При выборе интервала варьирования целесообразно учитывать, если это возможно, число уровней варьирования факторов в области эксперимента. От числа уровней зависят объем эксперимента и эффективность оптимизации.

В общем виде зависимость числа опытов от числа уровней факторов имеет вид

N=p^k, (2.2)

где N – число опытов;

р – число уровней факторов;

k – число факторов.

Минимальное число уровней, применяемое на первой стадии эксперимента, равно 2. Это верхний и нижний уровни, обозначаемые в кодированных координатах через “+1” и “–1”. Варьирование факторов на двух уровнях используют в отсеивающих экспериментах, на стадии движения в область оптимума и при описании объекта исследования линейными моделями. Но такое число уровней недостаточно для построения моделей второго порядка (если фактор принимает только два значения, то через две точки можно провести множество линий различной кривизны).

С увеличением числа уровней повышается чувствительность эксперимента, но одновременно возрастает число опытов. При построении моделей второго порядка используют 3, 4 или 5 уровней, причем здесь наличие нечетных уровней указывает на проведение опытов в нулевых (основных) уровнях.

В каждом отдельном случае число уровней выбирают с учетом условий задачи и предполагаемых методов планирования эксперимента.

Необходимо учитывать наличие качественных и дискретных факторов. В экспериментах, связанных с построением линейных моделей, наличие этих факторов, как правило, не вызывают дополнительных трудностей. При планировании второго порядка качественные факторы не применимы, т.к. они не имеют ясного физического смысла для нулевого уровня. Для дискретных факторов часто применяют преобразование измерительных шкал, чтобы обеспечить фиксацию значений факторов на всех уровнях.

После выбора объекта исследования и параметра оптимизации оценивают все факторы, которые могут влиять на объект. Если какой-либо существенный фактор окажется неучтенным, принимающим произвольные значения, не контролируемые экспериментатором, то это существенно увеличит ошибку опыта. При поддержании этого фактора на определенном уровне может быть получено ложное представление об оптимуме, т.к. нет гарантии, что полученный уровень является оптимальным.

С другой стороны большое число факторов увеличивает число опытов и размерность факторного пространства. Итак, выбор факторов является весьма существенным, т.к. от этого зависит успех оптимизации.

2.3 Система “черный ящик”

Объект исследования можно представить в виде системы “черный ящик” (рисунок 2.1). Суть такой системы состоит в изучении зависимости отклика системы Y на изменение входных измеряемых и управляемых параметров (факторов) X(x₁, x₂,..., x_k) при действии случайных факторов W(w₁,w₂,..., w_n), которые на­зывают возмущающими эффектами объекта. Параметры Х называют основными, определяющими условия эксперимента. Выходным параметром (откликом) Y могут быть любые технологические или технические показатели исследуемого процесса. Случайным будет считаться любой фактор, не вошедший в основной ком­плекс входных параметров.

---

Рисунок 2.1 – Система “черный ящик”

При описании области, близкой к экстремуму, чаще других применяют полиномы второго порядка, что связано в первую очередь с тем, что полино­мы второго порядка легко поддаются систематизации и исследованию на экстремум. При этом число опытов N должно быть не меньше числа опреде­ляемых коэффициентов в уравнении регрессии второго порядка для k факто­ров.

На практике функцию (2.1) строят в виде полинома

. (2.3)

_{После выбора линейной модели для построения аппроксимирующей функции выбирают основной уровень и интервал варьирования для каждого фактора. Для линейной модели интервал варьирования определяют}

, (2.4)

где X_{i max}, X_{i min} – значения факторов на верхнем и нижнем уровнях.

Основной (нулевой) уровень определяют

. (2.5)

Для упрощения планирования эксперимента вместо реальных (натуральных) уровней факторов используют кодированные значения факторов. Эту операцию называют нормализацией.

, (2.6)

где x_i – нормализованное значение переменного фактора;

, – натуральные значения факторов.

Рассмотрим полный факторный план (ПФП) линейной модели (2.1) при числе факторов k = 2. Для проведения полного факторного эксперимента необходимо провести N = 2^k опытов, где 2 – число уровней факторов.

Условие проведения такого эксперимента можно записать в виде матрицы.

Номер серии опытов	x1	x2	x1.x2	yj
1	-1	-1	+1	y1
2	+1	-1	-1	y2
3	-1	+1	-1	y3
4	+1	+1	+1	y4

Коэффициенты регрессии рассчитывают по формулам

, (2.7)

, (2.8)

, (2.9)

. (2.10)

2.4 Определение значимости коэффициентов регрессии

В планах ПФП дисперсии коэффициентов при линейных членах и членах, характеризующих взаимодействие различных порядков, равны, что упрощает оценку значимости коэффициентов. Коэффициенты считают значимыми, если выполняется условие

, _(2.11)

_{где - дисперсия коэффициентов регрессии;}

– коэффициент Стьюдента (приложение 1),

при p = 0,05 и f = N (n – 1));

f – число степеней свободы;

n – число повторных опытов;

N – число серий опытов.

Дисперсию коэффициентов регрессии рассчитывают

_(2.12)

_где _ _{дисперсия воспроизводимости выходного параметра,}

_{, (2.13)}

_{где - сумма построчных дисперсий.}

_{=, (2.14)}

_{где - значение выходной величины в i-ом дублированном опыте j- ой серии;}

- среднее арифметическое повторных опытов.

Среднее арифметическое повторных опытов определяют

. (2.15)

Следующим этапом оценивают воспроизводимость экспериментальных данных по критерию Кохрана (приложение Г).

---

, (2.16)

где S²_{j max} – максимальное значение дисперсии серий опытов.

Если < , то опыты воспроизводимы (статистически однородны), если – необходимо принять при проведении исследования более точные методы и средства измерения.

Проверку уравнения на адекватность проводят по критерию Фишера, расчетное значение которого находят:

, (2.17)

где – дисперсия адекватности;

– дисперсия воспроизводимости.

Дисперсию адекватности рассчитывают

, (2.18)

где – расчетные значения выходной величины;

f_ад. – число степеней свободы , равно N – m;

m – число значимых коэффициентов уравнения регрессии с учетом свободного члена.

Расчетное значение сравнивают с критерием Фишера, принимаемым по таблице (приложение Д). Если F_расч < F_табл , то уравнение адекватно.

3 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

Научные исследования основаны на принципах системного и научного подходов.

При системном подходе исследуемый объект представляют как совокупность некоторого числа взаимосвязанных элементов (систем), являющихся одновременно подсистемами некоторых более сложных систем, что позволяет исследовать все аспекты взаимосвязей между ними.

Научный подход предполагает использование при обработке результатов исследований теории вероятностей и математической статистики.

Результаты измерений при экспериментальных исследованиях представляют собой единичные измерения (y_i), которые являются случайными величинами, принимающими в результате испытания заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайного исхода испытаний.

Случайные величины могут быть:

дискретными, принимающими конечное множество значений, отдаленных друг от друга и которые можно пронумеровать (например, количество дефектных деталей);

непрерывными, возможные значения, которых заполняют какой-то промежуток.

При изучении свойств объекта исследований путем измерения и регистрации количественных значений этих свойств получают множество значений случайной величины или статистическую совокупность.

Совокупность, которая содержит все возможные значения исследуемого свойства объекта, полученные при данных условиях эксперимента, называют генеральной совокупностью.

Обычно имеют дело с частью генеральной совокупности называемой выборочной совокупностью (выборкой).

Получение абсолютно точных измерений невозможно из-за ошибок, поэтому при проведении эксперимента одной из основных задач является оценка ошибок, выполняемая с помощью математической статистики.

Воздействие помех на процесс измерения приводит к тому, что результаты измерения всегда отличаются от истинного значения измеряемой величины и по этим результатам определить истинное значение нельзя. Разность между результатом измерения и истинным значением называется истинной погрешностью измерения. В силу того что истинное значение неизвестно, неизвестной является и истинная погрешность.

---

Учитывая, что ни истинное значение физической величины, ни истинную погрешность в опыте определить невозможно, задачу нахождения истинного значения формулируют как задачу нахождения неко­торого приближенного значения с указанием диапазона возможных отклонений этого приближенного значения от истинного значения. Найденное в эксперименте значение измеряемой величины, приближенное к истинному значению, называется оценкой физической величины. Оценка с указанием ее возможного интервала отклонения от истинного значения называют результатом измерения.

Погрешность измерения включает в себя множество различных составляющих, которые классифицируют по различным призна­кам, включающим около 30 видов.

Погрешности измерения подразделяют:

а) по виду влияния на результаты – систематические и случайные;

б) по характеру изменения во времени – статические и динамические;

в) по источникам возникновения – методические, инструментальные, погрешности оператора. Эти погрешности, в свою очередь, могут быть как случайными, так и систематическими. По возможности выявления и исключения из результатов измерения погрешности подразделяют: выявленные и невыявленные, устранимые и неустранимые, исключенные и неисключен­ные;

г) по характеру принадлежности (близости) результатов наблюде­ний к основной совокупности выделяют грубые погрешности и промахи.

Невыявленные погрешности всегда неустранимы. Выявленная пог­решность может быть как устранимой, так и неустранимой. Например, слу­чайная погрешность, а также систематическая погрешность известной величины, но неизвестного знака, имеют определенные числовые значения, т. е. относятся к разряду выявленных. Тем не менее, они не могут быть устранены (исключены из результатов), т. е. являются неустранимыми.

Систематическая погрешность – это составляющая погрешности измерения, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях.

Одной из основных задач обработки результатов эксперимента является выяв­ление, оценка величины и, по возмож­ности, устранение всех систематических погрешностей. Изме­няющиеся систематические погрешности выявляются легче, чем постоянные погрешности. Для выявления постоянной систематической погрешности необходимо выполнить измерения, например, двумя различными мето­дами. Обнаруженные и оцененные систематические погрешности иск­лючают из результатов путем введения поправок.

В зависимости от причин возникновения систематические погрешности подразделяют на следующие виды:

– погрешности метода или модели, которые обычно называют ме­тодическими погрешностями, например: определение плотности вещес­тва без учета имеющихся в нем примесей, использование формул, не совсем точно описывающих явление, и др.;

---

– погрешности воздействия внешних факторов: внешних тепло­вых, радиационных, гравитационных, электрических и магнитных по­лей;

– погрешности, возникающие из-за неточности действий или личных качеств оператора (экспериментатора), называемые личност­ными погрешностями;

– инструментальные (приборные, аппаратурные) погрешности, обусловленные схемными, конструктивными и технологическими несовершенствами средств из­мерения, их состоянием в процессе эксплуатации. Например, смещение начала отсчета, неточность градуиров­ки шкалы прибора, использование прибора вне допустимых пределов его эксплуатации, неправильное положение прибора и т. п. За исключением смещения начала отсчета, приборные погрешности относят к разряду неустранимых погрешностей.

В общем случае систематическая погрешность обусловлена сум­марным воздействием перечисленных факторов, многие из кото­рых невозможно рассчитать, исключить или выявить в данном экспери­менте. Самым простым способом выявления суммарной систематической погрешности было бы сопоставление результатов измерений, получен­ных с помощью серийного (рабочего) и более точного образцового приборов. Разность результатов измерений даст суммарную система­тическую погрешность, вносимую серийным прибором в результат из­мерения. Однако такой способ выявления систематической погрешнос­ти является слишком дорогим. Поэтому на практике различные составляющие систематической погрешности устраняют с помощью экспериментальных или математических приемов путем введения поправок в результаты наблюдений при условии, что погрешность дан­ного вида по величине и знаку известна. После внесения поправок влияние систематической погрешности данного вида на результат и погрешность измерения устраняется полностью. Если же системати­ческая погрешность неизвестна, но имеет известные границы изменения, то её учитывают в результате измерения.

Случайная погрешность – это составляющая погрешности измере­ния, проявляющаяся в виде непредсказуемых отклонений от истинного значения физической величины, меняющихся от одного наблюдения к другому. Данная погрешность обусловлена влиянием на результаты из­мерения множества факторов, воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее предсказать. Такими причинами могут быть перепады напряжения в сети, вибрация установки, изменения атмосферного давления, влажности, температуры, а также ошибки, связанные с действиями самого экспериментатора (неправильное считывание показаний приборов, различная скорость реакции и т. п.). Случайную погрешность нельзя исключить из результатов измерений, од­нако, пользуясь статистическими методами, можно учесть ее влияние на оценку истинного значения измеряемой величины.

---

Смотрите также файлы

• Учебная Практика_лекции.doc

• Світове господарство та його структура.docx

• пневмония.docx

• семейное право(задачи).doc

• Абылай Word.docx