, проверки его адекватности и построением поверхности отклика. В методическом пособии приведены некоторые теоретические положения, а также показан пример выполнения курсовой работы.
© Архангельский государственный
технический университет, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
|
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………… |
5 |
|
1 ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ…………………. |
6 |
|
2 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА………………………… |
8 |
|
2.1 Факторы……………………………………………………… |
9 |
|
2.2 Выбор уровней варьирования факторов и основного уровня |
10 |
|
2.3 Система “черный ящик” …………………………………… |
13 |
|
2.4 Определение значимости коэффициентов регрессии……. |
16 |
|
3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА …………………………………………… |
18 |
|
3.1 Выявление грубых погрешностей ………………………... |
29 |
|
3.2 Полигон и гистограмма частот распределения ………….. |
30 |
|
4 ПРИМЕР ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ……… |
34 |
|
4.1 Первичная обработка………………………………………... |
34 |
|
4.2 Определение доверительного интервала…………………... |
38 |
|
4.3 Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерений………………………………………….. |
41 |
|
5 РАСЧЕТЫ ПО ПЛАНИРОВАНИЮ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА……………………………...……………. |
43 |
|
5.1 Расчет реализованного плана полного факторного эксперимента (ПФП)…………………………………………………… |
43 |
|
5.2 Расчет коэффициентов уравнения регрессии ……………… |
46 |
|
5.3 Определение значимости коэффициентов регрессии……… |
48 |
|
5.4 Проверка уравнения на адекватность………………………. |
45 |
|
5.5 Приведение уравнения регрессии к натуральным значениям |
50 |
|
5.6 Построение поверхности отклика………………………..... |
51 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ А Квантили распределения Стьюдента t(p,f) .. |
53 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Значение f2(t) – распределение Пирсона …… |
54 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ В Значения функции Лапласа………………… |
55 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Квантили распределения Фишера ……… |
58 |
|
ПРИЛОЖЕНИЕ Д Квантили распределения Кохрана………. |
59 |
|
Варианты для выполнения курсовой работы…………………….... |
60 |
ВВЕДЕНИЕ
Эксперименты, как правило, являются многофакторными и связаны с оптимизацией качества материалов, отысканием оптимальных условий проведения технологических процессов, параметров оборудования и т.д. Объекты таких исследований зачастую представляют собой сложную систему, поэтому, несмотря на значительный объем выполненных исследовательских работ невозможно достаточно полно изучить данный объект. В связи с этим многие решения основаны на информации, имеющей случайный характер, и поэтому отличаются от истинных значений.
Традиционные методы исследований связаны с экспериментами, которые требуют больших затрат, сил и средств, так как основаны на поочередном варьировании отдельных независимых переменных при сохранении остальных в неизменном виде.
В шестидесятые годы прошлого столетия появилось новое направление в планировании эксперимента, связанное с оптимизацией процессов – планирование экстремального эксперимента. Первая работа в этой области была опубликована в начале 50-х годов английскими учеными Боксом и Уилсоном. Они предложили последовательно ставить небольшие серии опытов, в каждой из которых одновременно изменяются (варьируются) по определенным правилам все факторы. Серии опытов проводят таким образом, чтобы после математической обработки предыдущей можно было спланировать следующую серию опытов. Так последовательно, шаг за шагом, достигается область оптимума.
Планирование эксперимента делает поведение экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно способствует повышению производительности труда и надежности полученных результатов. Важным достоинством является его универсальность, возможность применения в большинстве областей исследований.
1 ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Объект исследования – материал, продукция, оборудование или технологический процесс.
Теория – совокупность положений, объясняющие общим принципом какие-либо факты, дающие возможность открывать и объяснять новые факты.
Фактор – переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента.
Эксперимент – система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях.
Опыт – воспроизведение исследовательского явления в определённых условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов.
Математическая статистика – наука о математических методах получения, систематизации, обработки, анализа и использования статистических данных для научных и практических выводов. Математическая статистика опирается на теорию вероятности, которая дает возможность оценить надежность и точность выводов, сделанных на основе ограниченного статистического материала.
План эксперимента – совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации планов.
Активный эксперимент – эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем.
Пассивный эксперимент – эксперимент, при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем, но не задаются.
Последовательный эксперимент – эксперимент, реализуемый в виде серий, в котором условия проведения каждой последующей серии определяются результатами предыдущих.
Отклик – наблюдаемая случайная переменная, по предположению, зависящая от факторов.
Функция отклика – зависимость математического ожидания отклика от факторов.
Поверхность отклика – геометрическое представление функции отклика.
Модель регрессионного анализа – зависимость отклика от количественных факторов и ошибок наблюдения отклика.
Адекватность математической модели – соответствие математической модели экспериментальным данным по выбранному критерию.
Коэффициент регрессии – параметр модели регрессионного анализа.
Точка плана – упорядоченная совокупность числовых значений факторов, соответствующая условиям проведения опыта.
Центральная точка опыта – точка опыта, соответствующая нулям нормализованной (безразмерной) шкалы по всем факторам.
Звёздная точка плана – точка плана второго плана, лежащая на координатной оси в факторном пространстве.
Матрица плана – стандартная форма записи условий проведения экспериментов в виде прямоугольной таблицы, строки которой отвечают опытам, столбцы - факторам.
Полный факторный план – план, содержащий все возможные комбинации всех факторов на определённом числе уровней равное число раз.
Дробный факторный эксперимент – план, содержащий часть комбинаций полного факторного плана.
Регрессионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на сочетании аппарата метода наименьших квадратов и техники статистической проверки гипотез.
Дисперсионный анализ – статистический метод анализа и обработки экспериментальных данных при воздействии на отклик только количественных факторов, основанный на использовании техники статистической проверки гипотез и представлений и общей вариации экспериментальных данных в виде суммы вариации, обусловленных исследуемыми факторами и их взаимодействиями.
2 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Планирование эксперимента – это наиболее эффективное (оптимальное) управление ходом эксперимента для получения максимально возможной информации на основе минимально допустимого количества опытов.
Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называют активным экспериментом. В противном случае эксперимент является пассивным.
Перед планированием активного эксперимента собирают предварительную (априорную) информацию об исследуемом объекте. Для получения такой информации используют результаты экспериментов, проводимых в предыдущих исследованиях или описанных в литературных источниках. Планирование эксперимента позволяет варьировать всеми факторами и получать одновременно оценки их влияния. В случае статистического подхода математическую модель объекта или процесса представляют в виде полинома, т.е. отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция:
(2.1)
где b0 - свободный член;
bi - линейные эффекты;
bij - эффекты парного взаимодействия;
biju - эффекты тройного взаимодействия.
2.1 Факторы
После выбора объекта исследования и параметра оптимизации устанавливают все факторы, которые могут влиять на выбранный объект. Если какой-либо существенный фактор в ходе эксперимента принимал произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то в результате значительно возрастет ошибка опыта. Поддержание такого фактора на определенном уровне приведет к ложному представлению об оптимуме, т.к. не гарантирует оптимальности полученного уровня.
Фактором называют измеряемую переменную величину, принимающую в некоторый момент времени определенное значение и влияющую на объект исследования.
Факторы должны иметь область определения, внутри которой задают его конкретные значения. Область определения может быть непрерывной или дискретной. При планировании эксперимента значения факторов дискретные, что связано с уровнями факторов. В практических задачах области определения факторов имеют ограничения, которые носят либо принципиальный, либо технический характер.
Факторы бывают количественными и качественными.
Факторы должны быть управляемыми, что означает возможность поддерживания нужного значения фактора на постоянном уровне в течение всего опыта. Планировать эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов может задавать экспериментатор.
Например, эксперименты проводят на открытой площадке. В этом случае невозможно управлять температурой воздуха, ее можно только контролировать, и потому при выполнении опытов температуру, как фактор, не учитывают.
Точность замеров факторов должна быть максимально высокой, при этом степень точности зависит от диапазона изменения факторов. В длительных процессах, измеряемых многими часами, минуты не учитывают, а в быстрых процессах учитывают даже доли секунды.
Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фактором, который является функцией других факторов. Однако в планировании могут участвовать другие факторы, такие, как соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п.
При планировании эксперимента одновременно изменяют несколько факторов, поэтому необходимо знать требования к совокупности факторов. Прежде всего, факторы должны быть совместимы, что означает осуществимость и безопасность всех их комбинаций.
Несовместимость факторов наблюдается на границах областей их определения, а избавиться от нее можно сокращением этих областей. Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри областей определения. В этом случае одно из возможных решений – разбиение на подобласти и решение двух отдельных задач.
При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.
2.2 Выбор уровней варьирования факторов и основного уровня
Фактор считают заданным, если указаны его название и область определения. В выбранной области определения он может иметь несколько значений, которые соответствуют числу его различных состояний. Выбранные для эксперимента количественные или качественные состояния фактора называют уровнями фактора.
В планировании эксперимента значения факторов, соответствующие определенным уровням их варьирования, выражают в кодированных величинах. Под интервалом варьирования фактора понимают разность между двумя его значениями.
При выборе области определения факторов особое внимание уделяют выбору нулевой точки, или нулевого (основного) уровня. Выбор нулевой точки эквивалентен определению исходного состояния объекта исследования. Оптимизация связана с улучшением состояния объекта по сравнению с состоянием в нулевой точке. Поэтому желательно, чтобы данная точка была в области оптимума или как можно ближе к ней, тогда можно ускорить поиск оптимальных решений.
Если проведению эксперимента предшествовали другие исследования по рассматриваемому вопросу или проведен анализ имеющихся литературных данных (получение априорной информации), то за нулевую принимают точку, которой соответствует наилучшее значение параметра оптимизации, установленного в результате формализации априорной информации.
Если при постановке задачи область определения факторов задана, то центр этой области принимают за нулевую точку. Например, если в некоторой задаче фактор W (влажность) изменяется от 10 до 60 %. , то за нулевой уровень принимают среднее значение фактора, соответствующее 35 %.
После установления нулевой точки выбирают интервалы варьирования факторов. Это связано с определением таких значений факторов, которые в кодированных величинах соответствуют “+1” и “–1”. Интервалы варьирования выбирают с учетом того, что значения факторов, соответствующие уровням “+1” и “–1”, должны в достаточной степени отличаться от значения, соответствующему нулевому уровню. Поэтому во всех случаях величина интервала варьирования должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. С другой стороны, чрезмерное увеличение величины интервалов варьирования нежелательно, т.к. это может привести к снижению эффективности поиска оптимума, а очень малый интервал варьирования уменьшает область эксперимента, что замедляет поиск оптимума.