Файл: Вопросы для студентов вечернего отделения от кафедры 311.pdf

ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÀÂÈÀÖÈÎÍÍÛÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ

Êàôåäðà 311

Îñåííå-çèìíèé ñåìåñòð 2011  2012 ó÷. ãîäà
Äîö. È. À. Øèëèí

ÂÎÏÐÎÑÛ Ê ÝÊÇÀÌÅÍÓ

ÏΠÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ

ÀÍÀËÈÇÓ

1

1. ×òî òàêîå âåðõíÿÿ èëè íèæíÿÿ ãðàíü ÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà? ×òî òàêîå òî÷íàÿ ãðàíü? ×òî

îçíà÷àåò îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà ñâåðõó èëè ñíèçê? ×òî çíà÷èò îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà?

Äîêàçàòü, ÷òî ñíèçó îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî èìååò òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü.
2. ×òî òàêîå

-îêðåñòíîñòü òî÷êè? ïðîêîëîòàÿ îêðåñòíîñòü? ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä

-îêðåñòíîñòüþ

òî÷åê

+

∞

è

−∞

?

3. Êàêîé ñìûñë ñêðûâàåò çàïèñü

lim

n

→∞

a

n

=

α

ïðè

α

∈

R

,

α

= +

∞

è

α

=

−∞

?

4. Äîêàçàòü, ÷òî èç ñóùåñòâîâàíèÿ êîíå÷íîãî ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäóåò åãî åäèíñòâåí-

íîñòü
5. Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

{

a

n

}

è

{

b

n

}

èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû. Äîêàçàòü òåîðåìû î ïðåäåëàõ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

a

n

+

b

n

, a

n

b

n

, αa

n

,

a

n

b

n

.

6. Äîêàçàòü òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëà âîçðàñòàþùåé îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (èëè óáûâàþ-

ùåé îãðàíè÷åííîé ñíèçó) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Äàòü îïðåäåëåíèå ÷èñëà

e

, ïîêàçàâ êîððåêòíîñòü

ýòîãî îïðåäåëåíèÿ.
7. Ðàçúÿñíèòü ñìûñë ïî Êîøè çàïèñè

lim

n

→

a

f

(

x

) =

α

. Óìåòü ïîäðîáíî îáúÿñíèòü âñå âîçìîæíûå

ñïåöèôèêàöèè: íàïðèìåð, çàïèñü

lim

n

→−∞

f

(

x

) = 8

.

8. Äîêàçàòü ïåðâûé è âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåëû è âûâåñòè ñëåäñòâèÿ î ïðåäåëàõ

lim

n

→

0

ln(

x

+1)

x

è

lim

n

→

0

a

x

−

1

x

.

9. ×òî çíà÷èò íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè â òî÷êå? ðàçðûâíîñòü? Êàêàÿ ñóùåñòâóåò êëàññèôèêàöèÿ

òî÷åê ðàçðûâà? Ðàññêàçûâàÿ î êëàññèôèêàöèè, ïðèâåñòè ïðèìåðû.
10. Äàòü îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè â òî÷êå.

Ïîêàçàòü, êàêàÿ ñóùåñòâóåò ñâÿçü ìåæäó ñóùåñòâîâàíèåì ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèðóåìîñòüþ.

Îáúÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé è äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè â òî÷êå.
11. Ïîêàçàòü ñâÿçü ìåæäó äèôôåðåíöèðóåìîñòüþ è íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè â òî÷êå. Îáúÿñ-

íèòü, ïî÷åìó ôóíêöèÿ

y

=

|

x

|

â òî÷êå

0

íåïðåðûâíà, íî íåäèôôåðåíöèðóåìà.

12. Ñôîðìóëèðîâàòü ôîðìóëó Ëåéáíèöà äëÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà

n

ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíê-

öèé. [

WOW!!!

Êàê âûãëÿäèò îáîáùåíèå ôîðìóëû Ëåéáíèöà äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðåõ èëè

m

ôóíê-

öèé?] Âûâåñòè ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè, èìåþùåé ïåðâûå

s

ïðîèçâîäíûõ?

13. Âûâåñòè ôîðìóëó ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè è ôîðìóëó ïðîèçâîäíîé ïàðàìåòðè÷åñêè

çàäàííîé ôóíêöèè.
14. Äîêàçàòü òåîðåìû Ôåðìà, Ðîëëÿ, Ëàãðàíæà è Êîøè. Âûâåñòè ïðàâèëà Ëîïèòàëÿ.
15. Äîêàçàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè íà îòðåçêå.
16. ×òî ïîíèìàåòñÿ ïîä âûïóêëîñòüþ ôóíêöèè âíèç èëè ââåðõ íà îòðåçêå? Äîêàçàòü äîñòàòî÷íîå

óñëîâèå

↑

- èëè

↓

-âûïóêëîñòè ôóíêöèè íà îòðåçêå.

17. Êàê ñ ïîìîùüþ çíà÷åíèé âòîðîé è òðåòüåé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå ñäåëàòü âûâîä î

òîì, ÷òî ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ýêñòðåìóìà è òî÷êîé ïåðåãèáà ñîîòâåòñòâåííî? Äîêàçàòü îäíî

èç ýòèõ óòâåðæäåíèé.
18. ×òî îçíà÷àåò çàïèñü

A

≺

B

äëÿ ÷èñëîâûõ ìíîæåñòâ

A

è

B

? ×òî åñòü ðàçäåëÿþùåå ÷èñëî

äëÿ ýòèõ ìíîæåñòâ? Äîêàçàòü êðèòåðèé åäèíñòâåííîñòè òàêîãî ÷èñëà.
19. Äàòü îïðåäåëåíèå íèæíåé è âåðõíåé ñóìì Äàðáó îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà îòðåçêå ïðè íåêî-

òîðîì ðàçáèåíèè ýòîãî îòðåçêà. Äîêàçàòü ñâîéñòâà ýòèõ ñóìì. Äàòü îïðåäåëåíèå èíòåãðèðóåìîñòè

(ïî Ðèìàíó) îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ïî÷åìó ôóíêöèÿ Äèðèõëå íåèíòåãðèðóåìà íà

ïðîèçâîëüíîì îòðåçêå?
20. Âûâåñòè ôîðìóëó Íüþòîíà  Ëåéáíèöà äëÿ íåïðåðûâíîé ïîäèíòåãðàëüíîé ôóíêöèè.

2