РОЗДІЛ І

КВАНТОВО-МЕХАНІЧНІ ОСНОВИ ЛАЗЕРНОЇ ТЕХНІКИ

Лекція 1

Рівняння Шрединґера

1.1. Рівняння Шрединґера

В квантовій механіці поведінка мікрочастинки описується хвильовою функцією , яка є розв’язком рівняння Шрединґера

, (1.1)

де – потенційна енергія, , – постійна Планка.

Імпульсу частинки в квантовій механіці відповідає диференціальний оператор ,тобто

(1.2)

то оператор в лівій частині (1.1) можна розглядати як квантовий аналог суми кінетичної і потенційної енергії частинки.

. (1.3)

Вимірявши в момент часу координати всіх частинок і підрахувавши відносне число частинок, що знаходяться в околі точки , отримаємо апріорну ймовірність виявлення частинки при вимірюванні всередині елементарного об’єму в момент часу В квантовій механіці густина ймовірності рівна:

. (1.4)

Перша умова, що випливає з статистичної інтерпретації полягає в тому, що повна ймовірність знаходження частинки де-небудь в просторі повинна бути скінченою і постійною:

(1.5)

імовірнісне трактування функції вимагає, щоб

(1.6)

1.2.Середні значення.

Середні значення радіус-вектора, що визначає положення частинки рівне:

(1.7)

Середнє значення оператора , що залежить від координат, імпульсу, енергії і часу:

. (1.8)

Це значення рівне середньому значенню фізичної величини. Всі оператори фізичних величин — ермітові оператори.

1.3.Ермітові оператори.

Оператор називається ермітово-спряженим оператору , якщо

(1.9)

де — дві любі скалярні функції.

Якщо , тобто то оператор називається ермітовим або самоспряженим.

1.4.Швидкість зміни середніх значень в часі.

.

Визначаючи оператор Намільтона як

, (1.11)

отримаємо згідно з (1.1): .

Виражаючи звідси похідні і , маємо:

. (1.12)

де використано як наслідок з ермітовості співвідношення:

— дужки Пуасона. (1.13)

1.5.Теорема Еренфеста.

Ця теорема стверджує, що класичні рівняння однієї частинки

(1.14)

справедливі, якщо всі вектори в (1.14) замінити на середні значення відповідних квантово-механічних операторів:

. (1.15)

1.6. Рівняння Шредінгера, що не містить часу.

Нехай розв’язок

(1.16)

представимо у вигляді Тоді рівняння (1.16) матиме вигляд:

. (1.17)

Якщо потенціальна енергія не залежить від часу явно, то рівняння (1.17) можна розділити на два рівняння з допомогою постійної розділення :

, (1.19)

Розв’язок другого рівняння (1.19) має вигляд:

Перше рівняння (1.18) називають рівнянням Шрединґера, що не містить час. Його розв’язки називаються власними функціями оператора енергії. Власні значення оператора енергії утворюють множину (дискретну чи неперервну) допустимих значень і визначаються граничними умовами для або вимогами, що накладаються на в нескінченності . Допустимо, що система функцій є повна система.

---

Ортонормальність хвильових фукцій.

Любі дві функції з системи функцій , що відповідають різним значенням , ортогональні, тобто

коли Будемо виходити з рівняння Запишемо аналогічне рівняння для ; помножимо перше рівняння на , а друге на і віднімемо одне від другого. В результаті отримаємо:

Власні значення ермітового оператора дійсні, тому Проінтегруємо отримане рівняння по об’єму і скористаємося теоремою Гріна.

Оскільки вимагається виконання умови (1.5), інтеграл в лівій частині повинен обертатись в нуль, завдяки чому:

, коли . (1.20)

Нормування випливає з умови

і (1.21)

так що є частковим (пронормованим) розв’язком рівняння Шрединґера з часом.

Фізичний зміст .

Розглянемо випадок, коли хвильова функція представляє частковий розв’язок виду:

. (1.22)

Середнє значення оператора повної енергії , який був названий оператором Гамільтона або гамільтоніаном, рівне:

. (1.21)

Таким чином , є середнім значенням оператора повної енергії , коли потенціальна функція явно не залежить від часу.

---

Деякі математичні властивості хвильових функцій.

Так як функції утворюють повну ортонормовану систему, їх можна використати для розкладу в ряд довільної функції :

і

1.7. Основні постулати квантової механіки.

В квантовій механіці фізичному стану системи відповідає хвильова функція. Сукупністю , наприклад, вичерпуються всі можливі стани системи в енергетичному представленні . Процес вимірювання вносить збурення і, взагалі то кажучи, міняє стан системи. З точки зору квантової механіки (К.М.) процес вимірювання фізичної величини (енергії, імпульсу і т.п.) відповідає тому, що на хвильову функцію діє оператор, що співствляється спостережуваній фізичній величині. Допустимо, що система знаходиться в стані і, як наслідок, її енергія рівна . Вимірюванню іншої фізичної величини відповідає дії іншого оператора на хвильову функцію Якщо хвильова функція не відноситься до числа власних функцій оператора , дія останнього приведе до зміни стану системи і вона більше не володітиме енергією . Проте коли є власною функцією оператора , стан системи є незмінним і можна одночасно точно визначити енергію так і фізичну величину, якій відповідає оператор .

Необхідною і достатньою умовою того, що два лінійних оператори, в нашому випадку і мають спільну систему власних функцій, є їх комутативність, тобто Якщо власному значенню відповідає більше ніж одна функція ( тобто енергетичний спектр вироджений), то завжди можна взяти лінійну комбінацію функцій , які ортогональні і є власними функціями і .

1.8. Принцип невизначеності.

Оскільки існують пари величин, які не можуть бути точно виміряні, найдемо величину цієї невизначеності. Прикладом такої пари можуть служити координата та імпульс, так як оператор імпульсу не комутує з

Таким чином

Відомо, що невизначеності координати та імпульсу характеризуються відповідними середньоквадратичними відхиленнями від середнього:

При (це буде виконуватися коли парна функція) будемо мати:

– в результаті інтегрування по частинах.

Отже

Скористаємося нерівністю Шварта для функцій приходимо до співвідношення:

Якщо то отримаємо :

Приведемо приклади інших пар канонічно спряжених фізичних величин, що підкоряються принципу невизначеності:

– енергія системи і час;

– кут повороту і момент імпульсу;

– число квантів і фаза коливань гармонічного осцилятора.

Лекція 2

Квантовий гармонічний осцилятор

2.1.Гармонічний осцилятор.

Гармонічний осцилятор складається із маси , на яку діє сила, що пропорційна зміщенню цієї маси відносно деякої точки (ця точка взята за початок координат). Власні значення в цій задачі визначаються вимогами, що накладаються на поведінку хвильової функції в нескінченності. Хвильове рівняння для одномірного осцилятора має вигляд:

---

(2.1)

Введемо нові позначення: ,

і запишемо рівняння (2.1) в більш компактній формі:

(2.2)

При функція веде себе як тому природно шукати розв’язок у вигляді:

, (2.3)

де – поліном скінченого степеня від . Підставивши (2.3) в (2.2) приходимо до рівняння :

. (2.4)

У відповідності із зауваженням відносно характеру функції покладемо

. (2.5)

Підставивши (2.5) в (2.4) і прирівнявши до нуля коефіцієнти при різних степенях

отримаємо:

,

(2.6)

…………………................................

Для виконання цих умов, з врахуванням того, що повинна складатися з скінченого числа членів випливає, що і

Відповідно, коли маємо поліном парний, коли маємо поліном непарний. Об’єднуючи умови і , будемо мати , де : . Згадуючи, що приходимо до співвідношення:

, (3.7)

в якому – енергія -го власного стану.

З (2.7) видно, що навіть в нижчому енергетичному стані з гармонічний осцилятор володіє певною енергією Найменша енергія класичного осцилятора рівна нулю.

2.2.Поліном Ерміта.

Розв’язками рівняння (2.4), які відповідають різним значенням , є поліном порядку . Поклавши в рівняння (2.4) можна привести диференціальне рівняння до виду:

. (2.8)

Поліноми можна отримати ще таким чином:

(2.9)

Приведемо перші три поліноми:

. (2.10)

2.3.Хвильові функції.

Хвильова функція гармонічного осцилятора, як випливає (2.3) має вигляд:

.

Нормуюча постійна визначається з умови:

(2.11)

Звідси отримаємо для : Отже нормована хвильова функція рівна:

(2.12)

Деякі властивості функцій .

(2.13)

(2.14)

2.3.Оператори породження і знищення.

Розглянемо оператори і , які визначаються наступним чином:

(2.15)

(2.16)

З співвідношень (2.13) і (2.14) випливає:

(2.17)

Рівняння (2.17) узгоджуються із операторними рівняннями:

(2.18)

Про оператори і здебільшого говорять, як про оператори народження і знищення. Такі назви пояснюються тим, що згідно (2.18) дія оператора (або ) на хвильову функцію , що відповідає стану з квантами енергії , переводять її в нову хвильову функцію стану з (або ) квантами, народжуючи (або знищуючи) один квант. Комутатор і рівний:

,

тут використовуємо, що . Отже,

. (2.19)

На основі (2.15) і (2.16) можна виразити і через і :

(2.20)

Підставивши (2.20) в гамільтоніан та використавши і маємо:

.

Оскільки , то:

. (2.21)

Це найбільш використовувана форма гамільтоніана гармонічного осцилятора, і саме вона буде зустрічатися в наступних лекціях. Оператор комутує з , і його власні значення рівні числу квантів . Це легко показати з допомогою рівняння (2.18).

---

Так, що в повному узгодженні з (2.21).

Лекція 3

Загальна теорія резонаторів

1. Розклад електромагнітного поля по модах резонатора.

Поле в резонаторі описується рівняннями Максвела :

(3.1)

Обмежимося випадком однорідного та ізотропного середовища без зарядів, тоді:

(3.2)

де e та m – відповідно діелектрична та електромагнітна проникливість середовища.

Розглянемо електричне поле і магнітне поле в об’ємі , який обмежений ідеально провідною поверхнею На ній повинні обертатися в нуль: дотична компонента вектора , тобто а також нормальна компонента тобто ( – одиничний вектор нормалі до поверхні ). Розкладемо і у ряди по системах ортогональних векторних полів і . Ця система полів, вперше використана Слеттером, задовольняє рівнянням

, (3.3)

(3.4)

де – будемо рахувати постійною величиною. Дотична складова вектора вздовж рівна нулю :

на . (3.5)

Візьмемо ротор від обох частин (3.3) і (3.4) і скористаємося векторною тотожністю:

Це приводить до відомих хвильових рівнянь:

(3.6)

З рівнянь (3.3), (3.4) і умови (3.5) випливає, що нормальна складова , рівна нулю на . Щоб це доказати, розглянемо на поверхні довільний замкнутий контур , що охоплює елемент поверхні , і інтеграл

(3.7)

де поле представлено у вигляді суми дотичної – і нормальної до поверхні компонентів. Перший член в правій частині (3.7) рівний нулю внаслідок (3.5), другий доданок рівний нулю через ортогональність векторів і Перетворимо ліву частину (3.7), скориставшись теоремою Стокса

Оскільки контур вибрано довільно, то

на . (3.8)

Докажемо, що функції і ортогональні в розумінні

; , (3.9)

Доведемо ортогональність функцій . Для доведення ортогональності аналогічне. Для доведення ортогональності скористаємося тотожністю:

Покладемо спочатку потім Віднімемо другу рівність від першої:

З рівняння (3.4) маємо Підставимо це в останню рівність:

.

Візьмемо інтеграл по об’єму від правої та лівої частини, для лівої частини скористаємося теоремою Гауса-Остроградського.

Врахувавши граничні умови (5.5) і векторну тотожність маємо:

Так як то ліва частина рівна нулю. Отже , коли

Виберемо функції і такими , щоб вони задовольняли умовам нормування:

(3. 10)

Ці умови будуть використовуватися на протязі багатьох лекцій. Поля і в резонаторі розкладемо в ряди:

(3.11)

де Підставши (3.11) в перше рівняння Максвела (3.1) з врахуванням (3.3) і (3.4) отримаємо :

(3.12)

(3.13)

Візьмемо похідну по часу правої і лівої частини рівняння (4.13) ще один раз і підставимо в це рівняння, отримаємо:

---

Смотрите также файлы

• Авторское редактирование (Планы).doc

• derma история.doc

• Kontrolna_robota_1_s_otvetami.doc

• Программа_для_вивчення_філософії.doc

• Политика учебное пособие.doc