ПРИМЕР выполнения и оформления заданий по СМО

СМО представляет собой техническое устройство, состоящее из двух узлов, которые могут независимо друг от друга выходить из строя. Граф системы массового обслуживания представлен на рис. 10.

Рис. 10.

СМО может находиться в следующих состояниях:

S₁ – оба узла исправны, техническое устройство выполняет свои функции;

S₂ – первый узел исправен и работает, второй – неисправен;

S₃ – первый узел неисправен, второй узел исправен;

S₄ – оба узла неисправны, техническое устройство ремонтируется.

λ₁ – поток неисправностей первого узла;

μ₁ – поток ремонтов первого узла;

λ₂ – поток неисправностей второго узла;

μ₂ – поток ремонтов второго узла.

Каждому из состояний можно поставить в соответствие вероятность нахождения СМО в данном состоянии:

- S₁ соответствует вероятность p₁;

- S₂ соответствует вероятность p₂;

- S₃ соответствует вероятность p₃;

- S₄ соответствует вероятность p₄.

По графу системы массового обслуживания составляем систему уравнений Колмогорова (1), по которой можно определить вероятности состояний системы. Для этого следует исключить одно из уравнений системы, затем решить полученную неоднородную систему линейных уравнений любым методом (Крамера, Гаусса).

(1)

Рассмотрим пример имитационной модели, позволяющей исследовать описанную выше СМО. Имитационная модель разработана средствами VBA for Excel и табличного процессора MS Excel. Интерфейс имитационной модели представлен на рис. 1.

Рис. 1. Интерфейс имитационной модели

Основными элементами управления имитационной модели исследования параметров СМО являются кнопки, с которыми связаны соответствующие макросы. Основные функции и операции, реализованные в имитационной модели СМО:

- ввод показателей СМО (количества каналов обслуживания, интенсивности потоков неисправностей узлов технического устройства, интенсивности потоков ремонтов узлов технического устройства);

- формирование системы уравнений Колмогорова (см. систему уравнений 1);

- расчёт главного определителя системы уравнений Колмогорова;

- расчёт первого определителя системы уравнений Колмогорова;

- расчёт второго определителя системы уравнений Колмогорова;

- расчёт третьего определителя системы уравнений Колмогорова;

- расчёт четвёртого определителя системы уравнений Колмогорова;

- расчёт вероятностей состояний СМО: p₁, p₂, p₃, p₄;

- расчёт относительной пропускной способности СМО (q).

Для ввода параметров СМО используется объект UserForm1, который вызывается по нажатию одноимённой кнопки (см. рис. 2).

Рис. 2. Форма ввода параметров СМО

Для выполнения все указанных выше функций имитационной модели записываются макросы в автоматическом режиме. Для этого выбирают пункт меню «Сервис», закладку «Макрос» - «Начать запись». Именуют макрос, затем выполняют требуемую для расчётов последовательность действий, после чего нажимают кнопку или закладку «Макрос» - «Остановить запись». Для расчёта определителей используется математическая функция МОПРЕД(), которая в режиме макроса вычисляет нужный определитель.

---

Статические эксперименты в построенной моделью двухканальной СМО с отказами можно выполнять, варьируя параметры СМО (интенсивности потоков неисправностей узлов технического устройства и потоков их ремонтов). Можно пронаблюдать как изменение параметров СМО влияет на результаты её функционирования – на вероятности состояний, относительную пропускную способность.

В повседневной жизни к системам массового обслуживания отно­сятся телефонные и автозаправочные станции, билетные кассы, тор­говые предприятия, парикмахерские, мастерские и т.п. В таких систе­мах два основных потока: входной — поток заявок и выходной поток обслуживания. Поток заявок образуют клиенты (покупатели), желаю­щие приобрести какой-либо товар. Выходной поток образуют продав­цы, обслуживающие покупателей. Если интенсивность обслуживания мала, то образуется очередь. Последнюю можно ликвидировать или быстро сократить, используя несколько каналов обслуживания (не­сколько телефонных аппаратов, билетных касс, торговых точек и т.д.).

Для того, чтобы понять, как решаются такие задачи массового об­служивания, рассмотрим сначала основные понятия и определения.

Теория систем массового обслуживания (СМО) впервые была раз­работана датским математиком А. К. Эрлангом применительно к запро­сам, поступающим на телефонную станцию. Поэтому основные поня­тия и определения сохраняются из практики обеспечения телефонной связи независимо от фактического назначения конкретной СМО.

Системы массового обслуживания предназначены для обслужива­ния потока заявок или требований, поступающих на вход в случайные моменты времени. Каждая СМО состоит из некоторого числа каналов обслуживания, в качестве которых в зависимости от вида системы мо­гут выступать: линии связи, приемные пункты, рабочие точки, подъез­дные пути, испытательные стенды, технологические агрегаты, ремон­тные бригады и т.д. Выполнение поступившей заявки, т.е ее обслужи­вание, продолжается некоторое время (тоже случайное), после чего канал освобождается и готов принять следующую заявку.

Поступающие на вход системы массового обслуживания требова­ния-заявки следуют одно за другим и образуют непрерывный поток событий. Конечно, невозможно заранее предсказать, например, когда какому-то абоненту вздумается позвонить по телефону своему партне­ру, но если рассматривать всех абонентов телефонной станции, то не­смотря на случайный характер каждого отдельного события, за 1 час (60 мин) было, например, 30 телефонных вызовов, то в среднем одна заявка приходится на интервал в 2 мин. Следовательно, среднее число событий в единицу времени — интенсивность потока λ — будет равна 0.5.

В простейшем потоке интенсивность является постоянной величи­ной, т.е λ=const во времени. Такие простейшие потоки называются стационарными.

---

Системы массового обслуживания могут быть двух типов: СМО с отказами, в которых заявка, поступившая в тот момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не обслуживается; СМО с ожидани­ем, в которых каждая заявка, прибывшая в систему, когда в ней нет свободных каналов, остается и ожидает, пока освободится какой-ни­будь канал и ее возьмут на обслуживание. По аналогии с системами обслуживания населения ожидающие заявки называют очередью.

Основы теории СМО рассмотрим на примере. Пусть производствен­ная система состоит из двух устройств, каждое из которых производит одну и ту же продукцию. Устройства в ходе работы могут выйти из строя (отказать). Отказавшее устройство немедленно начинают ремон­тировать. Рассматриваемая система имеет четыре состояния:

S₁ — оба устройства работают;

S₂ — первое устройство ремонтируется (после отказа), второе ра­ботает;

S₃ — второе ремонтируется, первое работает; S₄ — оба ремонтируются.

Граф состояний такой производственной системы будет следую­щим (рис. 3):

μ₂

Рис. 3. Граф состояний производственной системы

Переходы S₁ - S₂; S₂ – S₄; S₁ - S₃; S₃ – S₄ совершаются в резуль­тате происходящих в системе отказов. Обратные переходы являются следствием ремонтных работ. Отказы и окончания — являются слу­чайными величинами.

Пусть λ₁ — интенсивность потока отказов первого устройства; λ₂— интенсивность потока отказов второго устройства; μ₁ — интенсивность потока окончаний ремонтов первого устройства; μ₂ — интенсивность потока окончаний ремонтов второго устройства.

Рассмотрим конкретное состояние, например S₁. Из этого состояния возможны переходы в состояния S₂ и S₃ — с суммарной вероятностью λ₁ + λ₂, отнесенной к единице времени. В стационарном режиме интенсивность потока событий равна вероятности за конечный промежуток времени, деленной на этот промежуток времени. Таким образом, число уходов из состояния S₁, в единицу времени в рассмат­риваемом коллективе систем равно:

Здесь видно общее правило: совершаемое в единицу времени число переходов S_i в S_j равно произведению числа систем в состоянии S_i (в исходном состоянии) на вероятность перехода, отнесенную к еди­нице времени. Мы рассмотрели уходы из состояния S₁.

Приходы в это состояние совершаются из S₂ и S₃. Поскольку рассматривается стаци­онарный режим, то числа уходов и приходов для каждого состояния должны быть сбалансированы. Следовательно:

Рассматривая баланс уходов и приходов для каждого из четырех состояний и сокращая в уравнениях общий множитель N, получаем следующие уравнения относительно вероятностей р₁, р₂, р₃, р₄:

Нетрудно убедиться, что четвертое уравнение может быть получено сложением первых трех. Вместо этого уравнения воспользуемся урав­нением: p₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 1, которое означает, что система с достовер­ностью находится в каком-либо из четырех состояний. Таким образом, приходим к системе уравнений:

---

Это уравнения Колмогорова, записанные для системы, граф со­стояний которой показан на рис. 13. Рассуждая аналогичным образом, можно составить уравнения Колмогорова и для других СМО.

Примеры задач с СМО

Задача № 1. Имеется производственная система, производящая некоторую про­дукцию. Граф состояний такой системы показан на рис. 13. Предполо­жим, что второе устройство в данной системе более современное и имеет производительность вдвое более высокую, чем первое устрой­ство. Первое устройство приносит в единицу времени доход, равный 5 условным единицам, а второе — 10 единицам. Отказы второго уст­ройства происходят в среднем вдвое чаше, чем первого; поэтому поло­жим, что λ₁= 1, λ₂= 2. Интенсивности потоков окончаний ремонтов примем равными μ₁= 2, μ₂ = 3. Используя заданные интенсивности отказов и потоков окончаний ремонтов, перепишем уравнения Кол­могорова в виде:

Решая эту систему уравнений, находим: р₁= 0.4; р₂ = 0.2; р₃ = 0.27; р₄ = 0.13, Это означает, что в среднем 40% времени оба уст­ройства работают одновременно (состояние S₁ на рис. 13); 20% време­ни работает только первое устройство, а второе при этом ремонтиру­ется (состояние S₂); 21% времени работает только второе устройство, а первое при этом ремонтируется (состояние S₃); 13% времени оба уст­ройства одновременно находятся в состоянии ремонта (состояние S₄). Нетрудно подсчитать доход, которой дает система из двух рассматри­ваемых устройств в единицу времени:

(5 + 10) х 0.4 + 5 * 0.2 + 10х 0.27 = 9.7 усл. ед.

Предположим, что предлагается некоторая рационализация, позво­ляющая вдвое сократить время ремонта либо первого, либо второго устройства. По ряду причин рационализацию можно применить только к одному из устройств. Спрашивается, какое устройство следует выб­рать, первое или второе? Это конкретный пример практической ситу­ации, когда пользуясь теорией массового обслуживания, надо обосно­вать принятие решения.

Допустим, что выбирается первое устройство. В результате рациона­лизации интенсивность потока окончаний ремонтов этого устройства увеличивается вдвое, так что теперь μ₁= 4, а остальные интенсивности остаются прежними: λ₁=1, λ₂= 2, μ₂= 3. Уравнения Колмогорова принимают теперь следующий вид:

Решая эту систему, находим: p₁ = 0.48; р₂= 0.12; р₃= 0.32; р₄ = 0.08. С учетом полученных вероятностей определим доход, который теперь будет давать рассматриваемая система:

(5 + 10) х 0.48 + 5 х 0.12 + 10 х 0.32 = 11 усл. ед.

Если же мы выберем второе устройство, то в результате рациона­лизации удвоится интенсивность μ₂ . В этом случае: λ₁ = l, λ₂ = 2, μ₁ = 2, μ₂ = 6. Уравнения Колмогорова примут вид:

Решая эту систему уравнений, находим: р₁ = 0.5; р₂ = 0.25; р₃ = 0.17; p₄ = =0.08. Подсчитываем доход: (5+ 10) х 0.5 + 5 х 0.25+ 10 х 0.17= 10.45 усл. ед.

Таким образом, мы видим, что выгоднее применить, рационализа­цию к первому устройству.

Теперь рассмотрим систему массового обслуживания с отказами. Самый простой пример СМО с отказами — это автоматическая теле­фонная станция. Если вызываемый абонент занят, то даются короткие гудки и ожидать бесполезно. В зависимости от степени необходимости в обслуживании заявки либо покидают систему, либо обращаются по­вторно. Одноканальная система массового обслуживания — это самая простая СМО, на которой можно рассмотреть основные закономерно­сти ее работы.

---

На вход системы поступает поток заявок с интенсивностью λ. Заяв­ка, поступившая в момент, когда система свободна, сразу же берется на обслуживание. Следующая заявка, прибывшая в момент, когда ка­нал обслуживания занят, получает отказ. Время обслуживания заявки имеет случайную продолжительность, но имеется какое-то среднее зна­чение, в результате чего на выходе образуется поток обслуживания с интенсивностью μ. Наглядно поток обслуживания можно представить таким образом, что если бы канал обслуживания был непрерывно загру­жен, то из него выходил бы поток обслуженных заявок (рис. 4).

Рис. 4. Поток заявок и поток обслуживания в системе массового обслуживания

Если среднее время обслуживания одной заявки (в примере с теле­фонной станцией это средняя продолжительность одного разговора) составляет 0.5 мин, то интенсивность потока обслуживания μ = 1/0.5 = 2. Одноканальная СМО может находиться только в одном из двух состо­яний: S_o — свободна, S₁, — занята. Граф состояний, показывающий воз­можные переходы из одного состояния в другое, изображен на рис. 5.

Рис. 5. Граф одноканальной СМО с отказами

Возможность нахождения СМО в свободном состоянии S₀ опреде­ляется какой-то, пока нам неизвестной вероятностью р₀. Соответственно р₁ — это вероятность того, что система находится в занятом состоянии S₁. Так как система может находиться только в одном из двух состоя­ний, то в каком-то из них она всегда находится, поэтому сумма веро­ятностей равна единице:

Чтобы система могла пребывать в этих двух состояниях, воздействия, выводящие ее из состояния S₀, должны уравновешиваться воздействиями, возвращающими систему обратно в это состояние. Величина каж­дого воздействия определяется произведением интенсивности потока на соответствующую вероятность, т.е. Из этого выражения определяем:

Учитывая, что сумма вероятностей всегда равна единице, получим:

Основные параметры СМО с отказами: относительная пропускная способность и абсолютная пропускная способность, а также вероят­ность получения отказа. Относительная пропускная способность q опре­деляется вероятностью того, что в момент заявки канал свободен и она будет обслужена, т.е. для одноканальной системы q = р₀. В пределе, когда процесс уже установился значение относительной пропускной способности СМО будет равно

Абсолютная пропускная способность А определяется произведением относительной пропускной способности на интенсивность потока тре­бований: А = q λ. В пределе она становится равной

Вероятность того, что заявка будет обслужена, определяется р₀, а вероятность отказа — р₁,. Таким образом, вероятность того, что ка­нал будет занят:

Другой пример. Сборочный участок производит в один час 90 блоков, т.е. интенсивность потока λ = 1.5 блоков в 1 мин. На этом участке работа­ет контролер, который выборочно проверяет изготовленные блоки ап­паратуры, средняя продолжительность контрольных операций s = 1.25 мин. Если в момент прибытия очередного блока контролер занят, то этот блок сразу же перелается на дальнейшие операции без промежуточного контроля. Производство непрерывное и продолжается до обнаружения дефекта в одном из блоков, в этом случае технологический процесс останавливается и выясняются причины неисправности.

---

Смотрите также файлы

• 12.2. Классификация систем массового обслуживания.pdf

• 12.1 Теория систем массового обслуживания.docx

• 10.1. Этапы корреляционно-регрессионного анализа.docx

• 9.1. Постановка и методы решения задач стохастического программирования.doc

• 8.2. Примеры решения задач динамического программирования.docx