ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2020
Просмотров: 260
Скачиваний: 1
(3.1)
Величина pm называется средним напряжением. Она характеризует среднюю интенсивность внутренних сил. Уменьшая размеры площади, в пределе получим
Величина p называется истинным напряжением или просто напряжением в данной точке данного сечения.
Единица напряжения – паскаль, 1 Па = 1 Н/м2. Так как реальные значения напряжений будут выражаться очень большими числами, то следует применять кратные значения единиц, например МПа (мегапаскаль) 1 МПа= 106 Н/м2.
Напряжения, как и силы, являются векторными величинами. В каждой точке сечения тела полное напряжение p можно разложить на две составляющие (рис. 3.2):
1) составляющую, нормальную к плоскости сечения. Эта составляющая называется нормальным напряжением и обозначается σ;
2) составляющую, лежащую(в плоскости сечения. Эта составляющая обозначается τ и называется касательным напряжением. Касательное напряжение в зависимости от действующих сил может иметь любое направление в плоскости сечения. Для удобства τ представляют в виде двух составляющих по направлению координатных осей. Принятые обозначения напряжений показаны ни рис. 3.2
У нормального напряжения ставится индекс, указывающий какой координатной оси параллельно данное напряжение. Растягивающее нормальное напряжение считается положительным, сжимающее – отрицательным. Обозначения касательных напряжений имеют два индекса: первый из них указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке действия данного напряжения, а второй – какой оси параллельно само напряжение. Разложение полного напряжения на нормальное и касательное имеет определенный физический смысл. Нормальное напряжение возникает, когда частицы материала стремятся отдалиться друг от друга или, наоборот, сблизиться. Касательные напряжения связаны со сдвигом частиц материала по плоскости сечения.
Рис. 3.2. Разложение вектора полного напряжения
Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечно малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.3. Совокупность напряжений на всех элементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела называется напряженным состоянием в данной точке.
Вычислим сумму моментов всех элементарных сил, действующих на элемент (рис.3.3), относительно координатных осей, так, например, для оси x с учетом равновесия элемента, имеем:
(3.3)
Повторяя указанные действия для других осей, получим закон парности касательных напряжений:
который формулируется следующим образом: составляющие касательных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные общему ребру, равны по величине и противоположны по знаку, то есть либо обе направлены к ребру либо обе направлены от ребра.
Рис. 3.3. Система напряжений в точке
Принцип Сен-Венана
Методика схематизации системы внешних сил регулируется принципом Сен-Венана, который формулируется следующим образом: если совокупность некоторых сил, приложенных к небольшой части поверхности тела, заменить статически эквивалентной системой других сил, то такая замена не вызовет существенных изменений в условиях нагружения частей тела, достаточно удаленных от мест приложения исходной системы сил.
Принятие этого принципа означает условие рассматривать только те части тела, которые достаточно удалены от места приложения нагрузки. Расчетом деталей в местах их контакта занимается самостоятельная научная дисциплина – математическая теория упругости. На рис. 1.7 представлена иллюстрация принципа Сен-Венана на простейшем примере. Из рисунка видно, что замена распределенной нагрузки статически эквивалентной сосредоточенной силой не окажет существенного влияния на условия нагружения части бруса, удаленной на расстояние не менее 3...5·t от правой границы действия распределенной нагрузки, где t - наибольший размер поперечного сечения бруса.
Рис. 1.7. Иллюстрация принципа Сен-Венана
-
Внутренние силовые факторы в брусе и их связь с напряжением.
Перемещения в пространственном брусе малой кривизны при произвольной нагрузке
При нагружении пространственного бруса в его поперечных сечениях могут возникать одновременно все шесть внутренних силовых факторов: нормальная сила N, перерезывающие силы Qy и Qz крутящий момент Mx и изгибающие моменты My и Mz. Некоторое влияние на распределение напряжений в сечении бруса оказывает кривизна оси бруса. Однако это влияние становится значимым только при отношении радиуса кривизны оси к высоте соответствующего поперечного сечения бруса меньше 5. Такой брус называют брусом большой кривизны, или просто кривым брусом. В стержневых системах элементы типа бруса большой кривизны встречаются достаточно редко.
В брусе малой кривизны влияние кривизны оси на напряжения и деформации незначительно, и поэтому расчет таких брусьев на изгиб с достаточной точностью можно производить по формулам для прямого бруса.
Если при определении внутренних силовых факторов в качестве осей y, z выбрать главные центральные оси сечения, то напряжения в сечении бруса малой кривизны можно вычислить по формулам
(11.1)
(11.2)
(11.3)
Перемещение центра тяжести сечения C, или, иначе, перемещение точки C оси бруса вычисляется при изгибе на основании интеграла Мора по формуле (8.43). Вывод интеграла Мора, приведенный в разделе 8.11 можно легко распространить и на случай растяжения (сжатия), кручения и т.д. Таким образом, перемещение сечения бруса в общем случае определяется следующим уравнением:
(11.4)
где безразмерные коэффициенты Ky, Kz (см. раздел 8.7) учитывают неравномерность распределения касательных напряжений при изгибе бруса.
Уравнение (11.4) называется интегралом Мора для пространственного бруса малой кривизны. В это равенство входят внутренние силовые факторы в текущем сечении бруса, вычисленные относительно главных центральных осей инерции сечения. Произведение силового фактора от заданной нагрузки на соответствующий силовой фактор от единичной нагрузки считается положительным, если эти факторы совпадают по направлению.
Формула (11.4) позволяет вычислить только проекцию полного перемещения сечения бруса на заданное направление. Для определения полного перемещения δ вычисляют проекции этого перемещения на три взаимно перпендикулярных направления (направления главных центральных осей y, z и касательной к оси x бруса), а затем находится δ:
(11.5)
Слагаемые правой части (11.5) по своей относительной величине неравноценны и соотношение между ними зависит от типа конструкции. Например, для подавляющего большинства рам влияние на их деформации перерезывающих и нормальных сил существенно меньше влияния изгибающих и крутящих моментов. Поэтому при определении перемещений сечений рам тремя последними слагаемыми формулы (11.4) обычно пренебрегают.
Интеграл Мора для плоских рам принимает такой же вид, как и для балок:
(11.6)
На прямолинейных участках рам этот интеграл удобно вычислять перемножением эпюр способом Верещагина или методом «дирижера».
-
Метод сечений
1.3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
Силы являются мерилом механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется силами, которые называются внешними. Внешние силы, действующие на тело, можно разделить на активные (независимые) и реактивные. Реактивные усилия возникают в связях, наложенных на тело, и определяются действующими на тело активными усилиями.
По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.
Объемные силы распределены по всему объему рассматриваемого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объемным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных
сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м3 .
Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рассматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки подразделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым относятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоизмеримо меньше полной площади поверхности тела (например, воздействие колонн на фундаментную плиту достаточно больших размеров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а распределенные - кН/м2.
Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмолекулярного воздействия.
Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.
Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).
Рис. 1.2
Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р1, Р2, Р3,..., Рn , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия.
Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (PА ), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).
Обозначая через Pлев и Рправ суммы внешних сил, приложенных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что
Pлев + Рправ = 0 (1.1)
для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соотношения:
Рлев + PA = 0; Рправ - PA = 0. (1.2)
Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил РА в сечении А может определяться с равным успехом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассеченного тела. В этом суть метода сечений.
Внутренние усилия должны быть так распределены по сечению, чтобы деформированные поверхности сечения А при совмещении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это требование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.
Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил РА к центру тяжести сечения А в соответствии с правилами теоретической механики. В результате получим главный вектор сил и главный вектор момента (рис. 1.3). Далее выбираем декартову систему координат xyz с началом координат, совпадающим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроектировав главный вектор сил и главный момент на координатные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы Nz , Qx , Qy и три момента Mz , Mx , My , называемых внутренними силовыми факторами в сечении бруса.
Составляющая Nz называется нормальной, или продольной силой в сечении. Силы Qx и Qy называются поперечными усилиями. Момент Mz называется крутящим моментом, а моменты Mx и My -изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.
При известных внешних силах все шесть внутренних силовых
факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия,
которые могут быть составлены для отсеченной части.
Пусть R*, M* - результирующая сила и результирующий момент действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:
(1.3)
Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:
(1.4)
которые в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz.
Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.
В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получили специальные названия (табл. 1).
Рис.
1.3
Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса действует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий сопротивление бруса называется сложным.
В заключение заметим, что при выполнении практических расчетов, для наглядности, как правило, определяются графики функций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изменения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называются эпюрами.
-
Гипотезы о свойствах материала и принцип независимости действия сил.
Принцип независимости действия сил
Схематизация свойств материала
Реальные материалы обладают разнообразными физическими свойствами и характерной для каждого из них структурой. С целью упрощения расчетов в сопротивлении материалов используются следующие допущения о свойствах материала.
1. Материал считается однородным, то есть его свойства во всех точках одинаковы.
2. Материал считается изотропным, то есть его свойства во всех направлениях одинаковы.
Изотропными являются аморфные материалы, такие как стекло и смолы. Анизотропными являются пластмассы, текстолит и т.п. Металлы являются поликристаллическими телами, состоящими из большого количества зерен, размеры которых очень малы (порядка 0,01 мм). Каждое зерно является анизотропным, но вследствие малых размеров зерен и беспорядочного их расположения металлы проявляют свойство изотропии.
3. Материал обладает свойством идеальной упругости, вследствие которой деформируемое тело полностью восстанавливает свою форму и размеры после снятия нагрузки независимо от величин нагрузок и температуры тела.