(3.14)

Звідси випливає, що – кругова ячастота коливань –ї моди.

3.2.Квантування поля.

Покажемо, що електромагнітне поле всередині резонатора формально можна розглядати як ансамбль незалежних гармонічних осциляторів. Помножимо перше рівняння (3.11) скалярно на і проінтегруємо по всьому об’єму резонатора. З врахуванням (3.10) отримаємо :

(3.15)

Аналогічні операції проробимо з другими рівняннями (3.11), але помножимо скалярно на . Отримаємо:

(3.16)

З цих рівнянь випливає, що класичне електромагнітне поле в резонаторі можна описати або векторними полями , або динамічними змінними . Повна енергія (гамільтоніаí) поля виражається формулою:

(3.17)

Підставляючи сюди замість і їх розклади ( 3.11) отримаємо:

(3.18)

тобто суму гамільтоніанів гармонічних осциляторів (3.1). Динамічні змінні є канонічно-спряженими. В цьому можна переконатися, розглянувши рівняння Гамільтона:

(3.19)

Вони еквівалентні рівнянням (3.12), (3.13) отриманих безпосередньо з рівнянь Максвела. При квантуванні електромагнітного поля припускається, що формально еквівалентні імпульсу і координаті квантового гармонічного осцилятора. Оператори цих динамічних змінних задовольняють комутаційним співвідношенням:

. (3.20)

Подібно до того, як було зроблено у лекції 2 введемо оператори народження і знищення

(3.21)

Комутаційні співвідношення для них безпосередньо випливають з (3.20)

(3.22)

Розв’язуючи (3.21) відносно і , знаходимо:

(3.23)

Гамільтоніан можна виразити через оператори народження і знищення, підставивши (3.23) в (3.18) і замінивши на у відповідності з (3.20) . Це приведе до виразу:

(3.24)

який показує, що електромагнітне поле в резонаторі можна зобразити у вигляді суми квантових гармонічних осциляторів.

3.3.Квантування плоских хвиль.

Вище йшла мова про резонатори довільної форми. Для наступних викладів корисно знати вид операторів поля у частковому випадку одномірного резонатора, що використовується практично в лазерній техніці. Очевидно, що пристрої з нескінченними поперечними січеннями практично не реалізуються, але хвилі, дуже близькі до плоских, можуть поширюватися в оптичних резонаторах з вгнутими дзеркалами.

Для визначеності розглянемо –ту моду резонатора, об’єм якого рівний , а довжина напрямку осі рівна . Нехай вектори електричного і магнітного полів направлені вздовж осей та відповідно. Рівнянням (3.3), (3.4) і (3.7) задовольняють власні функції:

(3.25)

де ціле число, Поля відповідних мод визначаються виразами:

(3.26)

або, якщо скористатися (3.23), отримаємо:

(4.27)

Ці вирази знаходять застосування при розгляді спонтанних та індукованих переходів.

---

3.4.Густина станів і випромінювання абсолютно чорного тіла

Число мод з резонансними частотами в межах від до залежить в загальному випадку від геометрії резонатора. Проте, коли характерні розміри його великі в порівнянні з довжинами хвиль розглядуваного випромінювання, ця залежність стає несуттєвою, і густина мод станів не залежить від форми резонатора. Обмежившись саме цим випадком, виберемо резонатор у вигляді кубу зі сторонами, які рівні Залежність поля довільної форми від координат виражається функцією Користуючись періодичними граничними умовами з періодом по кожній з декартових координат, отримуємо наступні обмеження на компоненти вектора

(3.28)

де – цілі числа.

Ґрунтуючись на рівняннях Максвела , можна отримати

Із співвідношення (3.28) випливає, що Отже, кожній моді відповідає об’єм в і – просторі. Число мод , модуль хвильового числа лежить в межах від 0 до , легко знайти, поділивши повний об’єм кулі в просторі на об’єм що приходиться на одну моду, і помноживши результат на 2, так як кожному значенню відповідають два направлення поляризації поля. В результаті маємо або у відповідності з співвідношенням де показник заломлення,

(3.29)

Це є число мод з частотами від 0 до що припадають на одиницю об’єму резонатора. Спектральна густина станів рівна:

(3.30)

Спектральна густина випромінювання чорного тіла (рівноважне випромінювання) рівна : де Ймовірність того, що осцилятор знаходиться в стані з енергією у відповідності з розподілом Больцмана пропорційна але при обчисленні середніх значень в квантово-механічному розгляді інтеграли заміняються сумами

(3.31)

Сума, що стоїть у знаменнику є геометричною прогресією

(3.32)

де

Чисельник (3.31) —похідна знаменника по , взята із протилежним знаком.

Отже,

(3.33)

---

Смотрите также файлы

• Авторское редактирование (Планы).doc

• derma история.doc

• Kontrolna_robota_1_s_otvetami.doc

• Программа_для_вивчення_філософії.doc

• Политика учебное пособие.doc