Грубая погрешность – погрешность измерения, значительно превышающая погрешности большинства результатов наблюдений. Такие погрешности могут возникать вследствие резкого изменения внешних условий эксперимента. Грубые погрешности обнаруживают статистическими методами и соответствующие результаты измерений, как не отражаю­щие закономерностей поведения измеряемой величины, исключают из рассмотрения.

Промах – это вид грубой погрешности, зависящий от наблюдате­ля и связанный с неправильным обращением со средствами измерений: неверными отсчетами показаний приборов, описками при записи ре­зультатов, невнимательностью экспериментатора, путаницей номеров образцов и т. п. Промахи обнаруживают нестатистическими методами и результаты наблюдений, содержащие промахи, как заведомо непра­вильные, исключают из рассмотрения.

Указанные составляющие, как правило, не зависят друг от дру­га, что допускает их раздельное рассмотрение.

Полная погрешность измерения, являющаяся суммой ука­занных составляющих, может быть представлена в абсолютном и относительном виде.

Абсолютная погрешность – это погрешность измерения, выражен­ная в единицах измеряемой величины. Наряду с абсолютной погрешно­стью часто используется термин абсолютное значение погрешности, под которым понимают значение погрешности без учета ее знака. Эти два понятия различны.

Относительная погрешность – это погрешность измерения, выра­женная отношением абсолютной погрешности к результату измерения.

Относительная погрешность являются безразмер­ной величиной и ее выражают в процентах.

Числовой характеристикой погрешности является доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью (Р) находится погрешность измерения (). При доверительной вероятности , статистический вывод будет справедлив в 95 случаях из 100.

Для практических целей используют величину р, называемую уровнем значимости

р =1 – P. (3.1)

Большинство статистических оценок предполагает нормальное (или Гауссово) распределение результатов измерений.

Если на основании наблюдений некоторого непрерывного показателя построить распределение частот, то обычно оно представляет собой симметричную (нормальную) кривую – кривую нормального распределения. Подобную форму кривой имеют, например результаты повторных измерений показателей качества продукции.

Уравнение кривой нормального распределения определяют выражением

, (3.2)

где у – плотность вероятности некоторого значения переменной х;

а и b – коэффициенты.

С увеличением коэффициента а, кривая "вытягивается " в высоту, а при увеличении коэффициента b – кривая "сплющивается".

Нормальное распределение определяют двумя параметрами: генеральное среднее M _y, которое характеризует положение центра группирования результатов на числовой оси, и генеральная дисперсия  или рассеивание результатов относительно M _y.

---

Кривая симметрична относительно среднего значения M _y и имеет две точки перегиба с координатами: y = (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 – Стандартные отклонения и точки перегиба при нормальном распределении

С помощью кривых нормального распределения можно установить частоту появления ошибки той или иной величины. Вероятность попадания результата измерения в интервал равна 68,27 %; в интервал равна 95,45 %; а в интервал – 99,73 %. Таким образом, интервал можно считать предельным отклонением или полем рассеяния.

При повторении (дублировании) опытов в одинаковых условиях можно заметить, что некоторые значения случайной величины встречаются значительно чаще других и группируются относительно некоторого центра.

Характеристикой центра группирования случайной величины является математическое ожидание или генеральное среднее ( ).

Следует отметить, что только математическое ожидание не может отобразить все особенности статистической совокупности, поэтому необходимо установить изменчивость, или вариацию характеристики явления.

Степень рассеивания случайной величины относительно математического ожидания характеризует генеральная дисперсия

. (3.3)

Среднеквадратическое отклонение случайной величины характеризует рассеивание результатов относительно математического ожидания

_. (3.4)

При обработке данных, полученных при исследованиях, оперируют не генеральной, а выборочной совокупностью, т. е. используют статистики приближенно оценивающие M _y и .

Наилучшей оценкой M _y является среднее арифметическое выборки ( )

. (3.5)

Среднее арифметическое выборки определяет центр распределения случайной величины и имеет ту же размерность, что и изучаемый параметр.

Оценкой дисперсии ² является выборочная или эмпирическая дисперсия ()

(3.6)

Эти оценки являются состоятельными и несмещенными для выборки из нормальной совокупности при .

Несмещённость оценки достигается использованием в знаменателе формулы (3.6) величины, называемой числом степеней свободы f

. (3.7)

Потеря одной степени свободы при вычислении выборочной дисперсии необходима для вычисления среднего значения. В общем случае число степеней свободы равно количеству независимых измерений, участвующих в определении того или иного параметра статистической совокупности.

Степень разброса случайных величин вокруг среднего значения характеризуют выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение S

. (3.8)

Для характеристики того, насколько среднее арифметическое хорошо представляет статистический ряд используют коэффициент вариации. Коэффициент вариации V (в процентах) является мерой относительной изменчивости (вариации) случайной величины относительно среднего значения

---

_. (3.9)

Чем меньше коэффициент вариации, тем меньше среднее рассеяние значений параметра вокруг среднего арифметического. Если сравнивают два ряда, имеющие одинаковое среднее арифметическое, то среднее арифметическое ряда с меньшим коэффициентом вариации более представительно. Если коэффициент вариации V < 33%, то можно проводить проверку нормальности распределения.

Для характеристики надежности результатов наблюдений используют следующие показатели.

Среднюю квадратическую ошибку среднего значения S , которая показывает на сколько может отклоняться от "истинного" результата среднее арифметическое полученное по результатам наблюдений, рассчитывают

. (3.10)

Важными в статистике являются показатель точности среднего значения  и ошибка среднего квадратического отклонения S_s

, (3.11)

(3.12)

Выборочные числовые характеристики являются надежными количественными оценками параметров генеральной статистической совокупности при большом объеме выборок, а при малом объеме выборки они могут оказаться грубыми. При ограниченных объемах выборки особенно важно иметь представление о точности и надежности генеральных характеристик. Такое представление о точности и надежности оценок дают интервальные оценки, позволяющие определить величину максимальной ошибки , которую допускают, приравнивая к .

Для выборок малых объемов, , закон распределения ошибки описывается известной функцией распределения Стьюдента. Используя свойства этого распределения можно найти доверительный интервал

(3.13)

где – средняя квадратическая ошибка среднего значения;

– критерий распределения Стьюдента, описывающего закон распределения ошибки (погрешности между генеральным и выборочным средним) приведен в приложении А.

Для выборок объемом, , закон распределения ошибки доверительный интервал определяют по формуле

, (3.14)

где U – величина для заданного уровня значимости принимается в зависимости от величины p.

p	0,2	0,1	0,05	0,01	0,005	0,001
U	1,28	1,64	1,966	2,58	2,81	3,29

Неравенствами (3.13), (3.14) задают доверительный интервал, в котором с вероятностью Р находится математическое ожидание. Однако указание только доверительной вероятности или доверительного интервала лишено смысла, т. к. утверждение, что измеренное значение у_i величины Y попадает в интервал без указания вероятности, с которой это событие произойдет, не дает никакой информации.

При проведении предварительных (поисковых) экспериментов доверительную вероятность принимают ; для ответственных исследований, следует принимать ; при изучении слабых влияний, которые трудно обнаружить или при особо важных исследованиях, величину доверительной вероятности принимают в пределах .

---

При выборе доверительного интервала учитывают, что чем точнее нужен результат, тем уже должен быть доверительный интервал.

3.1 Выявление грубых погрешностей

Перед началом обработки результатов экспериментов (измерений) выявляют и исключают из выборки грубые погрешности, которые нарушают нормальное распределение полученной выборки.

Исключение грубых погрешностей выполняют с использованием критерия Стьюдента. Сомнительный результат удаляют из выборки и по оставшимся элементам выборки по формулам (3.5 и 3.6) рассчитывают и S. Затем определяют расчетное значение критерия Стьюдента

(3.15)

где – крайний (наибольший или наименьший) результат выборки;

– среднее арифметическое выборки;

S – среднее квадратическое отклонение выборки.

Далее расчетное значение – критерия сравнивают с критерием Стьюдента (приложение 1). Если при выбранном уровне значимости и числе степеней свободы , то данный результат возвращают в выборку и исследуют другой сомнительный элемент и т.д.

3.2 Полигон и гистограмма частот распределения

Для построения гистограммы частот распределения результаты выборки систематизируют, то есть строят вариационный (ранжированный) ряд, располагая результаты в порядке возрастания. Далее ряд разбивают не некоторое число равной величины интервалов для построения статистического ряда.

Величину интервалов h определяют по формуле

, (3.16)

где – максимальный результат выборки;

– минимальный результат выборки;

k – число интервалов.

В качестве нижней границы первого интервала принимают округленное значение (важно, чтобы минимальный результат попал в первый интервал). Если результат попадает на границу двух интервалов, то его заносят в интервал с большим номером. Далее подсчитывают число наблюдений попавших в каждый интервал (m_i). Сгруппированные таким образом результаты называются статистическим рядом. Количество наблюдений в интервале называется частотой.

На рисунке 3.2 в качестве примера приведены гистограмма и полигон распределения, являющиеся графическим отображением частот, которые в свою очередь представляют собой оценки плотности вероятности.

Р исунок 3.2 – Гистограмма и полигон распределения

Гистограмма состоит из примыкающих друг к другу прямоугольников, основаниями которых, является длина интервала h, а высота соответствует числу элементов выборки, попавших в данный интервал. Площадь каждого прямоугольника равна соответствующей относительной частоте , а полная площадь всей гистограммы равна единице.

Полигон относительных частот – ломаная линия, соединяющая точки с координатами ; ( – середина интервала, а – соответствующие им относительные частоты).

3.3 Построение кривой нормального распределения

---

При увеличении числа наблюдений и уменьшении величины интервала ломаная кривая полигона относительных частот приближается к некоторой кривой, называемой кривой распределения (кривой плотности вероятности). Она является графиком соотношения между значениями данной случайной величины и их вероятностями. В теории вероятности такое соотношение называется статистическим распределением.

Для случайных величин, имеющих разную природу, статистические распределения могут быть различными (логнормальное, биноминальное и др.). Среди них есть нормальное распределение, в основу которого положено утверждение, что сумма достаточно большого числа произвольно распределенных случайных величин распределена по нормальному закону, и тем точнее, чем больше эта сумма.

Кривую нормального распределения строят на основе уравнения

, (3.17)

Наибольшую высоту (ординату), соответствующей среднему значению измеряемой величины, в точке определяют по формуле

, (3.18)

где h – размер интервала;

N – общее количество наблюдений (объем выборки);

 – среднее квадратическое отклонение.

Влево и вправо от точки ординаты нормальной кривой будут симметрично уменьшаться и их вычисляют по формуле

, (3.19)

где k – числовой коэффициент.

Значения коэффициента d

d в долях S	0	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
k	1	0,883	0,607	0,325	0,135	0,044	0,011

Каждую ветвь симметричной кривой строят не менее чем по четырем точкам.

По результатам вычислений строят гистограмму и кривую нормального распределения (рисунок 3.3).

Рисунок 3.3 - Гистограмма и кривая нормального распределения

4 ПРИМЕР ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

4.1 Первичная обработка

В результате продольной распиловки на прирезном станке получены детали, измерение ширины которых имеют размеры, указанные в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Экспериментальные данные (выборка N=100), мм

9,42	10,64	12,07	11,80	12,76	11,26	11,55	13,16	11,58	12,42
12,27	10,68	12,12	11,81	10,77	11,27	11,05	13,17	11,60	12,45
9,92	11,76	12,14	11,82	12,78	11,30	10,11	13,25	11,61	11,05
10,30	10,88	12,15	11,84	12,80	11,32	13,62	13,26	11,65	12,56
10,49	11,05	12,22	11,85	12,83	11,34	10,13	13,37	11,69	12,58
10,50	11,17	12,23	11,94	12,86	11,37	11,95	13,41	11,71	12,62
10,53	11,17	12,25	11,97	12,93	11,38	13,87	13,42	12,23	12,64
11,19	11,17	12,28	12,00	12,95	11,45	12,10	13,13	11,73	12,68
10,63	11,20	12,39	12,01	10,49	11,51	11,74	11,50	11,76	12,72
10,24	11,23	12,40	12,07	13,00	11,51	12,26	12,13	11,76	10,73

---

Смотрите также файлы

• Учебная Практика_лекции.doc

• Світове господарство та його структура.docx

• пневмония.docx

• семейное право(задачи).doc

• Абылай Word.docx