Файл: Системный анализ (ЛБ-04).doc

Можно также говорить об "ослабленном" типе эквивалентности - эквивалентности по цели (элементам, структуре).

Пусть даны две эквивалентные системы X и Y и система X обладает структурой (или свойством, величиной) I. Если из этого следует, что и система Y обладает этой структурой (или свойством, величиной) I, то I называется инвариантом систем X и Y. Можно говорить об инвариантном содержании двух и более систем или об инвариантном погружении одной системы в другую. Инвариантность двух и более систем предполагает наличие такого инварианта.

Пример. Если рассматривать процесс познания в любой предметной области, познания любой системы, то глобальным инвариантом этого процесса является его спиралевидность. Следовательно, спираль познания - это инвариант любого процесса познания, независимый от внешних условий и состояний (хотя параметры спирали и его развертывание, например, скорость и крутизна развертывания зависят от этих условий). Цена - инвариант экономических отношений, экономической системы; она может определять и деньги, и стоимость, и затраты. Понятие "система" - инвариант всех областей знания.

Соответствие S - бинарное отношение r над множеством X×Y:

Обратное соответствие к r - это соответствие S^-1Y×X вида

Отношения часто используются при организации и формализации систем. При этом для них (над ними) вводятся следующие основные операции:

1. объединение двух отношений r₁(x₁, x₂, ..., x_n), r₂(x₁, x₂, ..., x_n), заданных над множеством X, есть третье отношение r₃(X)=r₁ r₂ получаемое как теоретико-множественное объединение всех элементов X, для которых справедливо r₁ или r₂;

2. пересечение - r₃(X)=r₁ r₂ - теоретико-множественное пересечение всех элементов из X, для которых справедливы r₁ и r₂;

3. проекция отношения r₁(Х) размерности k, т.е. отношения r₁=r₁(x₁, x₂,..., x_k), связывающего элементы x₁, x₂, ..., x_kX (это могут быть и не первые k элементов), - это отношение r₂ размерности m<k, т.е. оно использует некоторые из аргументов (параметров) исходного отношения;

4. разность двух отношений r₁(x₁, x₂, ..., x_k), r₂(x₁, x₂, ..., x_k) - это отношение r₃=r₁ - r₂, состоящее из всех тех элементов X, для которых справедливо отношение r₁, но не справедливо отношение r₂;

5. декартово произведение двух отношений r₂(x₁, x₂,..., x_k) и r₁(x_n+1, x_n+2,..., x_n+m) - отношение r₃=r₁×r₂, составленное всевозможными комбинациями всех элементов X, для которых справедливы отношения r₁, r₂; первые n компонентов отношения r₃ образуют элементы, для которых справедливо отношение r₁, а для последних m элементов справедливо отношение r₂;

6. селекция (отбор, выборка) по критерию q компонентов, принадлежащих отношению r; критерий q - некоторый предикат.

Алгебры отношений часто называют реляционными алгебрами.

В связи с употреблением интуитивно известного понятия "алгебра" уточним эту структуру, так она часто используется как основной аппарат наиболее формализованного описания систем. Алгебра - наиболее адекватный математический аппарат описания действий с буквами, поэтому алгебраические методы наилучшим образом подходят для описания и формализации различных информационных систем.

Алгеброй A=<X, f> называется некоторая совокупность определенных элементов X, с заданными над ними определенными операциями f (часто определяемые по сходству с операциями сложения и умножения чисел), которые удовлетворяют определенным свойствам - аксиомам алгебры.

Операция f называется n-местной, если она связывает n операндов (объектов - участников этой операции).

Совокупность F={f} операций алгебры A называется ее сигнатурой, а совокупность элементов X={x} - носителем алгебры.

Алгеброй Буля называется алгебра с введенными в ней двумя двухместными операциями, которые поименованы, по аналогии с арифметикой чисел, сложением и умножением, и одной одноместной операцией, называемой штрих-операцией или инверсией, причем эти операции удовлетворяют аксиомам (законам) алгебры Буля:

1. коммутативности - х+у = у+х, ху = ух;

2. ассоциативности - (х+у)+z = х+(у+z), (xy)z = x(yz);

3. идемпотентности - х+х = х, xx = x;

4. дистрибутивности - (x+y)z = xz+yz, xy+z = (x+z)(y+z);

5. инволюции (двойной инверсии) - ;

6. поглощения - x(x+y) = x, x+xy = x;

7. де Моргана - x+y = xy, xy = x+y

8. нейтральности: x(y+y) = x, x+yy = x.

9. существования двух особых элементов (называемых "единица -1" и "нуль-0"), причем 0 = 1, 1 = 0, x+x = 1, xx = 0.

Группоид - алгебра A=<X, f> с одной двухместной операцией f.

Полугруппа - группоид, в системе аксиом которой есть аксиома ассоциативности. Поэтому она называется ассоциативным группоидом.

Пример. Пусть Х={x₁, x₂, ..., x_n} - некоторый алфавит. Тогда он образует полугруппу относительно операции конкатенации слов из S(X). В таких (называемых свободными) полугруппах рассматривается одна из важнейших алгебраических проблем информатики в полугруппах - проблема тождества слов: указать конструктивный процесс установления совпадения двух слов из полугруппы S(X). Эта проблема алгоритмически неразрешима и встречается, например, при разработке архитектуры процессора.

Группа - полугруппа с единицей (с элементом е: еа=ае=а), в которой бинарная операция f является однозначно обратимой, т.е. на этом множестве (на его носителе) разрешимы однозначно уравнения вида xfa=b, afx=b.

Пример. Пусть Х={x₁, x₂, ..., x_n} - некоторая свободная полугруппа. Каждому из х_i, i=1, 2,..., n сопоставим его обратный элемент x_i^-1, а единицу положим равной пустому слову . Тогда Х образует (свободную) группу, если в качестве критерия разрешимости уравнений выбрать соотношения: x_ix_i^-1= , x_i^-1x_i= . Одна из важнейших алгебраических проблем информатики в группах - проблема изоморфизма (преобразования с сохранением групповой операции) двух групп: указать конструктивный процесс установления такого преобразования одной группы к другой. Эта проблема возникает при обработке информации, преобразовании одной информационной системы к другой с сохранением информации.

Кольцо - алгебра с двумя бинарными операциями: по одной из них (умножение) она является группоидом, а по другой (сложение) - группой с аксиомой коммутативности (абелевой группой), причем эти операции связаны между собой аксиомами дистрибутивности.

Поле - кольцо, у которого все ненулевые элементы по одной из операций образуют абелеву группу.

Пример. Множество рациональных, действительных чисел, квадратных матриц - образуют и поля, и кольца.

Изоморфизм двух упорядоченных (по отношению r) множеств X и Y - такое взаимно-однозначное соответствие f : X Y, где из того, что x₁X и x₂X находятся в отношении r следует, что y₁=f(x₁) и y₂=f(x₂) находятся в отношении r и наоборот.

Изоморфизм позволяет исследовать инвариантное, общее (системное) в структурах, переносить знания (информацию) от одних структур к другим, прокладывать и усиливать междисциплинарные связи.

Свойство может существовать как структура независимо от системы, ее носителя, а система предоставляет (через свою структуру) возможность (потенцию) свойству взаимодействовать с другими системами (с другими свойствами систем), обладающими таким же свойством.

Вопросы для самоконтроля

1. Каковы основные сходства и отличия функционирования и развития, развития и саморазвития системы?

2. В чем состоит гибкость, открытость, закрытость системы?

3. Какие системы называются эквивалентными? Что такое инвариант систем? Что такое изоморфизм систем?

Задачи и упражнения

1. Составить спецификации систем (описать системы), находящихся в режиме развития и в режиме функционирования. Указать все атрибуты системы.

2. Привести примеры систем, находящихся в отношении: а) рефлексивном, симметричном, транзитивном; б) несимметричном, рефлексивном, транзитивном; в) нетранзитивном, рефлексивном, симметричном; г) нерефлексивном, симметричном, транзитивном; д) эквивалентности.

3. Найти и описать две системы, у которых есть инвариант. Изоморфны ли эти системы?

Темы для научных исследований и рефератов, интернет-листов

1. Функционирование систем, развитие и саморазвитие систем: сравнительный анализ.

2. Гибкость, связность, эквивалентность и инвариантность систем: сравнительный анализ.

3. Алгебра отношений как универсальный аппарат теории систем.

4. Лекция: Классификация систем

Классификацию систем можно осуществить по разным критериям. Проводить ее жестко - невозможно, она зависит от цели и ресурсов. Приведем основные способы классификации (возможны и другие критерии классификации систем).

1. По отношению системы к окружающей среде:

   • открытые (есть обмен ресурсами с окружающей средой);

   • закрытые (нет обмена ресурсами с окружающей средой).

2. По происхождению системы (элементов, связей, подсистем):

   • искусственные (орудия, механизмы, машины, автоматы, роботы и т.д.);

   • естественные (живые, неживые, экологические, социальные и т.д.);

   • виртуальные (воображаемые и, хотя реально не существующие, но функционирующие так же, как и в случае, если бы они существовали);

   • смешанные (экономические, биотехнические, организационные и т.д.).

3. По описанию переменных системы:

   • с качественными переменными (имеющие лишь содержательное описание);

   • с количественными переменными (имеющие дискретно или непрерывно описываемые количественным образом переменные);

   • смешанного (количественно-качественное) описания.

4. По типу описания закона (законов) функционирования системы:

   • типа "Черный ящик" (неизвестен полностью закон функционирования системы; известны только входные и выходные сообщения);

   • не параметризованные (закон не описан; описываем с помощью хотя бы неизвестных параметров; известны лишь некоторые априорные свойства закона);

   • параметризованные (закон известен с точностью до параметров и его возможно отнести к некоторому классу зависимостей);

   • типа "Белый (прозрачный) ящик" (полностью известен закон).

5. По способу управления системой (в системе):

   • управляемые извне системы (без обратной связи, регулируемые, управляемые структурно, информационно или функционально);

   • управляемые изнутри (самоуправляемые или саморегулируемые - программно управляемые, регулируемые автоматически, адаптируемые - приспосабливаемые с помощью управляемых изменений состояний, и самоорганизующиеся - изменяющие во времени и в пространстве свою структуру наиболее оптимально, упорядочивающие свою структуру под воздействием внутренних и внешних факторов);

   • с комбинированным управлением (автоматические, полуавтоматические, автоматизированные, организационные).

Пример. Рассмотрим экологическую систему "Озеро". Это открытая, естественного происхождения система, переменные которой можно описывать смешанным образом (количественно и качественно, в частности, температура водоема - количественно описываемая характеристика), структуру обитателей озера можно описать и качественно, и количественно, а красоту озера можно описать качественно. По типу описания закона функционирования системы, эту систему можно отнести к не параметризованным в целом, хотя возможно выделение подсистем различного типа, в частности, различного описания подсистемы "Водоросли", "Рыбы", "Впадающий ручей", "Вытекающий ручей", "Дно", "Берег" и др. Система "Компьютер" - открытая, искусственного происхождения, смешанного описания, параметризованная, управляемая извне (программно). Система "Логический диск" - открытая, виртуальная, количественного описания, типа "Белый ящик" (при этом содержимое диска мы в эту систему не включаем!), смешанного управления. Система "Фирма" - открытая, смешанного происхождения (организационная) и описания, управляемая изнутри (адаптируемая, в частности, система).

Система называется большой, если ее исследование или моделирование затруднено из-за большой размерности, т.е. множество состояний системы S имеет большую размерность. Какую же размерность нужно считать большой? Об этом мы можем судить только для конкретной проблемы (системы), конкретной цели исследуемой проблемы и конкретных ресурсов.

Большая система сводится к системе меньшей размерности использованием более мощных вычислительных средств (или ресурсов) либо разбиением задачи на ряд задач меньшей размерности (если это возможно).

Пример. Это особенно актуально при разработке больших вычислительных систем, например, при разработке компьютеров с параллельной архитектурой или алгоритмов с параллельной структурой данных и с их параллельной обработкой.

Почти во всех учебниках можно встретить словосочетания "сложная задача", "сложная проблема", "сложная система" и т.п. Интуитивно, как правило, под этими понятиями понимается какое-то особое поведение системы или процесса, делающее невозможным (непреодолимая сложность) или особо трудным (преодолимая сложность) описание, исследование, предсказание или оценку поведения, развития системы.

Определения сложности - различны.

Система называется сложной, если в ней не хватает ресурсов (главным образом, информационных) для эффективного описания (состояний, законов функционирования) и управления системой - определения, описания управляющих параметров или для принятия решений в таких системах (в таких системах всегда должна быть подсистема принятия решения).

Сложной считают иногда такую систему, для которой по ее трем видам описания нельзя выявить ее траекторию, сущность, и поэтому необходимо еще дополнительное интегральное описание (интегральная модель поведения, или конфигуратор) - морфолого-функционально-инфологическое.

Пример. Сложными системами являются, например, химические реакции, если их исследовать на молекулярном уровне; клетка биологического образования, взятая на метаболическом уровне; мозг человека, если его исследовать с точки зрения выполняемых человеком интеллектуальных действий; экономика, рассматриваемая на макроуровне (т.е макроэкономика); человеческое общество - на политико-религиозно-культурном уровне; ЭВМ (особенно пятого поколения) как средство получения знаний; язык - во многих аспектах его рассмотрения.

В сложных системах результат функционирования не может быть задан заранее, даже с некоторой вероятностной оценкой адекватности. Причины такой неопределенности - как внешние, так и внутренние, как в структуре, так и в описании функционирования, эволюции. Сложность этих систем обусловлена их сложным поведением. Сложность системы зависит от принятого уровня описания или изучения системы - макроскопического или микроскопического. Сложность системы может определяться не только большим количеством подсистем и сложной структурой, но и сложностью поведения.